12 Integralrechnung, Schwerpunkt

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1 Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universität Hannover Mathematik für Ingenieure Mathematik Integralrechnung, Schwerpunkt Schwerpunkt Es sei ϱ die Dichte innerhalb der zu untersuchenden Ebene bzw. des zu untersuchenden Raumes. Für den geometrischen Schwerpunkt wird ϱ gesetzt. a einer Fläche in der Ebene Mit S x s, y s wollen wir dann den Schwerpunkt der zwischen einer urve y fx 0 für a < b und x [a, b], der x-achse und den Geraden x a und x b gelegenen Fläche bezeichnen. so gilt x s b a ϱ x fx dx b ϱ fx dx und y s a b ϱ f x dx a ϱ fx dx b a Entsprechend kann auch bei beliebigen Flächen A der Schwerpunkt bestimmt werden: A x s ϱ x df A A ϱ df und y s ϱ y df ϱ df A Dabei ist df der Flächeninhalt von A. A b eines -dimensionalen örpers im Raum: Für einen beliebigen örper im Raum gilt für den Schwerpunkt S x s, y s, z s : x ϱ dv y ϱ dv z ϱ dv x s ϱ dv und y s ϱ dv und z s ϱ dv Dabei ist dv das Volumen des örpers. Der Schwerpunkt ist der Massenmittelpunkt. oordinatensysteme siehe F+H F. kartesische oordinaten x, y in der Ebene und x, y, z im Raum. - df dx dy und dv dx dy dz. Polarkoordinaten in der Ebene r Abstand vom Nullpunkt, und ϕ Winkel gegenüber der positiven x-achse in der Ebene. - Umrechnung: siehe F+H Seite 8. - df r dr. Zylinderkoordinaten im Raum r Abstand vom Nullpunkt, ϕ Winkel gegenüber der positiven x-achse in einer Ebene parallel zur x, y-ebene, und z Höhe. - dv r dr dz 4. ugelkoordinaten im -D-Raum Es sei P x, y, z ein Punkt auf oder in einer ugel mit dem Radius R. Mit dem Scheitel 0, 0, 0 dem Mittelpunkt der ugel wird der Winkel zwischen dem Nordpol der ugel und dem Punkt P durch ϑ bezeichnet damit hat der Nordpol den Winkel ϑ 0 und der Äquator den Winkel ϑ 90 - im Gegensatz zu den Geodäten! P hat den Abstand r vom Mittelpunkt der ugel; es ist r R. ϕ ist der Winkel gegenüber der positiven x-achse in einer Ebene parallel zur x, y-ebene. - x r sinϑ cosϕ und y r sinϑ sinϕ und z r cosϑ dv r sinϑ dr dϑ.

2 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 00 Aufgabe.: Berechnen Sie das Volumen V und den Schwerpunkt S eines Quaders mit den Seitenlängen x, y und z. Lösung Aufgabe. Diese Aufgabe wird mit drei verschiedenen Ansätzen gelöst: a Zunächst Bestimmung des Flächeninhaltes bei Schnitt mit einer Ebene x x 0 : x y x x V dy dx [y] y y0 dx dx [ x] x x0 6 x0 y0 y0 x0 x0 b Zunächst Bestimmung des Flächeninhaltes bei Schnitt mit einer Ebene y y 0 : y x y y V dx dy [x] x x0 dy dy [ y] y y0 6 z0 x0 y0 c Zunächst Bestimmung des Flächeninhaltes bei Schnitt mit einer Ebene z z 0 : z x z z V dx dz [ x] x x0 dz 6 dz [6 z] z z0 6 z0 Für die Bestimmung des geometrischen Schwerpunktes wird nur noch eine Darstellung gerechnet: Da ϱ unabhängig von x, y, z ist, kann ϱ gesetzt werden. Um den Algorithmus zu testen, wird zunächst der Nenner dv x x0 x x0 y y0 y y0 z z0 dz dy dx dy dx x x0 x0 y0 z0 x x0 dv berechnet: y y0 [y] y y0 dx x x0 [z] z z0 dy dx dx 6 Da dieses Rechenverfahren das richtige Ergebnis liefert, versuchen wir es mit den Zählern: Bestimmung des Zählers von x s : x y z x y x dv x dz dy dx [x z] z z0 dy dx x0 x x0 y0 y [ x y0 ] x x0 z0 x dy dx 9 0 x x0 9 x0 y0 [x y] y y0 dx x x0 x dx Also ergibt sich x s auch dieses Ergebnis ist glaubhaft. Bestimmung des Zählers von y s : x y y dv x0 x x0 y0 y y0 z z0 y dz dy dx y dy dx [x] x x0 6 x x0 x x0 [ ] y y y0 Also ergibt sich y s auch dieses Ergebnis ist glaubhaft. 6 y y0 dx [y z] z z0 x x0 dy dx 4 dx

