12 Integralrechnung, Schwerpunkt
|
|
- Hanna Pfaff
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universität Hannover Mathematik für Ingenieure Mathematik Integralrechnung, Schwerpunkt Schwerpunkt Es sei ϱ die Dichte innerhalb der zu untersuchenden Ebene bzw. des zu untersuchenden Raumes. Für den geometrischen Schwerpunkt wird ϱ gesetzt. a einer Fläche in der Ebene Mit S x s, y s wollen wir dann den Schwerpunkt der zwischen einer urve y fx 0 für a < b und x [a, b], der x-achse und den Geraden x a und x b gelegenen Fläche bezeichnen. so gilt x s b a ϱ x fx dx b ϱ fx dx und y s a b ϱ f x dx a ϱ fx dx b a Entsprechend kann auch bei beliebigen Flächen A der Schwerpunkt bestimmt werden: A x s ϱ x df A A ϱ df und y s ϱ y df ϱ df A Dabei ist df der Flächeninhalt von A. A b eines -dimensionalen örpers im Raum: Für einen beliebigen örper im Raum gilt für den Schwerpunkt S x s, y s, z s : x ϱ dv y ϱ dv z ϱ dv x s ϱ dv und y s ϱ dv und z s ϱ dv Dabei ist dv das Volumen des örpers. Der Schwerpunkt ist der Massenmittelpunkt. oordinatensysteme siehe F+H F. kartesische oordinaten x, y in der Ebene und x, y, z im Raum. - df dx dy und dv dx dy dz. Polarkoordinaten in der Ebene r Abstand vom Nullpunkt, und ϕ Winkel gegenüber der positiven x-achse in der Ebene. - Umrechnung: siehe F+H Seite 8. - df r dr. Zylinderkoordinaten im Raum r Abstand vom Nullpunkt, ϕ Winkel gegenüber der positiven x-achse in einer Ebene parallel zur x, y-ebene, und z Höhe. - dv r dr dz 4. ugelkoordinaten im -D-Raum Es sei P x, y, z ein Punkt auf oder in einer ugel mit dem Radius R. Mit dem Scheitel 0, 0, 0 dem Mittelpunkt der ugel wird der Winkel zwischen dem Nordpol der ugel und dem Punkt P durch ϑ bezeichnet damit hat der Nordpol den Winkel ϑ 0 und der Äquator den Winkel ϑ 90 - im Gegensatz zu den Geodäten! P hat den Abstand r vom Mittelpunkt der ugel; es ist r R. ϕ ist der Winkel gegenüber der positiven x-achse in einer Ebene parallel zur x, y-ebene. - x r sinϑ cosϕ und y r sinϑ sinϕ und z r cosϑ dv r sinϑ dr dϑ.
2 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 00 Aufgabe.: Berechnen Sie das Volumen V und den Schwerpunkt S eines Quaders mit den Seitenlängen x, y und z. Lösung Aufgabe. Diese Aufgabe wird mit drei verschiedenen Ansätzen gelöst: a Zunächst Bestimmung des Flächeninhaltes bei Schnitt mit einer Ebene x x 0 : x y x x V dy dx [y] y y0 dx dx [ x] x x0 6 x0 y0 y0 x0 x0 b Zunächst Bestimmung des Flächeninhaltes bei Schnitt mit einer Ebene y y 0 : y x y y V dx dy [x] x x0 dy dy [ y] y y0 6 z0 x0 y0 c Zunächst Bestimmung des Flächeninhaltes bei Schnitt mit einer Ebene z z 0 : z x z z V dx dz [ x] x x0 dz 6 dz [6 z] z z0 6 z0 Für die Bestimmung des geometrischen Schwerpunktes wird nur noch eine Darstellung gerechnet: Da ϱ unabhängig von x, y, z ist, kann ϱ gesetzt werden. Um den Algorithmus zu testen, wird zunächst der Nenner dv x x0 x x0 y y0 y y0 z z0 dz dy dx dy dx x x0 x0 y0 z0 x x0 dv berechnet: y y0 [y] y y0 dx x x0 [z] z z0 dy dx dx 6 Da dieses Rechenverfahren das richtige Ergebnis liefert, versuchen wir es mit den Zählern: Bestimmung des Zählers von x s : x y z x y x dv x dz dy dx [x z] z z0 dy dx x0 x x0 y0 y [ x y0 ] x x0 z0 x dy dx 9 0 x x0 9 x0 y0 [x y] y y0 dx x x0 x dx Also ergibt sich x s auch dieses Ergebnis ist glaubhaft. Bestimmung des Zählers von y s : x y y dv x0 x x0 y0 y y0 z z0 y dz dy dx y dy dx [x] x x0 6 x x0 x x0 [ ] y y y0 Also ergibt sich y s auch dieses Ergebnis ist glaubhaft. 6 y y0 dx [y z] z z0 x x0 dy dx 4 dx
3 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 00 Bestimmung des Zählers von z s : z dv x x0 x x0 y y0 y y0 [x] x x0 Also ergibt sich z s z z0 - auch dieses Ergebnis ist glaubhaft. Damit ist S,,. z dz dy dx dy dx x x0 x x0 [ ] y cot y y0 y y0 dx [ ] z z z0 x x0 dy dx dx Aufgabe.: Berechnen Sie in Abhängigkeit von a 0 < a die oordinaten des geometrischen Schwerpunktes des nebenstehend schraffierten reisabschnittes A. Lösung Aufgabe. Gesucht ist der geometrische Schwerpunkt S x s, y s in Abhängigkeit von a 0 < a. Es ist b a. Aus Symmetriegründen ist x s 0 ; nach Definition ist y s Für den Flächeninhalt da ergibt sich: A Aufgabe.: A schraffierte Fläche des schraffierten reisabschnittes A A y da A da. a A da xa x a y x y a dy dx a a x a dx. Nach F+H, Integral Nr. 05, ist x dx x x + arcsinx Damit ergibt [ sich da A x ] xa x + arcsinx a [x] xa x a x a a a + arcsina a a arcsina a a
