Das St. Petersburg Paradox

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1 Das St. Petersburg Paradox Johannes Dewender 28. Juni 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Das Spiel 2 2 Das Paradox 3 3 Lösungsvorschläge Erwartungsnutzen Risikoaversion Endliche Version des Spiels Praktische Spielentwicklung/Erreichen eines Gesamtgewinns Beispieltabelle 7 5 Zusammenfassung und Zusammenhang zur Verdopplungstrategie 8 6 Quellen und Links 10 1

2 1 Das Spiel Daniel Bernoulli hat 1738 folgendes Spiel beschrieben: In einem hypothetischen Kasino in St. Petersburg kann man an einem Spiel teilnehmen. Eine (ideale) Münze wird solange geworfen bis zum ersten mal Zahl fällt. Wenn dies im n. Wurf der Fall ist, dann ist der Gewinn 2 n e. (Es gibt auch die Variante mit 2 n 1 e, sie verläuft jedoch analog) Der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P(Ω), P ) besteht aus den abzählbar unendlichen Möglichkeiten des Spielausgangs: Ω = {ω n = (ω 1, ω 2,..., ω n ) ω i = Kopf für i {1,..., n 1}, ω n = Zahl,n N} Da die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu werfen unabhängig von den vorherigen Würfen stets 1 2 beträgt ist die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Spielausgangs: ( ) 1 n P : Ω R P (ω n ) = = 2 n 2 Für das Maß soll gelten: wegen Induktionsbeweis für P n 2 k = n : n = 1 n n + 1 P (ω) = Ω 1X 2 k = 1 2 = n+1 X 2 k = nx lim nx n Den Gewinn bestimmt eine Zufallsvariable: 2 k = 1 2 k = lim n 1 1 «= 1 2 n 2 k + 2 (n+1) = n n+1 = n n+1 = n+1 X(ω n ) = 2 n 2

3 2 Das Paradox Da man immer etwas gewinnt in diesem Spiel und in einem fairen Spiel Gewinn und Verlust sich im Mittel ausgleichen sollen, braucht das Spiel eine Teilnahmegebühr. Um einen fairen Einsatz zu bestimmen, berechnet man den (durchschnittlich) zu erwartenden Gewinn mit der Formel für den Erwartungswert der Zufallsvariablen X: E(X) = x k p k = 2 k 2 k = 1 = Für ein faires Spiel sollte der Erwartungswert ingesamt Null werden. Wir haben in dieser Betrachtung die Teilnahmegebühr ausser acht gelassen. Damit der Erwartungswert Null wird, müssen wir eine Teilnahmegebühr abziehen/verlangen die dem hier ausgerechneten erwartetem Gewinn entspricht. Der zu erwartende Gewinn ist unendlich hoch. Demnach lohnt sich das Spiel für den Spieler auch, wenn er sehr hohe Einsätze zahlen muss. Alle endlichen Beiträge führen nach dieser Rechnung dazu, dass das Spiel unfair gegenüber dem Casino ist und der Spieler einen Vorteil hat. Das ist Paradox, denn niemand würde auch nur 25 e einsetzen. 3

