VWL 3: Mikroökonomie Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 4

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1 Georg Nöldeke Frühjahrssemester 2010 VWL 3: Mikroökonomie Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 4 1. (a) Sind beide Inputfaktoren variabel, so ist die Kostenfunktion eines Unternehmens durch C(y) = y 2 /2 gegeben. Die Angebotsfunktion eines Unternehmens ist s(p) = p. 1 Da es 20 solcher Unternehmen gibt, ist die Marktangebotsfunktion S(p) = 20p. Für den Wettbewerbspreis p gilt D(p ) = S(p ). Also: p = 20p p = 4. Die Wettbewerbsmenge kann dann aus der Marktangebotsfunktion oder der Marktnachfragefunktion als q = S(p ) = D(p ) q = 80 bestimmt werden. Der Gewinn eines Unternehmens im Wettbewerbsgleichgwicht ist π = p s(p ) C(s(p )) = /2 = 8. (b) Die hier relevante kurzfristige Produktionsfunktion ist f(x 1, 4) = 2 + x 1. 2 Die kurzfristige Kostenfunktion ist 3 { 4 für y 2 C k (y) = 4 + 2(y 2) 2 für y > 2. Entsprechend ergibt sich für die kurzfristige Angebotsfunktion eines Unternehmens: s k (p) = p Die kurzfristige Marktangebotsfunktion ist daher S k (p) = 5 p In der kurzen Frist steigt der Wettbewerbspreis somit auf p k = 16/3, da S k (p k) = D(p k) 15 p k = 80. Die Wettbewerbsmenge fällt auf q k = S k(p k ) = D(p k ) = 200/3. In dem kurzfristigen Wettbewerbsgleichgewicht verkauft jedes Unternehmen 10/3 Einheiten Output zum Preis 16/3 und erzielt somit einen Erlös von 160/9. Die Kosten sind C k (10/3) = 68/9 und der Gewinn somit π k = 92/9. Beachte, dass der Gleichgewichtsgewinn eines jeden Unternehmens trotz Erhöhung des Faktorpreises im Vergleich zur Ausgangssituation gestiegen ist. 1 Vgl. Aufgaben 8 (c) und 11 (a) von Aufgabenblatt 3. 2 Siehe Aufgabe 11 (b) von Aufgabenblatt 2. 3 Die Herleitung entspricht der in Aufgabe 11 (c) von Aufgabenblatt 3. Da nun w 1 = 2 (anstatt w 1 = 1) gilt, verdoppeln sich die variablen Kosten im Vergleich zu der in Aufgabenblatt 3 betrachteten Situation. 1

2 In der langen Frist ist die Kostenfunktion eines Unternehmens bei den Inputpreisen (w 1, w 2 ) = (2, 1) durch gegeben. Die Grenzkostenfunktion ist C l (y) = 2 3 y2 C l(y) = 4 3 y. Da diese Grenzkostenfunktion streng steigend ist, ist die neue langfristige Angebotsfunktion eines Unternehmens s l (p) = 3 4 p. Die neue langfristige Marktangebotsfunktion ist S l (p) = 15p. Abbildung 1: Grafische Darstellung zu Aufgabe 1: Die Marktangebotsfunktion in der Ausgangssituation ist blau dargestellt; der Wettbewerbspreis ist 4, die Wettbewerbsmenge ist 80. Die kurzfristige Marktangebotsfunktion nach Erhöhung des Inputpreises ist grün dargestellt; die langfristige Marktangebotsfunktion nach Erhöhung des Inputpreises ist lila. Setzt man Marktangebot und Marktnachfrage gleich, erhält man den neuen langfristigen Wettbewerbspreis p l = 24/5. Beachte, dass p k > p l > p, d.h. die langfristige Reaktion des Wettbewerbspreises ist weniger stark als die kurzfristige Reaktion. In beiden Fällen steigt der Wettbewerbspreis. Die langfristige Wettbewerbsmenge nach Änderung des Faktorpreises ist ql = S l (p l ) = D(p l ) = 72. Die langfristige Reaktion der Wettbewerbsmenge ist also weniger stark als die kurzfristige Reaktion. 2