3 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 00 Bestimmung des Zählers von z s : z dv x x0 x x0 y y0 y y0 [x] x x0 Also ergibt sich z s z z0 - auch dieses Ergebnis ist glaubhaft. Damit ist S,,. z dz dy dx dy dx x x0 x x0 [ ] y cot y y0 y y0 dx [ ] z z z0 x x0 dy dx dx Aufgabe.: Berechnen Sie in Abhängigkeit von a 0 < a die oordinaten des geometrischen Schwerpunktes des nebenstehend schraffierten reisabschnittes A. Lösung Aufgabe. Gesucht ist der geometrische Schwerpunkt S x s, y s in Abhängigkeit von a 0 < a. Es ist b a. Aus Symmetriegründen ist x s 0 ; nach Definition ist y s Für den Flächeninhalt da ergibt sich: A Aufgabe.: A schraffierte Fläche des schraffierten reisabschnittes A A y da A da. a A da xa x a y x y a dy dx a a x a dx. Nach F+H, Integral Nr. 05, ist x dx x x + arcsinx Damit ergibt [ sich da A x ] xa x + arcsinx a [x] xa x a x a a a + arcsina a a arcsina a a

4 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember b A da y y y a y a x y dx dy x y y dy Nach F+H, Integral Nr. 05, ist Damit ergibt sich [ da A y [x] x y y a x y dy y dy y y + arcsiny. y ] y [ y + arcsiny y ] y y + arcsiny y a y a + arcsin a a arcsin a π a a arcsin a π arcsin a a a Für den Zähler von y s erhält man y da a x y dy dx a [ y] x a dx a a A a a a x dx [a x x] a a a. a y s a arcsina a a. [ Für den Fall a ergibt ] sich für den Schwerpunkt der oberen Hälfte der Einheitskreisfläche: 4 S 0 ; 0 ; 0, 4 π

5 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember Aufgabe.: Berechnen Sie das Volumen V und den geometrischen Schwerpunkt S eines Zylinders mit dem Radius und der Höhe. Lösung Aufgabe. Das Volumen V ist nach Schulwissen gleich Grundfläche Höhe, also V π π, und der geometrische Schwerpunkt liegt auf der Hauptachse des Zylinders in der halben Höhe. Diese Aufgabe wird mit Zylinderkoordinaten gelöst: a b V r r 6 π da r r [ r ϕ] ϕ π dr [ ] r r 6 π 4 π r dr r π dr Dieser Wert entspricht tatsächlich dem Volumen, V π r h π. V r [ r da ] r 6 r r dr π Da ϱ unabhängig von x, y, z ist, kann ϱ gesetzt werden. Um den Algorithmus zu testen, wird zunächst der Nenner dv berechnet bei Zylinderkoordianten gilt dv r dr dϕ: dv r r r z z0 dv Zylinderkoordinaten r r [z] z z0 dr r r [ϕ] ϕ π dr 6 π 6 π 4 π r z z0 r dr 6 π r dz dr r dr [ ] r r Da dieses Rechenverfahren das richtige Ergebnis liefert, versuchen wir es mit den Zählern:

6 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember Bestimmung des Zählers von x s r cosϕ : x dv r r r r r z z0 z z0 x dv r cosϕ r dz dr Zylinderkoordinaten r cosϕ [z] z z0 dr r cosϕ dr r [sinϕ] ϕ π dr r Also ergibt sich x s 0 - auch dieses Ergebnis ist glaubhaft. Bestimmung des Zählers von y s r sinϕ : y dv r r r r r z z0 z z0 y dv r sinϕ r dz dr y Zylinderkoordinaten r sinϕ [z] z z0 dr r cosϕ dr r [ cosϕ] ϕ π dr r Also ergibt sich y s 0 - auch dieses Ergebnis ist glaubhaft. Bestimmung des Zählers von z s : z dv r r r 9 r Also ergibt sich z s 8 π π Damit ist S 0, 0,. z z0 z r z0 z dv [ z z r dz dr Zylinderkoordinaten ] z z0 r [ϕ] ϕ π dr 9 π dr 9 [ ] r r r sin π sin0 dr 0 r cos π + cos0 dr 0 r 8 π.5 - auch dieses Ergebnis ist glaubhaft. r dr