4 3 Lösungsvorschläge Im folgenden betrachte ich mehrere Möglichkeiten das Paradox aufzulösen. In der Beispieltabelle im 4. Teil kann man die Auswirkungen der Betrachtungsweisen an einem Beispiel betrachten. 3.1 Erwartungsnutzen Die Idee in der Nutzentheorie ist, dass der (empfundene) Nutzen des Geldes nicht linear mit dem Geldbetrag wächst. Es ist zum Beispiel davon auszugehen, dass 2 Millionen Euro mehr Nutzen haben gegenüber 1 Millionen Euro, aber der Unterschied des Nutzens zwischen 1 Millionen Euro und 0 Euro ist um einiges größer. Den tatsächlichen Nutzen des Geldes bestimmt man dann mit einer Nutzenfunktion die Geldbeträgen Werte (Nutzen) zuordnet. Diese Nutzenfunktion ist jedem Spieler bzw. Menschen eigen und beschreibt ungefähr seine Vorstellung wie wertvoll das Geld für ihn ist. Daniel Bernoulli selbst hat als sinnvolle Nutzenfunktion u(x) = ln(x) vorgeschlagen. Der Erwartungsnutzen berechnet sich mit dieser Funktion dann wie folgt: EU(X) = u(x k )p k = wegen ln(2 k )2 k = ln(2) lim nx n Induktionsbeweis für P n k = 2 n+2 : 2 k 2 n n = 1 n n + 1 1X n+1 X k 2 = lim 2 n + 2 «= 2 k n 2 n k 2 = 1 k 2 = = k 2 = X n k k 2 + n + 1 k 2 = 2 n + 2 n+1 k = 2 ln(2) ˆ= 4 e < 2k + n + 1 (n + 1) + 2 = 2 2 n 2n+1 2 n+1 Dieser Erwartungswert entspricht nun einem (kleinen) endlichen Geldbetrag als Gewinnerwartung. Man kann bestreiten ob das sinnvoll ist oder nicht. Letzendlich ist die Gewinnerwartung immernoch die Gleiche, nur der (nicht-rationale) Spieler nimmt sie anders war. Selbst wenn man annimmt, dass dieses Paradox damit aufzulösen ist, muss man leider feststellen, dass sich leicht ein analoges Paradox konstruieren lässt: Man erhöht einfach den Gewinn auf: X e (ω n ) = e 2n e Damit ergibt sich dann wieder eine unendliche Nutzenerwartung: EU(X) = u(x k )p k = ln(e 2k )2 k 2 k = ln(2) 2 k = ln(2) 1 = 4

5 Bei jeder unbeschränkten Nutzenfunktion kann man den Gewinn analog erhöhen um ein analoges Paradox zu schaffen. Wenn man die Nutzenfunktion jedoch beschränkt, ist dies nicht möglich. Die Nutzenfunktion zu beschränken würde jedoch bedeuten, dass der Nutzen des Geldes einen Punkt nicht überschreiten kann, also dass Geldzuwachs ab einer bestimmten Grenze praktisch bedeutungslos wird. Man kann vortrefflich darüber streiten ob es sinnvoll ist solche Nutzenfunktionen anzunehmen. 3.2 Risikoaversion Eng mit der Nutzentheorie verbunden ist die Risikoaversion bzw. die Vermeidung eines Risikos. Hier geht es darum, dass der Spieler nur kleine Beträge zahlen will wenn nur geringe Gewinnwahrscheinlichkeiten (für hohe Gewinne) vorliegen. Es sind zwar hohe Gewinne möglich, aber diese sind mit kleinen Wahrscheinlichkeiten/Chancen verbunden. Ein risikovermeidender Mensch ist nicht bereit hohe Einsätze zu setzen wenn die Gewinnchance gering ist. Eine Erhöhung des Gewinns kann seine Risikovaversion jedoch ausgleichen solange seine Angst vor dem Risiko endlich ist. Für die Berechnung werden wieder Nutzenfunktionen herangezogen. Es liegt eine Risikoaversion vor, wenn die Nutzenfunktion konkav ist, also folgendes für die Nutzenfunktion des Spielers u(x) gilt: E(u(X)) u(e(x)) Ist das Verhältnis genau umgedreht, dann ist der Spieler risikofreudig. Im ersten Fall kann wie bei der vorigen Lösung ein neues Paradox kreiert werden, dass den Spieler mit hohen Gewinnen für das Risiko entschädigt. Im zweiten Fall wird das Paradox natürlich nicht gelöst sondern eher unterstrichen. Es sei jedoch erwähnt, dass keine der bisherigen Lösungen für die Bank fair wäre bzw. realistisch ist. Es wird nur versucht zu erklären warum die Spieler nicht bereit sind hohe Beiträge zu zahlen, obwohl sie bei diesem Spiel rein rechnerisch im Vorteil sind. Eine praktische Lösung die auch die Bank befriedigen könnte wird im nächsten Abschnitt erläutert. 3.3 Endliche Version des Spiels Das Unrealistische an dem Paradox ist, dass das Spiel unendlich lange laufen kann und die Gewinne unendlich hoch werden können. In der Praxis ist beides jedoch nicht möglich. Der Spieler kann nicht unendlich lange eine Münze werfen, da die Lebensdauer des Spieler begrenzt ist und das Kasino kann nicht unendlich hohe Gewinne ausgeben, da das Kapital begrenzt ist. Aus diesen Gründen wird das Spiel auf eine endliche Anzahl N von Würfen begrenzt. Wenn der Spieler diese Grenze erreicht hat bekommt er den Gewinn den er bekommen würde, wenn er bei diesem Wurf Zahl geworfen hätte und das Spiel ist beendet. Dieses maximale Wurfzahl N wird vorher vom Kasino festgelegt, so dass der maximale Gewinn 2 N e kleiner ist als das Kapital K des Kasinos. (N log 2 K) 5