3 Der Gewinn eines Unternehmens in dem langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht nach Änderung des Inputpreises bestimmt sich wie folgt: Jedes Unternehmen verkauft nun 18/5 Outputeinheiten zu einem Preis von 24/5. Der resultierende Erlös ist 432/25. Die Kosten sind 216/25. Der Gewinn ist also π l = 216/25. Der Gewinn im langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht nach Änderung des Faktorpreises liegt also unterhalb des Gewinns im entsprechenden kurzfristigen Wettbewerbsgleichgewicht, aber immer noch oberhalb des Gewinns aus der Ausgangssituation. 2. Das Unternehmen sollte in den Markt eintreten, wenn sich dadurch ein Gewinn erzielen lässt. Ob dies der Fall ist, lässt sich wie folgt überprüfen: Man unterstellt zunächst, das Unternehmen tritt in den Markt ein und bestimmt die in diesem Fall gewinnmaxierende Outputmenge und den resultierenden Gewinn. Ist dieser positiv, sollte das Unternehmen eintreten. Ist der Gewinn negativ, sollte das Unternehmen dem Markt fern bleiben. Die Grenzkostenfunktion des aktiven Unternehmens ist durch M C(y) = y gegeben und verläuft damit steigend. Ist das Unternehmen in den Markt eingetreten, ist die gewinnmaxierende Outputmenge also durch die Bedingung p = y bestimmt. Mit p = 140 folgt hieraus y = 1. Der Gewinn bei dieser Outputmenge ist 140 F C(1) = = 30 und somit negativ. Also sollte das Unternehmen nicht in den Markt eintreten. Alternativer Lösungsansatz: Bestimme die minimalen Durchschnittskosten und vergleiche sie mit dem Preis. Sind die minimalen Durchschnittskosten kleiner als der Preis, sollte das Unternehmen eintreten. Anderenfalls sollte es inaktiv bleiben. Zur Bestimmung der minimalen Durchschnittskosten ist zunächst die effiziente Betriebsgrösse ŷ zu bestimmen. Diese ist hier durch die Lösung des Problems 80 min AC(y) = y y 0 y gegeben. Die Bedingung erster Ordnung lautet: 4 80 ŷ = 0 ŷ = 1.6. Die minimalen Durchschnittskosten sind also AC(ŷ) = und liegen damit oberhalb des Preis p = 140. Wie zuvor ist die Schlussfolgerung, dass das Unternehmen inaktiv bleiben sollte. 3. (a) Die Grenzkostenfunktion eines aktiven Unternehmens ist MC(y) = y, 4 Anstatt die Bedingung erster Ordnung herzuleiten, kann man auch direkt die Tatsache benutzen, dass die effiziente Betriebsgrösse im Schnittpunkt von Grenzkostenfunktion und Durchschnittskostenfunktion liegt, also durch die Gleichung MC(ŷ) = AC(ŷ) 100y = 80 y + 50y gegeben ist. 3

4 Abbildung 2: Marktnachfragefunktion und kurzfristige Marktangebotsfunktionen für m = 20, m = 50 und m = 100 zu Aufgabe 3 (a). Kurzfristiger Wettbewerbspreis und Wettbewerbsmenge liegen in dem jeweiligen Schnittpunkt der kurzfristigen Marktangebotsfunktionen mit der Marktnachfragefunktion. verläuft also streng steigend. Die Angebotsfunktion eines aktiven Unternehmens ist also durch { 0 für p < 100 s(p) = (p 100)/8 für p 100. gegeben. Sind m Unternehmen im Markt aktiv, so ist die Marktangebotsfunktion für p 100 also durch S m (p) = m p gegeben. Für p < 100 ist das Marktangebot gleich Null. Der kurzfristige Wettbewerbspreis p m ist durch die Bedingung D(p m) = S m (p m) bestimmt. Hier gilt also 1000 p m = m p m mit entsprechender Wettbewerbsmenge p m = m m + 8 q m = D(p m) = 1000 p m = 900m m + 8. (b) Um die Anzahl der Unternehmen zu bestimmen, die in einem langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht aktiv sind, ist zuerst der langfristige Wettbewerbspreis zu 4

5 Abbildung 3: Zu Aufgabe 3 (b): Der kurzfristige Wettbewerbspreis als Funktion der Anzahl der aktiven Unternehmen in Relation zu den minimalen Durchschnittskosten: Für m < 172 liegt der Wettbewerbspreis oberhalb von min AC(y), so dass die aktiven Unternehmen streng positive Gewinne erzielen und sich der Marktzutritt für inaktive Unternehmen lohnt. Für m > 172 liegt der Wettbewerbspreis unterhalb von min AC(y), so dass die aktiven Unternehmen Verluste erleiden und sich daher der Marktaustritt lohnt. bestimmen. Dieser ist durch das Minimum der Durchschnittskosten gegeben. Das entsprechende Minimierungsproblem 5 ist mit Bedingung erster Ordnung 100 min y y>0 y 100 y = 0 4y2 = 100 y = 5. Die Menge, bei der die Durchschnittskosten minimiert werden, ist also ŷ = 5. Setzt man diese Menge in die Durchschnittskostenfunktion ein, erhält man den langfristigen Wettbewerbspreis: p = = 140. Die Marktnachfrage zu diesem Preis bestimmt die langfristige Wettbewerbsmenge als q = D(140) = 860. Da jedes Unternehmen im Markt zu diesem Preis die 5 Anstatt dieses Minimierungsproblem aufzustellen, kann man auch Grenzkosten und Durchschnittskosten gleichsetzen und nach y auflösen. Da sich Grenzkostenfunktion und Durchschnittskostenfunktion in dem Minimum der Durchschnittskostenfunktion schneiden, wird durch diese Vorgehensweise ebenso das Minimum der Durchschnittskostenfunktion bestimmt. 5