7 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember Aufgabe.4 Stehaufmännchen: Ein Stehaufmännchen ist - aus einer hölzernen egelpitze Ho rot mit einer gesuchten Dichte ϱ Ho - aus einem eisernen egel Ei violett mit der Dichte ϱ Ei 7 g cm - aus einem eisernen ugelsektor Ei blau mit der Dichte ϱ Ei 7 g cm zusammengesetzt mit einem glatten Übergang zwischen egel und ugelabschnitt. Die Gesamthöhe beträgt das Dreifache des ugelradius R Ei. Welche Dichte ϱ Ho darf das Holz höchstens haben, damit das Männchen wirklich aufsteht? Bild.4.: Stehaufmännchen Bemerkung zur Physik: Wenn - z Ho die z-omponente des Schwerpunktes der Masse m Ho der egelspitze ist und - z Ei die z-omponente des Schwerpunktes der Masse m Ei des egels ist und - z Ei die z-omponente des Schwerpunktes der Masse m Ei des ugelsektors ist, dann ist die z-omponente z ges der drei Massen m Ho + m Ei + m Ei gegeben durch z ges z Ho m Ho + z Ei m Ei + z Ei m Ei m Ho + m Ei + m Ei Das Stehaufmännchen steht wirklich auf, wenn z ges < z Ei, also hier z ges < 0 ist. Lösung von Aufgabe.4: egelspitze Ho rot: Aus der Schule ist bekannt. Das Volumen V Ho eines egels ist gleich entsprechenden Zylinders. des Volumens des Hier ist der Radius R Ho des egels gegeben durch R Ho R und die Höhe H Ho durch H Ho R. Also wäre das entsprechende Zylindervolumen V Z Grundfläche Höhe π R Ho H Ho π R R oder V Z π 9 8 R. Damit beträgt nach dem Schulwissen das egelvolumen V Ho V Z π 9 8 R π 8 R Nun soll der Schwerpunkt S x S, y S, z S dieses egels bestimmt werden. Aus Symmetriegründen ist ersichtlich: x S y S 0, d.h. es ist nur z S auszurechnen. Nach Definition ist Ho z Ho ϱ Ho z dho ϱ Ho Ho dho Da hier ϱ Ho eine onstante ist, gilt hier z dho z Ho Ho dho Ho

8 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember Um unser Rechenverfahren zu testen, berechnen wir zunächst den Nenner - denn hier kennen wir das Ergebnis. Zur Geometrie: Wir wollen Zylinderkoordinaten verwenden, d.h. wir wollen die Geometrie durch. eine Achse in radialer Richtung r. eine Achse in Umfangsrichtung ϕ. eine Achse in Richtung der Höhe z beschreiben. Die ersten beiden Achsen haben wir bereits als Polarkoordinaten kennengelernt. In Umfangsrichtung ist 0 ϕ π. In radialer Richtung ist 0 r R. Die Höhe z ist von r abhängig: Also ist - wenn r 0 ist, soll z R sein, - wenn r R ist, soll z 0 sein, - zwischen r 0 und r R ist die Abhängigkeit von z linear. z R r Damit kann der Nenner N Ho von als Dreifachintegral berechnet werden: N Ho Ho dho π R r R r R r R z R r z0 r [z] z R r z0 dr r R r dr [ 4 r R ] r r R 4 4 R 4 R 6 8 π R Dichte r dz dr Zylinderkoordinaten R Dieses ist genau das Volumen der egelspitze - dieses Ergebnis hatten wir auch erwartet. Wenn nun die egelspitze die Dichte ϱ Ho besitzt, so ist seine Masse m Ho ϱ Ho V Ho ϱ Ho 8 π R [g]