4 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember b A da y y y a y a x y dx dy x y y dy Nach F+H, Integral Nr. 05, ist Damit ergibt sich [ da A y [x] x y y a x y dy y dy y y + arcsiny. y ] y [ y + arcsiny y ] y y + arcsiny y a y a + arcsin a a arcsin a π a a arcsin a π arcsin a a a Für den Zähler von y s erhält man y da a x y dy dx a [ y] x a dx a a A a a a x dx [a x x] a a a. a y s a arcsina a a. [ Für den Fall a ergibt ] sich für den Schwerpunkt der oberen Hälfte der Einheitskreisfläche: 4 S 0 ; 0 ; 0, 4 π
5 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember Aufgabe.: Berechnen Sie das Volumen V und den geometrischen Schwerpunkt S eines Zylinders mit dem Radius und der Höhe. Lösung Aufgabe. Das Volumen V ist nach Schulwissen gleich Grundfläche Höhe, also V π π, und der geometrische Schwerpunkt liegt auf der Hauptachse des Zylinders in der halben Höhe. Diese Aufgabe wird mit Zylinderkoordinaten gelöst: a b V r r 6 π da r r [ r ϕ] ϕ π dr [ ] r r 6 π 4 π r dr r π dr Dieser Wert entspricht tatsächlich dem Volumen, V π r h π. V r [ r da ] r 6 r r dr π Da ϱ unabhängig von x, y, z ist, kann ϱ gesetzt werden. Um den Algorithmus zu testen, wird zunächst der Nenner dv berechnet bei Zylinderkoordianten gilt dv r dr dϕ: dv r r r z z0 dv Zylinderkoordinaten r r [z] z z0 dr r r [ϕ] ϕ π dr 6 π 6 π 4 π r z z0 r dr 6 π r dz dr r dr [ ] r r Da dieses Rechenverfahren das richtige Ergebnis liefert, versuchen wir es mit den Zählern:
6 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember Bestimmung des Zählers von x s r cosϕ : x dv r r r r r z z0 z z0 x dv r cosϕ r dz dr Zylinderkoordinaten r cosϕ [z] z z0 dr r cosϕ dr r [sinϕ] ϕ π dr r Also ergibt sich x s 0 - auch dieses Ergebnis ist glaubhaft. Bestimmung des Zählers von y s r sinϕ : y dv r r r r r z z0 z z0 y dv r sinϕ r dz dr y Zylinderkoordinaten r sinϕ [z] z z0 dr r cosϕ dr r [ cosϕ] ϕ π dr r Also ergibt sich y s 0 - auch dieses Ergebnis ist glaubhaft. Bestimmung des Zählers von z s : z dv r r r 9 r Also ergibt sich z s 8 π π Damit ist S 0, 0,. z z0 z r z0 z dv [ z z r dz dr Zylinderkoordinaten ] z z0 r [ϕ] ϕ π dr 9 π dr 9 [ ] r r r sin π sin0 dr 0 r cos π + cos0 dr 0 r 8 π.5 - auch dieses Ergebnis ist glaubhaft. r dr
7 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember Aufgabe.4 Stehaufmännchen: Ein Stehaufmännchen ist - aus einer hölzernen egelpitze Ho rot mit einer gesuchten Dichte ϱ Ho - aus einem eisernen egel Ei violett mit der Dichte ϱ Ei 7 g cm - aus einem eisernen ugelsektor Ei blau mit der Dichte ϱ Ei 7 g cm zusammengesetzt mit einem glatten Übergang zwischen egel und ugelabschnitt. Die Gesamthöhe beträgt das Dreifache des ugelradius R Ei. Welche Dichte ϱ Ho darf das Holz höchstens haben, damit das Männchen wirklich aufsteht? Bild.4.: Stehaufmännchen Bemerkung zur Physik: Wenn - z Ho die z-omponente des Schwerpunktes der Masse m Ho der egelspitze ist und - z Ei die z-omponente des Schwerpunktes der Masse m Ei des egels ist und - z Ei die z-omponente des Schwerpunktes der Masse m Ei des ugelsektors ist, dann ist die z-omponente z ges der drei Massen m Ho + m Ei + m Ei gegeben durch z ges z Ho m Ho + z Ei m Ei + z Ei m Ei m Ho + m Ei + m Ei Das Stehaufmännchen steht wirklich auf, wenn z ges < z Ei, also hier z ges < 0 ist. Lösung von Aufgabe.4: egelspitze Ho rot: Aus der Schule ist bekannt. Das Volumen V Ho eines egels ist gleich entsprechenden Zylinders. des Volumens des Hier ist der Radius R Ho des egels gegeben durch R Ho R und die Höhe H Ho durch H Ho R. Also wäre das entsprechende Zylindervolumen V Z Grundfläche Höhe π R Ho H Ho π R R oder V Z π 9 8 R. Damit beträgt nach dem Schulwissen das egelvolumen V Ho V Z π 9 8 R π 8 R Nun soll der Schwerpunkt S x S, y S, z S dieses egels bestimmt werden. Aus Symmetriegründen ist ersichtlich: x S y S 0, d.h. es ist nur z S auszurechnen. Nach Definition ist Ho z Ho ϱ Ho z dho ϱ Ho Ho dho Da hier ϱ Ho eine onstante ist, gilt hier z dho z Ho Ho dho Ho