6 Der Erwartungswert eines solchen Spiels mit dem Parameter N berechnet sich wie folgt: N ( ) N E(X N ) = 2 k 2 k + 2 N 2 k = N + 2 N 2 k 2 k = N + 2 N (1 k=n+1 ( N )) = N + 1 < Während das Kapital exponentiell erhöht wird, steigt der erwartete Gewinn nur linear. Man müsste also ein enorm großes Kapital des Kasinos annehmen um auf hohe Gewinnerwartungen zu kommmen. In der folgenden Tabelle werden ausgesuchte Kapitalgrößen mit dem damit zu erwartendem Gewinn bei einem (dadurch verkürzten) Spiel aufgelistet. Kapital K max. Wurfzahl N Einsatz N = 64 e 6 7 e Spiel unter Freunden e e Kasino e e EU-Haushalt 2005: Es entstehen Werte die intuitiv meist als angemessener Einsatz geschätzt werden. Wenn man von einem Spiel in einem Kasino ausgeht, scheinen die oben bereits erwähnten 25 e als Teilnahmebetrag schon als eine Art Maximalbeitrag berechtigt. Werte über 35 e sind irreal. 3.4 Praktische Spielentwicklung/Erreichen eines Gesamtgewinns Es gibt noch einen weiteren Erläuterungsmöglichkeit warum Niemand hohe Einsätze zahlen will bzw. warum man dies auch nicht tun sollte. Die geringen Wahrscheinlichkeiten für hohe Gewinne sorgen dafür, dass hohe Gewinne natürlich eher selten auftreten und damit wohl auch eher erst nach sehr vielen Spielen auftreten. Wenn man viele solcher (original wie am Anfang beschriebenen) Spiele simuliert kann man von den Spielausgängen (Gewinnsumme) den Durschnitt (also den durchschnittlichen Gewinn) bis dahin ausrechnen. Stellt man nun den Durchschnitt über den Zahlen der bisherigen Spieldurchläufe in einem Koordinatensystem dar, erhält man eine zackige Kurve die im groben der einer Logarithmusfunktion entspricht. Die Zacken sind die selten auftretenden hohen Gewinne die den Schnitt ansteigen lassen. Der Graph flacht sich nach oben hin immer mehr ab. Nach 500 Spielen würde sich der Schnitt vielleicht um die 10 e bewegen. Nach Spielen ist der Schnitt auf vielleicht 16 e angestiegen. Daraus lässt sich ableiten, dass man bei höheren Beiträgen im Schnitt sehr lange Spielen muss, um Gewinn zu machen. Es ist aber auch nicht ausgeschlossen, dass man sein Geld sofort wieder hereinspielen kann. Das wäre aber großes Glück und eher unwahrscheinlich. 6