9 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember Nun kann der Zähler Z Ho von z Ho siehe Gleichung nach dem gleichen Verfahren wie der Nenner berechnet werden: Z Ho Ho z dho π R 4 Daher ist z Ho Z Ho N Ho Damit gilt: r R r R r R r R [ r z z R r z0 ] z R r z0 R r z Dichte dr dr r 9 8 R r R r + r [ 9 6 R r R r + 4 r4 9 R R π R4 9 π 64 R4 π R 64 R 8 R. ] r R 9 6 r dz dr Zylinderkoordinaten dr Der Schwerpunkt der egelspitze Ho mit der Höhe H Ho R und dem Radius R Ho R hat die oordinaten x Ho, y Ho, z Ho 0, 0, R 8 Da die egelspitze nicht in der Höhe z 0, sondern in der Höhe z R beginnt, ist z Ho R + 8 R 7 8 R 4

10 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 00 egel Ei violett mit der Dichte ϱ Ei 7 g cm : Hier ist die untere Begrenzung der egelfläche gegeben durch die Gerade Da auch ϱ Ei eine onstante ist, gilt hier z Ei z r z dei Ei Ei sowie z Ei Zunächst wird das Volumen V Ei und die Masse m Ei N Ei Ei ϱ Ei dei r R r R ϱ Ei ϱ Ei [ r ϱ Ei R ϱ Ei 8 π R r R ϱ Ei [r z] z R z ϱ Ei z dei Ei dei 5 Ei als Dreifachintegral berechnet: z R z r dr r r R r 4 R 9 r 6 R 9 4 R ] r R ϱ Ei Dichte dr 6 ϱ Ei R 6 [ϕ]ϕ π Das Volumen des egels beträgt also Volumen V Ei 8 π R cm Die Masse des egels beträgt also r dz dr Zylinderkoordinaten Masse m Ei 7 V Ei 7 8 π R [g] 6

11 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 0 Nun kann der Zähler von z Ei siehe Gleichung 5 nach dem gleichen Verfahren wie der Nenner berechnet werden: Z Ei Nun ist daher Ei ϱ Ei z dei r R r R r R r R r R z R z r ϱ Ei z r dz dr Zylinderkoordinaten ϱ Ei r [z ] z R dr z r ϱ Ei r R r dr ϱ Ei r 4 R r dr ϱ Ei 8 R r 6 r [ ϱ Ei 6 R r 4 r4 ϱ Ei R ϱ Ei R ] r R 8 ϱ Ei R 4 dr 8 [ϕ]ϕ π ϱ Ei R 4 64 π Damit gilt: z Ei Z Ei ϱ Ei R 4 π 64 N Ei ϱ Ei π 8 R 8 R 7 Der Schwerpunkt des egels Ei mit der Höhe H Ho R und dem Radius R Ho R hat die oordinaten x Ei, y Ei, z Ei 0, 0, 8 R

12 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 0 ugelsektor Ei blau mit der Dichte ϱ Ei 7 g cm : Zur Geometrie: Wir wollen ugelkoordinaten verwenden, d.h. wir wollen die Geometrie durch. einen Winkel ϑ vom Nordpol bis zum Südpol. einen Winkel ϕ in Umfangsrichtung. einen Abstand r vom ugelmittelpunkt beschreiben. In Umfangsrichtung ist 0 ϕ π. Vom Nordpol zum Südpol ist π ϑ π. Für den Abstand vom ugelmittelpunkt gilt 0 r R Damit kann der Nenner N Ei von 5 als Dreifachintegral berechnet werden: N Ei Also ist Ei ϱ Ei ϱ Ei ϱ Ei dei ϑπ rr ϑ π ϑπ ϱ Ei R ϱ Ei R ϑ π ϑπ ϑ π ϑπ ϑ π rr ϱ Ei r sinϑ dr dϑ [ ] rr r sinϑ dϑ R sinϑ dϑ [ cosϑ] ϑπ ϑ π π cosπ + cos ϱ Ei R [ϕ] ϕ π ϱ Ei π R ϱ Ei r sinϑ dr dϑ Dichte ugelkoordinaten ϱ Ei R + Masse m Ei ϱ Ei π R 7 π R [g] 8