8 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember Um unser Rechenverfahren zu testen, berechnen wir zunächst den Nenner - denn hier kennen wir das Ergebnis. Zur Geometrie: Wir wollen Zylinderkoordinaten verwenden, d.h. wir wollen die Geometrie durch. eine Achse in radialer Richtung r. eine Achse in Umfangsrichtung ϕ. eine Achse in Richtung der Höhe z beschreiben. Die ersten beiden Achsen haben wir bereits als Polarkoordinaten kennengelernt. In Umfangsrichtung ist 0 ϕ π. In radialer Richtung ist 0 r R. Die Höhe z ist von r abhängig: Also ist - wenn r 0 ist, soll z R sein, - wenn r R ist, soll z 0 sein, - zwischen r 0 und r R ist die Abhängigkeit von z linear. z R r Damit kann der Nenner N Ho von als Dreifachintegral berechnet werden: N Ho Ho dho π R r R r R r R z R r z0 r [z] z R r z0 dr r R r dr [ 4 r R ] r r R 4 4 R 4 R 6 8 π R Dichte r dz dr Zylinderkoordinaten R Dieses ist genau das Volumen der egelspitze - dieses Ergebnis hatten wir auch erwartet. Wenn nun die egelspitze die Dichte ϱ Ho besitzt, so ist seine Masse m Ho ϱ Ho V Ho ϱ Ho 8 π R [g]
9 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember Nun kann der Zähler Z Ho von z Ho siehe Gleichung nach dem gleichen Verfahren wie der Nenner berechnet werden: Z Ho Ho z dho π R 4 Daher ist z Ho Z Ho N Ho Damit gilt: r R r R r R r R [ r z z R r z0 ] z R r z0 R r z Dichte dr dr r 9 8 R r R r + r [ 9 6 R r R r + 4 r4 9 R R π R4 9 π 64 R4 π R 64 R 8 R. ] r R 9 6 r dz dr Zylinderkoordinaten dr Der Schwerpunkt der egelspitze Ho mit der Höhe H Ho R und dem Radius R Ho R hat die oordinaten x Ho, y Ho, z Ho 0, 0, R 8 Da die egelspitze nicht in der Höhe z 0, sondern in der Höhe z R beginnt, ist z Ho R + 8 R 7 8 R 4
10 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 00 egel Ei violett mit der Dichte ϱ Ei 7 g cm : Hier ist die untere Begrenzung der egelfläche gegeben durch die Gerade Da auch ϱ Ei eine onstante ist, gilt hier z Ei z r z dei Ei Ei sowie z Ei Zunächst wird das Volumen V Ei und die Masse m Ei N Ei Ei ϱ Ei dei r R r R ϱ Ei ϱ Ei [ r ϱ Ei R ϱ Ei 8 π R r R ϱ Ei [r z] z R z ϱ Ei z dei Ei dei 5 Ei als Dreifachintegral berechnet: z R z r dr r r R r 4 R 9 r 6 R 9 4 R ] r R ϱ Ei Dichte dr 6 ϱ Ei R 6 [ϕ]ϕ π Das Volumen des egels beträgt also Volumen V Ei 8 π R cm Die Masse des egels beträgt also r dz dr Zylinderkoordinaten Masse m Ei 7 V Ei 7 8 π R [g] 6
11 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 0 Nun kann der Zähler von z Ei siehe Gleichung 5 nach dem gleichen Verfahren wie der Nenner berechnet werden: Z Ei Nun ist daher Ei ϱ Ei z dei r R r R r R r R r R z R z r ϱ Ei z r dz dr Zylinderkoordinaten ϱ Ei r [z ] z R dr z r ϱ Ei r R r dr ϱ Ei r 4 R r dr ϱ Ei 8 R r 6 r [ ϱ Ei 6 R r 4 r4 ϱ Ei R ϱ Ei R ] r R 8 ϱ Ei R 4 dr 8 [ϕ]ϕ π ϱ Ei R 4 64 π Damit gilt: z Ei Z Ei ϱ Ei R 4 π 64 N Ei ϱ Ei π 8 R 8 R 7 Der Schwerpunkt des egels Ei mit der Höhe H Ho R und dem Radius R Ho R hat die oordinaten x Ei, y Ei, z Ei 0, 0, 8 R
12 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 0 ugelsektor Ei blau mit der Dichte ϱ Ei 7 g cm : Zur Geometrie: Wir wollen ugelkoordinaten verwenden, d.h. wir wollen die Geometrie durch. einen Winkel ϑ vom Nordpol bis zum Südpol. einen Winkel ϕ in Umfangsrichtung. einen Abstand r vom ugelmittelpunkt beschreiben. In Umfangsrichtung ist 0 ϕ π. Vom Nordpol zum Südpol ist π ϑ π. Für den Abstand vom ugelmittelpunkt gilt 0 r R Damit kann der Nenner N Ei von 5 als Dreifachintegral berechnet werden: N Ei Also ist Ei ϱ Ei ϱ Ei ϱ Ei dei ϑπ rr ϑ π ϑπ ϱ Ei R ϱ Ei R ϑ π ϑπ ϑ π ϑπ ϑ π rr ϱ Ei r sinϑ dr dϑ [ ] rr r sinϑ dϑ R sinϑ dϑ [ cosϑ] ϑπ ϑ π π cosπ + cos ϱ Ei R [ϕ] ϕ π ϱ Ei π R ϱ Ei r sinϑ dr dϑ Dichte ugelkoordinaten ϱ Ei R + Masse m Ei ϱ Ei π R 7 π R [g] 8
13 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 0 Nun kann der Zähler Z Ei von z Ei nach dem gleichen Verfahren wie der Nenner berechnet werden, wobei zu berücksichtigen ist, dass bei ugelkoordinaten z r cosϑ ist: Z Ei Daher ist ϱ Ei ϱ Ei Nach ist nun z dei Ei ϱ Ei 4 R4 ϑπ ϑ π ϑπ rr ϑ π ϑπ rr ϱ Ei z r sinϑ dr dϑ Dichte ugelkoordinaten r cosϑ r sinϑ dr dϑ zr cosϑ [ 4 r4 cosϑ sinϑ ϑ π ϑπ ϱ Ei 4 R4 ϱ Ei 8 R4 ϱ Ei 8 R4 ϑ π ] rr cosϑ sinϑ dϑ ϑπ sin ϑ F +H,8 ϑ π π sin π sin 4, dϕ ϱ Ei dϑ R4 [ϕ] ϕ π ϱ Ei 6 π R4 z Ei Z Ei ϱ Ei π 6 R4 N Ei ϱ Ei π R 6 R 9 z ges z Ho m Ho + z Ei m Ei + z Ei m Ei m Ho + m Ei + m Ei 7 8 R ϱ Ho π 8 R + R 7 π 8 8 R R 7 π 6 R ϱ Ho π 8 R + 7 π 8 R + 7 π R 7 8 R ϱ Ho ϱ Ho R ϱ 64 Ho ϱ 8 8 Ho R 8 ϱ Ho + 84 ϱ Ho + 6 R 8 ϱ Ho 6 ϱ Ho + 6 Also gilt: z ges < 0, falls ϱ Ho < 6 oder ϱ Ho < Diese Bedingung ist für alle bekannten Holzarten erfüllt.