6 Menge ŷ = s(140) = 5 anbietet und im Gleichgewicht die angebotene Menge mit der nachgefragten Menge übereinstimmt, muss 860 = m 5 m = 172 gelten. Die Anzahl der Unternehmen, die in einem langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht in diesem Markt aktiv sind, ist also Ist das Angebot fix, so lässt die Einführung einer Mengensteuer die aggregierten Handelsgewinne unverändert. Die aggregierte Konsumentenrente bleibt unverändert, da der Gleichgewichtspreis, den die Konsumenten zu zahlen haben, unverändert bleibt. Die aggregierte Produzentenrente fällt genau um den Betrag der Steuereinnahmen. 5. (a) Der Wettbewerbspreis ist durch die Bedingung D(p ) = S(p ) bestimmt. Hier also: 100 p = 3p p = 25. Die Wettbewerbsmenge ist die Menge, die zum Wettbewerbspreis sowohl nachgefragt wie angeboten wird, q = D(p ) = S(p ). Hier also q = 75. Abbildung 4: Wettbewerbspreis, Wettbewerbsmenge und aggregierter Handelsgewinne (als Summe von aggregierter Konsumentenrente und aggregierter Produzentenrente beim Wettbewerbspreis) zu Aufgabe 5 (a). Die aggregierten Handelsgewinne in einem Wettbewerbsgleichgewicht entsprechen der Summe aus aggregierter Konsumentenrente und aggregierter Produzentenrente zum Wettbewerbspreis und damit der Fläche zwischen der inversen Marktnachfragefunktion und der inversen Marktangebotsfunktion bis zur Menge q. Diese 6

7 Flächen kann man für den hier betrachteten Fall linearer Marktnachfrage und -angebotsfunktionen wie folgt bestimmen (und so werden wir in den folgenden Teilaufgaben verfahren): Die aggregierte Konsumentenrente bei p = 25 ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Höhe 75 und Länge 75, so dass KR = 75 75/2 gilt. Die aggregierte Produzentenrente bei p = 25 ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Höhe 25 und und Länge 75, so dass P R = 75 25/2 gilt. Addiert man die beiden Ausdrücke erhält man HG = /2 = Hinweis: Allgemein kann man die aggregierten Handelsgewinne in einem Wettbewerbsgleichgewicht wie folgt schreiben: HG = q Die inverse Marktangebotsfunktion ist hier die inverse Marktnachfragefunktion ist Also gilt hier HG = q 0 0 [P D (q) P S (q)]dq. P S (q) = q/3, P D (q) = 100 q. [100 4q/3]dq = 100q 2(q ) 2 /3 = = 3750, was mit dem Ergebnis der obigen Dreiecksflächenberechnungen übereinstimmt. (b) Beim Preis p = 30 werden S(30) = 90 Einheiten angeboten und D(30) = 70 Einheiten nachgefragt. Der Staat muss also 20 Einheiten zum Preis von 30 aufkaufen. Die resultierenden Ausgaben sind 600. Die aggregierte Produzentenrente ist Die aggregierte Konsumentenrente ist P R(30) = 30 90/2 = KR(30) = 70 70/2 = Die Staatsausgaben wurden bereits als 600 bestimmt, so dass die aggregierten Handelsgewinne HG = = 3200 betragen. Im Vergleich zum Wettbewerbsgleichgewicht werden die aggregierten Handelsgewinne also um 550 Einheiten reduziert. (Anders gesagt: Die staatlichen Ausgaben in Höhe von 600 erhöhen die Summe von aggregierter Konsumentenund Produzentenrente lediglich um 50 Einheiten.) 7