13 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 0 Nun kann der Zähler Z Ei von z Ei nach dem gleichen Verfahren wie der Nenner berechnet werden, wobei zu berücksichtigen ist, dass bei ugelkoordinaten z r cosϑ ist: Z Ei Daher ist ϱ Ei ϱ Ei Nach ist nun z dei Ei ϱ Ei 4 R4 ϑπ ϑ π ϑπ rr ϑ π ϑπ rr ϱ Ei z r sinϑ dr dϑ Dichte ugelkoordinaten r cosϑ r sinϑ dr dϑ zr cosϑ [ 4 r4 cosϑ sinϑ ϑ π ϑπ ϱ Ei 4 R4 ϱ Ei 8 R4 ϱ Ei 8 R4 ϑ π ] rr cosϑ sinϑ dϑ ϑπ sin ϑ F +H,8 ϑ π π sin π sin 4, dϕ ϱ Ei dϑ R4 [ϕ] ϕ π ϱ Ei 6 π R4 z Ei Z Ei ϱ Ei π 6 R4 N Ei ϱ Ei π R 6 R 9 z ges z Ho m Ho + z Ei m Ei + z Ei m Ei m Ho + m Ei + m Ei 7 8 R ϱ Ho π 8 R + R 7 π 8 8 R R 7 π 6 R ϱ Ho π 8 R + 7 π 8 R + 7 π R 7 8 R ϱ Ho ϱ Ho R ϱ 64 Ho ϱ 8 8 Ho R 8 ϱ Ho + 84 ϱ Ho + 6 R 8 ϱ Ho 6 ϱ Ho + 6 Also gilt: z ges < 0, falls ϱ Ho < 6 oder ϱ Ho < Diese Bedingung ist für alle bekannten Holzarten erfüllt.

14 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 04 Ergänzung : Was wäre, wenn für den ugelsektor gelten würde g ugelsektor Ei blau mit der Dichte ϱ Ei 7 z cm? Dann müssen wir bereits im Nenner berücksichtigen, dass in ugelkoordinaten gilt z r cosϑ Es ist nach MAPLE, d.h. nicht selbst gerechnet!: Also ist N Ei Ei ϱ Ei dei ϑπ ϑ π ϑπ ϑ π rr ϑπ ϑ π rr ϱ Ei r sinϑ dr dϑ Dichte ugelkoordinaten 7 r cosϑ r sinϑ dr dϑ zr cosϑ 4 cosϑ R4 + 7 R sinϑ dϑ R4 + 7 R 6 π R4 + 7 π R Masse m Ei 6 π R4 + 7 π R 0 und für den Zähler Z Ei von z Ei gilt nach dem gleichen Verfahren wie für den Nenner: Z Ei Daher ist Ei z dei ϑπ ϑ π ϑπ ϑ π rr ϑπ ϑ π rr 7 z Dichte z r sinϑ dr dϑ ugelkoordinaten 7 r cosϑ r cosϑ r sinϑ dr dϑ zr cosϑ 5 cos ϑ sinϑ R cosϑ sinϑ R4 dϑ 40 R5 R4 0 π R5 6 π R4 z Ei Z Ei N Ei Für R ist dann z Ei π R5 6 π R4 6 π R4 + 7 π R

15 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 05 Ergänzung : Wo läge der Schwerpunkt, wenn die Dichte in einer vollständigen ugel Ei4 mit Radius R g gemäß ϱ Ei4 7 z verteilt wäre? cm N Ei4 Ei4 ϱ Ei dei4 ϑπ ϑ0 ϑπ ϑ0 4 R rr ϑπ ϑ0 rr ϱ Ei4 r sinϑ dr dϑ Dichte ugelkoordinaten 7 r cosϑ r sinϑ dr dϑ 4 cosϑ R4 + 7 R sinϑ dϑ 8 R π Z Ei4 Daher ist Ei4 ϱ Ei z dei4 ϑπ ϑ0 4 R5 π 5 rr Für R ist dann z Ei ϑπ ϑ0 rr ϱ Ei4 z r sinϑ dr dϑ Dichte ugelkoordinaten 7 r cosϑ r cosϑ r sinϑ dr dϑ z Ei4 Z Ei4 R N Ei4 5 Aufgabe.5: REP BEI.44 Berechnen Sie den Flächeninhalt F und den geometrischen Schwerpunkt der Fläche zwischen der urve y x, der x-achse und den Geraden x und x. Aufgabe.6: REP BEI.45 Berechnen Sie den Flächeninhalt F und den geometrischen Schwerpunkt der Fläche zwischen der urve y cosx und der x-achse für π x π. Aufgabe.7: Aus der Vektorrechnung ist bekannt: Der Schwerpunkt s a, b des von den Vektoren a und b aufgespannten Dreiecks ist s a, b a + b Andererseits ist aus der oordinatengeometrie bekannt, dass des Schwerpunkt S des durch die drei Punkte x, y, x, y und x, y bestimmten Dreiecks lautet: x + x + x S x s, y s :, y + y + y Zeigen Sie, dass bei richtigen Bezeichnungen s a, b und S den gleichen Schwerpunkt bezeichnen.