14 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 04 Ergänzung : Was wäre, wenn für den ugelsektor gelten würde g ugelsektor Ei blau mit der Dichte ϱ Ei 7 z cm? Dann müssen wir bereits im Nenner berücksichtigen, dass in ugelkoordinaten gilt z r cosϑ Es ist nach MAPLE, d.h. nicht selbst gerechnet!: Also ist N Ei Ei ϱ Ei dei ϑπ ϑ π ϑπ ϑ π rr ϑπ ϑ π rr ϱ Ei r sinϑ dr dϑ Dichte ugelkoordinaten 7 r cosϑ r sinϑ dr dϑ zr cosϑ 4 cosϑ R4 + 7 R sinϑ dϑ R4 + 7 R 6 π R4 + 7 π R Masse m Ei 6 π R4 + 7 π R 0 und für den Zähler Z Ei von z Ei gilt nach dem gleichen Verfahren wie für den Nenner: Z Ei Daher ist Ei z dei ϑπ ϑ π ϑπ ϑ π rr ϑπ ϑ π rr 7 z Dichte z r sinϑ dr dϑ ugelkoordinaten 7 r cosϑ r cosϑ r sinϑ dr dϑ zr cosϑ 5 cos ϑ sinϑ R cosϑ sinϑ R4 dϑ 40 R5 R4 0 π R5 6 π R4 z Ei Z Ei N Ei Für R ist dann z Ei π R5 6 π R4 6 π R4 + 7 π R
15 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 05 Ergänzung : Wo läge der Schwerpunkt, wenn die Dichte in einer vollständigen ugel Ei4 mit Radius R g gemäß ϱ Ei4 7 z verteilt wäre? cm N Ei4 Ei4 ϱ Ei dei4 ϑπ ϑ0 ϑπ ϑ0 4 R rr ϑπ ϑ0 rr ϱ Ei4 r sinϑ dr dϑ Dichte ugelkoordinaten 7 r cosϑ r sinϑ dr dϑ 4 cosϑ R4 + 7 R sinϑ dϑ 8 R π Z Ei4 Daher ist Ei4 ϱ Ei z dei4 ϑπ ϑ0 4 R5 π 5 rr Für R ist dann z Ei ϑπ ϑ0 rr ϱ Ei4 z r sinϑ dr dϑ Dichte ugelkoordinaten 7 r cosϑ r cosϑ r sinϑ dr dϑ z Ei4 Z Ei4 R N Ei4 5 Aufgabe.5: REP BEI.44 Berechnen Sie den Flächeninhalt F und den geometrischen Schwerpunkt der Fläche zwischen der urve y x, der x-achse und den Geraden x und x. Aufgabe.6: REP BEI.45 Berechnen Sie den Flächeninhalt F und den geometrischen Schwerpunkt der Fläche zwischen der urve y cosx und der x-achse für π x π. Aufgabe.7: Aus der Vektorrechnung ist bekannt: Der Schwerpunkt s a, b des von den Vektoren a und b aufgespannten Dreiecks ist s a, b a + b Andererseits ist aus der oordinatengeometrie bekannt, dass des Schwerpunkt S des durch die drei Punkte x, y, x, y und x, y bestimmten Dreiecks lautet: x + x + x S x s, y s :, y + y + y Zeigen Sie, dass bei richtigen Bezeichnungen s a, b und S den gleichen Schwerpunkt bezeichnen.
16 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 06 Lösung von Aufgabe.7: Wir teilen die Lösung in zwei Teile: zunächst berechnen wir den Schwerpunkt nach der in der Aufgabe genannten Formel und dann untersuchen wir, welches Ergebnis wir bei Anwendung der Integralrechnung erhalten.. Schwerpunkt-Formel aus der Aufgabenstellung Es wird x, y als Nullpunkt betrachtet. Dann ist a x x, y y und b x x, y y und s a, b x s x, y s y gesetzt. Dann ist a + b x + x x, y + y y und daher s a, b a + b x + x x, y + y y x + x x, y + y y x + x + x x, y + y + y y x + x + x x, y + y + y y x s x, y + y + y y. Schwerpunkt-Formel aus der Integralrechnung Wir betrachten wieder x, y als Nullpunkt: x, y 0, 0. Zusätzlich setzen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit y 0. Nun berechnen wir x s x df F df F Fall 0 x < x und y > 0: xx y y x x xx y y x+ df dy dx F x0 y0 + x y x x x x dy dx xx y0 xx [y] y y x x xx y0 dx + [y] y y x+ x y x x x x y0 dx x0 xx xx y xx x dx x0 x + y x + x y dx xx x x x x [ y ] xx x [ x + y x0 x x x + x ] xx y x x x xx y x x + y x x x x + x y x x x x y x + y x x x x + x y x x x x y x + y x + x + x y y x + y x x Wegen x < x und y > 0 und x > 0 also y x + y x x x y D.h. der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt F x y
17 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 07 F D.h. x s oder x df xx x0 xx x0 xx x0 y y x x y0 [ y x x y x x x dy dx x [y] y y x x y0 dx y x dx + x ] xx x xx xx xx xx xx xx y y x x x+ x y x x y0 x dy dx x [y] y y x+ x y x x x x y0 dx y x + x y x x x x x [ y x x x + x y x x x ] xx dx xx + y x x x x x y + x x x x [ y x + y x x x x + x ] + x x Wegen y > 0 und x > 0 also y x + y x x x x + x + x x y x + y 6 x + 6 x x x 6 y x + x x + x x F x df F df y 6 x + x x + x x x y x s x + x x + x x x x + x wie in der oordinatengeometrie. Die y-omponente wird entsprechend berechnet.
18 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 08 Aufgabe.8 Volumenintegral: In IR seien die beiden urven P : { x, y, 0 IR, y x + x } und G : { x, y, 0 IR, y x } sowie die Fläche F : { x, y, z IR, z x + y } a Zeichnen Sie die beiden urven P und G und schraffieren Sie die von den beiden urven eingschlossene Fläche. b Berechnen Sie das Volumen des örpers über der in der x, y-ebene schraffierten Fläche nach a, die nach oben durch die Fläche F beschränkt ist. c Berechnen Sie den geometrischen Schwerpunkt dieses Volumens. Lösung der Aufgabe.8a: siehe nebenstehendes Bild. 0 Lösung der Aufgabe.8b: Das Volumen V dieses örpers ist definiert durch V also V x y x + x x0 x x0 Damit ist V x x0 x y x x + y dy dx [x y + y ] y x + x y x dx. x x + x + x + x x dx oder V x 4 + x + x4 6 x + 9 x x dx x0 x x4 x + 5 x dx x0 [ 0 x5 4 x ] x x x Zu Aufgabe.8a 40 Lösung der Aufgabe.8c: Nach Definition F+H Seite 4 ist die x-omponente des geometrischen Schwerpunktes eines örpers mit dem Volumen V definiert durch x S V x dv, also hier x S V V V V x y x + x zx +y x0 y x x y x + x x0 y x x y x + x x0 x x0 y x z0 x dz dy dx [x z] zx +y z0 dy dx x + x y dy dx [x y + ] y x + x x y dx y x
19 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 09 V V x x0 x x0 x x + x + x x + x x dx x5 x x dx [ V x6 5 x ] x x4 x V y S V z S V x y x + x zx +y x0 y x z0 x y x + x zx +y x0 y x z0 y dz dy dx z dz dy dx
Serie 6. x 2 + y 2, 0 z 4.
Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 6 Serie 6. Wir betrachten drei verschiedene Flaschen in der Form eines Paraboloids P, eines Hyperboloids H und eines Kegels K. Diese sind wie folgt gegeben: P = {
Mehrein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.
1.13 Koordinatensysteme (Anwendungen) Man ist immer bemüht, für die mathematische Beschreibung einer wissenschaftlichen Aufgabe ( Chemie, Biologie,Physik ) ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Kurven im R n
Vorkurs Mathematik Übungen zu urven im R n Als bekannt setzen wir die folgende Berechnung voraus: Sei f : [a, b] R eine urve im R. Die Länge L der urve berechnet sich durch L b a f t dt urven in R Aufgabe.