8 Abbildung 5: Angebotene und nachgefragte Menge bei p = 30 und die resultierenden Staatsausgaben (schraffierte Fläche) zu Aufgabe 5 (b). (c) Der gesuchte Preis ist p = 10, da hier D( p) = S(30) = 90 gilt. Der Staat kauft also 90 Einheiten zum Preis von 30 auf und verkauft sie anschliessend zum Preis p = 10, so dass Ausgaben in der Höhe von 90 [30 10] = 1800 entstehen. Wie in Teilaufgabe (b) beträgt die aggregierte Produzentenrente Die aggregierte Konsumentenrente ist nun KR(10) = 90 90/2 = Die Staatsausgaben wurden bereits als 1800 bestimmt, so dass die aggregierten Handelsgewinne HG = = 3600 betragen. Im Vergleich zum Wettbewerbsgleichgewicht werden die aggregierten Handelsgewinne also um 150 Einheiten reduziert - die Handelsgewinne sind jedoch um 400 Einheiten höher als in der Situation aus Teilaufgabe (b). (d) Die in der vorhergehenden Teilaufgabe beschriebene Situation entspricht dem Fall, in dem eine Mengensubvention von 20 Geldeinheiten gezahlt wird. Nicht nur die aggregierte Produzentenrente, sondern auch aggregierte Konsumentenrente und staatliche Subventionszahlung stimmen mit den Werten aus der vorhergehenden Teilaufgabe überein. Insbesonder betragen die aggregierten Handelsgewinne HG = (a) Es handelt sich um eine Cobb-Douglas-Nutzenfunktion mit c = d = 1/2, so dass die Nachfragefunktion durch f 1 (p 1, p 2, m) = m 2p 1 und f 2 (p 1, p 2, m) = m 2p 2 8

9 Abbildung 6: Grafische Darstellung zu Aufgabe 5 (c): Bei p = 10 entspricht die nachgefragte Menge der zum Preis p = 30 angebotenen Menge. Die Staatsausgaben entsprechen der schraffierten Fläche. gegeben ist. Die indirekte Nutzenfunktion ist damit m m m U(p 1, p 2, m) = u(f 1 (p 1, p 2, m), f 2 (p 1, p 2, m)) = = 2p 1 2p 2 2 p 1 p 2 (b) Die Hicks-Kompensation der Preisänderung ergibt sich als Lösung der Gleichung Also: U(4, 1, 100) = U(1, 1, m). 25 = m 2 m = 50. (c) Die Hicks-Kompensation dieser Preisänderung ergibt sich als Lösung der Gleichung U(1, 1, 100) = U(4, 1, m). Also: m 4 = 50 m = 100. Anmerkung: Berechnet man die Konsumentenrente der Preisänderung als die Fläche links von der partiellen Nachfragekurve von Gut 1 zwischen den Preisen p 1 = 4 und p 1 = 1 erhält man einen Wert, der zwischen dem Absolutwert der beiden Hicks-Kompensationen liegt: p 1 = 50 ln

10 7. Der Konsumentin geht es im Jahr 2008 besser, da das Güterbündel, welches sie im Jahr 2007 nachgefragt hat, zu den Preisen des Jahres 2008 erschwinglich ist: p t 1x b 1 + p t 2x b 2 = = 1020 = m t. 8. Der Konsument wird durch die Kopfsubvention besser gestellt. In der Ausgangssituation ohne jede Subventionen seien die Preise der beiden Güter durch (p 1, 1) gegeben; das Einkommen des Konsumenten sei m. Sei (x 1, x 2) das Güterbündel, welches der Konsument bei einer Mengensubvention von s = t > 0 pro Einheit von Gut 1 nachfragt. Für dieses Güterbündel gilt (p 1 s)x 1 + x 2 = m p 1 x 1 + x 2 = m + sx 1, wobei sx 1 die Subventionszahlung ist, die der Konsument erhält. Wird statt der Mengensubvention die Kopfsubvention S = sx 1 gezahlt, so gilt p 1 x 1 + x 2 = m + S, so dass das Güterbündel (x 1, x 2) bei Zahlung dieser Kopfsubvention erschwinglich ist. Hieraus folgt U(p 1 s, 1, m) U(p 1, 1, m + S), d.h. der Konsument wird durch die Kopfsubvention besser gestellt. Dieses wird durch Abbildung 7 verdeutlicht. 10

11 Abbildung 7: Die Budgetgerade mit Kopfsubvention verläuft durch das Güterbündel (x 1, x 2) (rot markiert), welches der Konsument in der Situation mit Mengensubvention wählt. Dieses garantiert, dass der Konsument sich bei der Kopfsubvention zumindest gleich gut wie in der Situation mit Mengensubvention stellt. Im Regelfall wird sich der Konsument streng besser stellen, da er auf Grund des Substitutionseffekts bei der Kopfsubvention ein anderes Güterbündel (hier pink markiert) wählt. 11