16 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 06 Lösung von Aufgabe.7: Wir teilen die Lösung in zwei Teile: zunächst berechnen wir den Schwerpunkt nach der in der Aufgabe genannten Formel und dann untersuchen wir, welches Ergebnis wir bei Anwendung der Integralrechnung erhalten.. Schwerpunkt-Formel aus der Aufgabenstellung Es wird x, y als Nullpunkt betrachtet. Dann ist a x x, y y und b x x, y y und s a, b x s x, y s y gesetzt. Dann ist a + b x + x x, y + y y und daher s a, b a + b x + x x, y + y y x + x x, y + y y x + x + x x, y + y + y y x + x + x x, y + y + y y x s x, y + y + y y. Schwerpunkt-Formel aus der Integralrechnung Wir betrachten wieder x, y als Nullpunkt: x, y 0, 0. Zusätzlich setzen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit y 0. Nun berechnen wir x s x df F df F Fall 0 x < x und y > 0: xx y y x x xx y y x+ df dy dx F x0 y0 + x y x x x x dy dx xx y0 xx [y] y y x x xx y0 dx + [y] y y x+ x y x x x x y0 dx x0 xx xx y xx x dx x0 x + y x + x y dx xx x x x x [ y ] xx x [ x + y x0 x x x + x ] xx y x x x xx y x x + y x x x x + x y x x x x y x + y x x x x + x y x x x x y x + y x + x + x y y x + y x x Wegen x < x und y > 0 und x > 0 also y x + y x x x y D.h. der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt F x y

17 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 07 F D.h. x s oder x df xx x0 xx x0 xx x0 y y x x y0 [ y x x y x x x dy dx x [y] y y x x y0 dx y x dx + x ] xx x xx xx xx xx xx xx y y x x x+ x y x x y0 x dy dx x [y] y y x+ x y x x x x y0 dx y x + x y x x x x x [ y x x x + x y x x x ] xx dx xx + y x x x x x y + x x x x [ y x + y x x x x + x ] + x x Wegen y > 0 und x > 0 also y x + y x x x x + x + x x y x + y 6 x + 6 x x x 6 y x + x x + x x F x df F df y 6 x + x x + x x x y x s x + x x + x x x x + x wie in der oordinatengeometrie. Die y-omponente wird entsprechend berechnet.

18 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 08 Aufgabe.8 Volumenintegral: In IR seien die beiden urven P : { x, y, 0 IR, y x + x } und G : { x, y, 0 IR, y x } sowie die Fläche F : { x, y, z IR, z x + y } a Zeichnen Sie die beiden urven P und G und schraffieren Sie die von den beiden urven eingschlossene Fläche. b Berechnen Sie das Volumen des örpers über der in der x, y-ebene schraffierten Fläche nach a, die nach oben durch die Fläche F beschränkt ist. c Berechnen Sie den geometrischen Schwerpunkt dieses Volumens. Lösung der Aufgabe.8a: siehe nebenstehendes Bild. 0 Lösung der Aufgabe.8b: Das Volumen V dieses örpers ist definiert durch V also V x y x + x x0 x x0 Damit ist V x x0 x y x x + y dy dx [x y + y ] y x + x y x dx. x x + x + x + x x dx oder V x 4 + x + x4 6 x + 9 x x dx x0 x x4 x + 5 x dx x0 [ 0 x5 4 x ] x x x Zu Aufgabe.8a 40 Lösung der Aufgabe.8c: Nach Definition F+H Seite 4 ist die x-omponente des geometrischen Schwerpunktes eines örpers mit dem Volumen V definiert durch x S V x dv, also hier x S V V V V x y x + x zx +y x0 y x x y x + x x0 y x x y x + x x0 x x0 y x z0 x dz dy dx [x z] zx +y z0 dy dx x + x y dy dx [x y + ] y x + x x y dx y x

19 Windelberg: Mathematik für Ingenieure, apitel Stand: 8. Dezember 0 09 V V x x0 x x0 x x + x + x x + x x dx x5 x x dx [ V x6 5 x ] x x4 x V y S V z S V x y x + x zx +y x0 y x z0 x y x + x zx +y x0 y x z0 y dz dy dx z dz dy dx

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