Mehr8 Blockbild und Hohenlinien
Mathematik fur Ingenieure Institut fur Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik Dr. Dirk Windelberg Universitat Hannover Stand: 18. August 008 http://www.iazd.uni-hannover.de/windelberg/teach/ing
Mehrmit 0 < a < b um die z-achse entsteht.
Übungen (Aufg. u. Lösungen) zu Mathem. u. Lin. Alg. II SS 6 Blatt 8 13.6.6 Aufgabe 38: Berechnen Sie das Volumen des Volltorus, der durch Rotation der reisscheibe { (x, y, z) R 3 y, (x b) + z a } mit
MehrMehrdimensionale Integralrechnung 2
Mehrdimensionale Integralrechnung Quiz Wir wollen die Dynamik zweier Teilchen beschreiben, die über ein hoch elastisches Seil verbunden sind und sich wild im Raum bewegen! Ein Kollege schlägt dazu vor
MehrAnalysis II für M, LaG/M, Ph 12. Übungsblatt
Analysis II für M, La/M, Ph. Übungsblatt Fachbereich Mathematik WS / Prof. Dr. Christian Herrmann 8.. Vassilis regoriades Horst Heck ruppenübung Aufgabe. erechnen Sie das ebietsintegral sin (x y) d, wobei
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen 1. Juni 13 *Aufgabe 1. erechnen Sie durch Übergang zu Polar-, Kugel- oder Zylinderkoordinaten die Fläche bzw. das Volumen (a) der von der Lemniskate x y (x + y ) = umschlossenen
MehrIntegralrechnung für Funktionen mehrerer Variabler
Inhaltsverzeichnis 9 Integralrechnung für Funktionen mehrerer ariabler 36 9. Integration über ebene Bereiche in kartesischen Koordinaten.............. 36 9. Integration über ebene Bereiche in Polarkoordinaten..................
Mehrφ(ζ, η) = (ζ η, η) = (x, y), bijektiv und stetig differenzierbar ist. Die Jacobi-Matrix von φ lautet: f(ζ) det(dφ(ζ, η)) dζ dη f(ζ) dζ dη.
Übungen (Aufg und Lösungen zu Mathem u Lin Alg II SS 6 Blatt 9 66 Aufgabe 43: Sei f : R R eine stetige Funktion Formen Sie das Integral f(x + y dx dy in ein einfaches Integral um Lösung: Führe neue Koordinaten
MehrIntegralrechnung für GLET
Freitagsrunden Tech Talk November 2, 2012 1 Grundlagen Rechenregeln für Integrale 2 Mehrdimensionale Integrale Flächenintegrale Volumenintegrale Lösbar? 3 Kugel- und Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten
MehrFerienkurs Analysis 3 für Physiker. Übung: Integration im R n
Ferienkurs Analysis für Physiker Übung: Integration im R n Autor: Benjamin Rüth Stand: 6. Mär 4 Aufgabe (Zylinder) Gegeben sei der Zylinder Z der Höhe h > über dem in der x-y-ebene gelegenen reis mit Radius
Mehr1 Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben
Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben. Lösungen zu den Aufgaben zum Kapitel.. Tutoraufgaben. Man stellt fest: fx, y x, y G. omit ist f beschränkt auf G a Da f auf G beschränkt, ist f auf G Riemann-Integrabel
MehrVorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Thema: Transformationsformel für Gebietsintegrale
Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 7/8 Michael Karow Thema: Transformationsformel für Gebietsintegrale Transformation von Gebietsintegralen im 2 (Satz 24 im Skript) Seien, 2 kompakte
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 9/ Blatt 4..9 Aufgabe : Berechnen Sie das Volumen des Volltorus, der durch Rotation der reisscheibe { x,, z R 3, x b + z a } mit < a < b um die z-achse entsteht.
MehrÜbungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 15
5. Es sei Übungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 5 f(x, y) : x y, : x, y, x + y, y x. erechnen Sie f(x, y) d. Wir lösen diese Aufgabe auf zweierlei Art. Zuerst betrachten wir das Gebiet
MehrAnalysis IV. Gruppenübungen
Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner TECHNISCHE UNIVESITÄT DAMSTADT ASS 6 7.7.26 Analysis IV 3. Übung mit Lösungshinweisen (G ) Berechnung einiger Volumina Gruppenübungen
MehrKarlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang Sommersemester 3 8.6.3 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektrotechnik und Informationstechnik
Mehr1 Das Prinzip von Cavalieri
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann SS 14 11.6.14 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik 5. Saalübung 11.6.14 1 Das Prinzip von
Mehr7 Differential- und Integralrechung für Funktionen
Differential- und Integralrechung für Funktionen mehrer Veränderlicher 7 7 Differential- und Integralrechung für Funktionen mehrer Veränderlicher Die Differential- und Integralrechung für Funktionen mehrer
Mehr2.3 Gekrümmte Oberflächen
2.3 Gekrümmte Oberflächen Jede Fläche im R 3 besitzt eine zweidimensionale Parameterdarstellung, so dass die Punkte der Fläche durch r(u, u 2 ) = x(u, u 2 )ê x + y(u, u 2 )ê y + z(u, u 2 )ê z beschrieben
MehrMathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008
1 / 61 Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III 17.10.2008 2 / 61 Wiederholung Parameterintegrale Zweidimensionale Riemann Integrale 3 /
Mehr19.3 Oberflächenintegrale
19.3 Oberflächenintegrale Definition: Sei D R 2 ein Gebiet und p : D R 3 eine C 1 -Abbildung x = p(u) mit x R 3 und u = (u 1, u 2 ) T D R 2 Sind für alle u D die beiden Vektoren und u 1 linear unabhängig,
Mehr1 Integrale von Funktionen in mehreren Variablen
Mathematik für Ingenieure III, WS 9/ Montag 9. $Id: integral.te,v.6 9//9 4:7:55 hk Ep $ Integrale von Funktionen in mehreren Variablen.4 Flächen und Volumina Angenommen wir haben einen örper R 3 gegeben.
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 11/1 Blatt 8 3.11.11 Aufgabe 5: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion fx, y 3x 5xy y + 3 und entscheiden Sie, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt
Mehr2 x x 2 y 2 vol(a) = d(x, y, z) = 4 3 x3 dx = [ 1
UNIVERSITÄT ARLSRUHE Institut für Analsis HDoz Dr P C unstmann Dipl-Math M Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Phsik und Geodäsie inklusive omplexe Analsis
MehrFakultät für Physik Wintersemester 2016/17. Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik
Fakultät für Physik Wintersemester 16/17 Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik Dr. Andreas K. Hüttel Blatt 8 / 7.1.16 1. Schwerpunkte Berechnen Sie den Schwerpunkt in
MehrProf. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst. Fakultät Mathematik TU Dortmund
Prof. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst akultät athematik TU Dortmund usterlösung zum 5. Übungsblatt zur Höheren athematik II P/ET/AI/IT/IKT/P) SS Aufgabe Die läche R 3 sei der Teils des Paraboloids z +y,
Mehr12. Mehrfachintegrale
- 1-1. Mehrfachintegrale Flächen- und Volumenelemente Naive Gemüter sind geneigt, den Flächeninhalt dx dy (kartesische Koordinaten) in den neuen Koordinaten durch du dv anzugeben. Das ist i.a. falsch!
Mehrx + y + z = 6, x = 0, z = 0, x + 2y = 4, indem Sie das Volumen als Dreifachintegral schreiben.
Übungen (Aufg. u. Lösungen) zur Ingenieur-Mathematik II SS 8 Blatt 1 3.7.8 Aufgabe 47: Berechnen Sie das Volumen des von den folgenden Flächen begrenzten Körpers x + y + z 6, x, z, x + y 4, indem Sie das
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt N dl. y 3
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS / Blatt 9.. Aufgabe 5: Berechnen Sie das Integral K ( x y N dl über den Rand des Kreises K {(x, y x + y } einmal direkt mit Hilfe einer geeigneten Parametrisierung
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 9: Mehrdimensionale Integrale Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 9. Mehrdim. Int. 1 / 39 1 Doppelintegrale 2 Prof.
MehrSerie 9: Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum
: Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum Bemerkung: Die Aufgaben der sind der Fokus der Übungsstunden vom 6./8. April.. Überprüfung des Satzes von Green Der Satz von Green besagt
Mehr11. Übungsblatt zur Mathematik II für MB
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. U. Reif R. Hartmann, T. Koch SS 8.6.. Übungsblatt zur Mathematik für MB Aufgabe 5 ntervall im R egeben sei das ntervall { (x, y, z) R : π x π, y, z π}. Berechnen Sie x
MehrR 1. 3 x 1+9. y 1 (x) = x 2, y 2(x) = x 3, y 3(x) = p x
Studiengang: ME/MB Semester: SS 9 Analysis II Serie: Thema: bestimmtes Integral. Aufgabe: Berechnen Sie den Wert der folgenden bestimmten Integrale: d) g) j) R (x e x )dx, b) R sinx cos7xdx, e) R e R p
MehrEine kurze Geschichte der Trägheit
Eine kurze Geschichte der Trägheit G. Schmidt 8. Mai 2 Zusammenfassung Beispiele für die Berechnung des Trägheitsmomentes von örpern längs beliebiger Achsen. Diese kurze Abhandlung ist entstanden nachdem
MehrD-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 15 Dr. Ana Cannas. Serie 8: Satz von Green und Oberflächenintegrale
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 8: Satz von Green und Oberflächenintegrale Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 8 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom./3. April.. Den Satz
Mehr4. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 3. Wintersemester 2015/ , E 2 := (x, y, z) R 3 4z M := Z E 1 E 2.
Dr. F. Gaspoz, Dr. T. Jentsch, Dr. A. Langer, J. Neusser, J. Schmid. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 3 Wintersemester 1/16 Apl. Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. Michael Wolf Daniel Stilck França Stefan Huber Zentralübung TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik 4 für Physiker (Analysis 3) MA94 Z4.. Parametrisierungsinvarianz des Oberflächenintegrals
Mehr1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle
Anmerkung zur Notation Im folgenden werden folgende Ausdrücke äquivalent benutzt: r = x y = x 1 x 2 z x 3 1 Der Vektoroperator Definition: := e x x + e y y + e z z = x y z. Nabla ist ein Vektor, der als
MehrSeite 1. sin 2 x dx. b) Berechnen Sie das Integral. e (t s)2 ds. (Nur Leibniz-Formel) c) Differenzieren Sie die Funktion f(t) = t. d dx ln(x + x3 ) dx
Seite Aufgabe : a Berechnen Sie das Integral b Berechnen Sie das Integral +x x+x dx. π sin x dx. c Differenzieren Sie die Funktion ft = t e t s ds. Nur Leibniz-Formel a + x x + x dx = d dx lnx + x dx =
MehrÜbung 1 - Musterlösung
Experimentalphysik für Lehramtskandidaten und Meteorologen 8. April 00 Übungsgruppenleiter: Heiko Dumlich Übung - Musterlösung Aufgabe Wir beginnen die Aufgabe mit der Auflistung der benötigten Formeln
MehrAnalog ist ein Bereich D in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form. ist, wobei die Rollen der Koordinaten x, y, z vertauscht sein können.
142 Analog ist ein Bereich in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form = { (x,y,z) a x b,u(x) y o(x),ũ(x,y) z õ(x,y) } ist, wobei die Rollen der Koordinaten x, y, z vertauscht sein können. efinition
MehrNormalbereiche in R 2 sehen wie folgt aus: Analog ist ein Bereich D in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form
155 Normalbereiche in R 2 sehen wie folgt aus: Analog ist ein Bereich in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form = { (x,y,z) a x b,u(x) y o(x),ũ(x,y) z õ(x,y) } ist, wobei die Rollen der Koordinaten
MehrSchwerpunkt homogener ebener Flächen: Teil 2
Celle, Stadtkirche St. Marien, Fragment Schwerpunkt homogener ebener Flächen: Teil 3 E Ma Lubov Vassilevskaya Flächeninhalt 3 E Ma Lubov Vassilevskaya Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche: Aufgaben
Mehr2.9 Die komplexen Zahlen
LinAlg II Version 1 3. April 2006 c Rudolf Scharlau 121 2.9 Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen sind unverzichtbar für nahezu jede Art von höherer Mathematik. Systematisch gehören sie zum einen in
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 12: Integralsätze von Gauss und Stokes Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 12. Integralsätze 1 / 25 1 Gauss-scher Integralsatz
Mehrx(t) := 1 k definierte Funktion. (a) Berechnen Sie ẋ(t) und ẍ(t). (b) Zeigen Sie, daß die Funktion x = x(t) eine Lösung der Differentialgleichung
Übungen (Aufg. u. Lösungen) zu Mathem. u. Lin. Algebra II SS 26 Blatt 7 3.5.26 Aufgabe 33: Die Funktion f : R R sei stetig. Betrachten Sie die durch x(t) : 1 k f(u) sin (k(t u)) du definierte Funktion.
MehrLösung zur Klausur zur Analysis II
Otto von Guericke Universität Magdeburg 9.7.4 Fakultät für Mathematik Lösung zur Klausur zur Analysis II Vorlesung von Prof. L. Tobiska, Sommersemester 4 Bitte benutzen Sie für jede Aufgabe ein eigenes
MehrBrückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag
Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs
MehrÜbungen zum Ferienkurs Theoretische Mechanik
Übungen zum Ferienkurs Theoretische Mechanik Starre Körper Übungen, die mit einem Stern markiert sind, werden als besonders wichtig erachtet. 3.1 Trägheitstensor eines homogenen Quaders Bestimmen Sie den
MehrSerie 5. Figure 1: 1.a)
Analsis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 16 Serie 5 1. Bei den folgenden Integralen ist die Reihenfolge der Integrationen umzukehren: Die innere Variable soll zur äusseren werden und umgekehrt. Wie lautet
MehrDynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.2/29
Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Komplexe Zahlen Kapitel 3 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.0/29 Motivation Für die
Mehr) sei stückweise stetige differenzierbare Kurve in
. Integration.. urvenintegrale. Art Neben urvenintegralen. Art [9..] existieren auch urvenintegrale. Art. Def.. ( () = (), (), () x t x t x t x t Parameterdarstellung und v( x) v ( x) v ( x) v ( x) v:
MehrTechnische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 3 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras 9..3 Oktober Klausur Analysis II für Ingenieure Rechenteil. Aufgabe Punkte i) Wir berechnen zunächst
MehrVektor-Multiplikation Vektor- Multiplikation
Vektor- Multiplikation a d c b Thema: Schultyp: Vorkenntnisse: Bearbeitungsdauer: Vektor-Multiplikation: Vektorprodukt Mittelschule, Berufsschule, Fachhochschule Elementare Programmierkenntnisse, Geometrie,
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten
MehrMusterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Probeklausur Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) I...
................ Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
MehrMathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie
Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie
MehrLösung zu Serie 2. D-ERDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana Cannas. Mathematik II FS März 2016
Mathematik II FS 6. März 6 Lösung zu Serie Bemerkung: Die Aufgaben der Serie sind der Fokus der Übungsstunden vom./3. März.. a y = x und es wird die ganze Parabel einmal durchlaufen, denn x nimmt alle
MehrHöhere Mathematik III
Blatt 4 Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Höhere Mathematik III el, kyb, mecha, phys Prof. Dr. J. Pöschel Dr. D. Zimmermann Dipl.-Math.. Sanei ashani 1.11.14 Vortragsübungen (Musterlösungen)
MehrIntegration über allgemeine Integrationsbereiche.
Integration über allgemeine Integrationsbereiche. efinition: Sei R n eine kompakte und messbare Menge. Man nennt Z = { 1,..., m } eine allgemeine Zerlegung von, falls die Mengen k kompakt, messbar und
MehrMathematik II: Übungsblatt 01: Lösungen
N.Mahnke Mathematik II: Übungsblatt 01: Lösungen Verständnisfragen: 1. Was versteht man unter einer parametrisierten ebenen Kurve? Eine parametrisierte ebene Kurve ist eine auf dem offenen Intervall ]t
Mehr14.3 Berechnung gekrümmter Flächen
4.3 Berechnung gekrümmter Flächen Gekrümmte Flächen werden berechnet, indem sie als Graph einer Funktion zweier Veränderlicher aufgefasst werden. Fläche des Graphen einer Funktion zweier Veränderlicher
MehrMusterlösungen Serie 6
D-MAVT D-MATL Analysis II FS 1 Prof. Dr. P. Biran Musterlösungen Serie 6 1. Frage 1 [Analysis Prüfung Winter1] Ein Vektorfeld v(x,y,z) mit Definitionsbereich erfüllediv( v) =. Was folgt? Es gibt eine Funktionf(x,y,z)
MehrCrash-Kurs Komplexe Zahlen
1 Definitionen: j, C, z Im Körper R der reellen Zahlen besitzt die lineare Gleichung ax + b = 0 (a, bεr; a 0) stets eine Lösung. Die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 führt zu der Lösungsformel
MehrFunktionen mehrerer Variablen: Integralrechnung. Aufgaben mit Lösungen. Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya
Funktionen mehrerer Variablen: Integralrechnung ufgaben mit Lösungen Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya Inhaltsverzeichnis ii Doppelintegrale. Doppelintegrale.. Doppelintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt
MehrPrüfung Modul A, Teil 2 (Mathematik 2) (Fernstudium Bauingenieurwesen)
Name: Vorname: Matrikelnummer: TU Dresden, Fachrichtung Mathematik, Dr. N. Koksch 6. Februar 8 Prüfung Modul A, Teil (Mathematik ) (Fernstudium auingenieurwesen) ewertet werden nur solche Lösungsschritte,
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Karlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Analysis.6.3 Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick reuning Aufgabe Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik 9. Übungsblatt Ein Heißluftballon
Mehr8.2 Integralrechnung für mehrere Variable
8.2 Integralrechnung für mehrere Variable Der bisher behandelte Begriff des Integrals einer Funktion mit einer einzigen Variablen lässt sich auf mehrere Arten verallgemeinern. Zunächst führt die Erweiterung
MehrFormeln für Formen 4. Flächeninhalt. 301 Berechne die Höhe h von einem Rechteck, einem Parallelogramm und einem Dreieck, die jeweils den Flächeninhalt
1 7 Flächeninhalt 301 Berechne die Höhe h von einem Rechteck, einem Parallelogramm und einem Dreieck, die jeweils den Flächeninhalt A = cm 2 und die Grundlinie a = 4 cm haben. Rechteck: h = 2,5 cm Parallelogramm:
Mehr2 Koordinatentransformationen
Mathematik für Ingenieure III, WS 9/ Mittwoch 8. $Id: transform.tex,v.8 //4 :9: hk Exp $ Koordinatentransformationen. Lineare Koordinatentransformationen Wir überlegen uns dies zunächst im Spezialfall
MehrSerie 4: Gradient und Linearisierung
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Gradient und Linearisierung Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 4 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 7./9. März.. Wir betrachten die
MehrHöhere Mathematik Vorlesung 4
Höhere Mathematik Vorlesung 4 März 217 ii In der Mathematik versteht man die inge nicht. Man gewöhnt sich nur an sie. John von Neumann 4 as oppelintegral Flächen, Volumen, Integrale Ob f für a x b definiert
MehrParametrisierung und Integralsätze
Parametrisierung und Integralsätze 2. März 2 Integration in der Ebene. Defintion: eien w,..., w n stückweise reguläre, einfach geschlossene Kurven in R 2, seien W,..., W n die von diesen Wegen umschlossene
MehrKlassische Theoretische Physik I WS 2013/ Wegintegrale ( = 50 Punkte)
Karlsruher Institut für Technologie www.tkm.kit.edu/lehre/ Klassische Theoretische Physik I WS 213/214 Prof. Dr. J. Schmalian Blatt 2 Dr. P. P. Orth Abgabe und Besprechung 8.11.213 1. Wegintegrale 1 +
Mehr(Gaußscher Integralsatz)
Der Gaußsche Integralsatz Beim Oberflächenintegral O F n da beschreibt der Integrand den senkrechten Durchsatz des Vektorfeldes durch das Flächenelement da. Insgesamt liefert das Integral über eine geschlossene
Mehr1. Juli F k x k (X), X D. k=1 (X) F. x 2 (X) F 3. x 1 F 2. F 1 (X). rot F (X) = F n (X) = F j x i. , 1 i, j 3
. Juli 28 3 9 Vektoranalysis 9. Divergenz und otation Es sei D n offen und = [,..., n ] T sei stetig differenzierbares Vektorfeld. Unter der Divergenz des Vektorfeldes versteht man den Ausdruck div = n
MehrAnalysis II für Ingenieure Übersicht: Integration. 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld
Analysis II für Ingenieure Übersicht: Integration 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld 1.1 erechnung c f ds = b a f ( c(t) ) c(t) dt 1. Kurve c parametrisieren: c : [a, b] R n, t c(t). 2. c(t) und dann
Mehr(u, v) z(u, v) u Φ(u, v) (v = const.) Parameterlinie v = const. v Φ(u, v) (u = const.) Parameterlinie u = const.
13 Flächenintegrale 64 13 Flächenintegrale Im letzten Abschnitt haben wir Integrale über Kurven betrachtet. Wir wollen uns nun mit Integralen über Flächen beschäftigen. Wir haben bisher zwei verschiedene
MehrFerienkurs Analysis 3 Lösung Vektoranalysis 19. März Die Einheitssphäre werde parametrisiert mithilfe von Kugelkoordina- ten
Ferienkurs Analysis 3 Lösung Vektoranalysis 19. März 1 Die Einheitssphäre werde parametrisiert mithilfe von Kugelkoordina- Lösung 1. ten Ψ(θ, φ) sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ Dann gilt 1 Ψ(θ, φ) cos θ
MehrPflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...
Pflichtteil... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis 3... 5 Wahlteil Analytische Geometrie... Wahlteil Analytische Geometrie... Lösungen: 00 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 00: Pflichtteil
MehrDas mehrdimensionale Riemann-Integral. 1. Volumenintegrale
Das mehrdimensionale Riemann-Integral. Volumenintegrale Es sei ein uader im R n gegeben durch := [a, b ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] = {(x,... x n ) a j x j b j } mit rellen Zahlen a j, b j, j =,... n. Offenbar
MehrAufgabe Summe max. P Punkte
Klausur Theoretische Elektrotechnik TET Probeklausur xx.xx.206 Name Matr.-Nr. Vorname Note Aufgabe 2 3 4 5 6 7 Summe max. P. 5 0 5 5 5 5 5 00 Punkte Allgemeine Hinweise: Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner,
MehrÜbungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test
Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Wintersemester 2012/2013 Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test Aufgabe 1: Bruchrechnung Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf (a) x x 2 1
MehrÜbungen zu Integralsätzen Lösungen zu Übung 19
9. Sei IR 3 der Einheitswürfel Übungen zu Integralsätzen Lösungen zu Übung 9 erifizieren Sie für : {(x, y, z) IR 3 : x, y, z.} den Gaußschen Divergenzsatz. Lösung: v(x, y, z) : (4xz, y, yz) erifizieren
Mehr3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome
Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe13 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45 Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de 3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übung 3.1:
MehrOberfläche von Körpern
Definition Die Summe der Flächeninhalte der Flächen eines Körpers nennt man Oberflächeninhalt. Quader Der Oberflächeninhalt eines Quaders setzt sich folgendermaßen zusammen: O Q =2 h b+2 h l+2 l b=2 (h
MehrAufgaben zu Kapitel 25
Aufgaben zu Kapitel 5 Aufgaben zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5. Mit W R 3 bezeichnen wir das Gebiet, das von den Ebenen x, x, x 3 und der Fläche x 3 x + x, x, x begrenzt wird. Schreiben Sie das
MehrFerienkurs Analysis 3 für Physiker. Übung: Integralsätze
Ferienkurs Analysis 3 für Physiker Übung: Integralsätze Autor: enjamin Rüth Stand: 7. März 4 Aufgabe (Torus) Zu festem R > werden mittels ϱ T : [, R] [, π] [, π] R 3, ϕ ϑ Toruskoordinaten eingeführt. estimmen
MehrAnalysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 3/4 Dr. K. Rothe Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Anleitung zu Blatt 7 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K.
MehrDie nummerierten Felder bitte mithilfe der Videos ausfüllen:
5 Koordinatensysteme Zoltán Zomotor Versionsstand: 6. August 2015, 21:43 Die nummerierten Felder bitte mithilfe der Videos ausfüllen: http://www.z5z6.de This work is based on the works of Jörn Loviscach
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Vorlesung 8
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 212/1 Vorlesung 8 Integration über ebene Bereiche Wir betrachten einen regulären Bereich in der x-y Ebene, der einfach zusammenhängend ist.
MehrLösung zu den Testaufgaben zur Mathematik für Chemiker II (Analysis)
Universität D U I S B U R G E S S E N Campus Essen, Mathematik PD Dr. L. Strüngmann Informationen zur Veranstaltung unter: http://www.uni-due.de/algebra-logic/struengmann.shtml SS 7 Lösung zu den Testaufgaben
MehrProf. Dr. Rolf Linn
Prof. Dr. Rolf Linn 6.4.5 Übungsaufgaben zu Mathematik Analysis. Einführung. Gegeben seien die Punkte P=(;) und Q=(5;5). a) Berechnen Sie den Anstieg m der Verbindungsgeraden von P und Q. b) Berechnen
Mehr1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.
1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit
MehrFerienkurs Elektrodynamik WS 11/12 Übungsblatt 1
Ferienkurs Elektrodynamik WS / Übungsblatt Tutoren: Isabell Groß, Markus Krottenmüller, Martin Ibrügger 9.3. Aufgabe - Geladene Hohlkugel In einer Hohlkugel befindet sich zwischen den Radien r und r eine
MehrLösungsvorschlag Klausur MA9802
Lehrstuhl für Numerische Mathematik Garching, den 3.8.22 Prof. Dr. Herbert Egger Dr. Matthias Schlottbom Lösungsvorschlag Klausur MA982 Aufgabe [3 + 3 Punkte] Berechnen Sie, falls existent, die folgenden
Mehr12 Flächen- und Volumenintegrale
12.1 Integration über ebene Mengen 12.1.1 Erweiterung des Flächeninhaltsbegriffes In einigen Spezialfällen haben wir ebenen Mengen (d.h. Teilmengen von R 2 ) bereits einen Flächeninhalt zugeordnet (siehe
Mehr