7 4 Beispieltabelle In einer Tabelle habe ich die ersten 10 möglichen Spielausgänge eines St. Petersburger Spiels aufgeführt und ihre Bedeutung in der jeweiligen Betrachtung. In den ersten beiden Spalten ist der Wurf n notiert bei dem Zahl geworfen wurde und die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl in diesem Wurf das erste mal auftritt. Die nächsten Spalten sind immer in Zweiergruppen angeordnet. Die erste Spalte steht jeweils für den Wert des Gewinns (Geldbetrag oder Nutzen) und in der zweiten Spalte das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit dieses Spielausgangs und dem Wert des Gewinns. Der Erwartungswert berechnet sich aus der Summe aller (unendlich vielen) Einträge in der zweiten Spalte. Die erste Zweiergruppe nach der doppelten Linie beschreibt den Ausgang im originalen Spielmodell, also mit normalem Geld in Euro und ohne Begrenzung der Würfe. Man sieht, dass die Summe der zweiten Spalte unendlich groß werden würde, wenn man die Tabelle fortführt. Die nächste Zweiergruppe beschreibt den Ausgang wenn man ihn mit der Nutzenfunktion u(x) = log(x) einstuft. Hier sieht man wie das Produkt aus Wahrscheinlichkeit und Nutzen immer geringer wird und es letzendlich gegen einen bestimmten Wert läuft (2 log 2). Die letzte Gruppe beschreibt das Spiel, wenn nach 6 Würfen der maximale Gewinn erreicht ist und das Spiel dann abgebrochen wird. Die Spielausgänge die über das Limit von 6 Würfen hinaus gehen würden werden mit dem Maximalgewinn von 64 e versehen. Sie können jedoch nicht ausser Acht gelassen werden, da sonst die Summe der Wahrscheinlichkeiten nicht 1 ergeben kann. Auch hier hat man einen guten Überblick wie der Wert von 7 e Zustande kommt. Original Nutzentheorie Endlich n p n x n p n x n u(x n ) p n u(x n ) x N n p n x N n 1 1/2 2 1 ln(2) /4 4 1 ln(4) /8 8 1 ln(8) / ln(16) / ln(32) / ln(64) / ln(128) / ln(256) / ln(512) / ln(1024) ln(2) ˆ= 4 e 7 e 7

8 5 Zusammenfassung und Zusammenhang zur Verdopplungstrategie Hier sind die grundlegenden Lösungsansätze angegeben um das Paradox zu verstehen. Das originale Paradox wird nicht wirklich gelöst. Es wird nur durch ein Abändern der Problemstellung oder eine eher psychologische Betrachtung der Spielerentscheidung versucht klarzumachen, warum eine solche Diskrepanz zwischen der mathematischen Rechnung und der praktischen Intuition eines Spielers vorliegt. Die Gewinnerwartung des originalen (idealen) Spiels ist tatsächlich unendlich hoch. Dieses Spiel kann aber praktisch auch nicht durchgeführt werden. Dieses Problem ist eng verwandt mit der Verdopplungsstrategie: Das Spiel sieht nun so aus, dass man eine gewisse Chance hat zu gewinnen und dann den doppelten Einsatz als Gewinn ausgezahlt zu bekommen. Der Spieler setzt anfangs einen Betrag a und spielt einmal. Hat er gewonnen, so setzt er diesen Betrag noch einmal oder hört auf zu spielen. Wenn er aber seinen Einsatz verliert, dann spielt er sofort nochmal und setzt diesmal den doppelten Einsatz (2a). Somit kann er, falls er gewinnt den Verlust des vorherigen Spiels ausgleichen: (2a 2) 2a a = a Verliert er nochmal, dann verdoppelt er wieder den Einsatz. Der Gewinn wäre dann ausreichend um die bereits verlorenen Einsätze auszugleichen. In allen diesen Fällen gewinnt er genau den Betrag, den er am Anfang eingesetzt hatte und auch gewonnen hätte, denn er setzt wenn er das Spiel zum n. Mal hintereinander verloren hat danach einen Betrag von 2 n a. Der Gewinn berechnet sich also dann wie folgt: a 2 n+1 a n 2 k = a 2 n+1 a(2 n+1 1) = a k=0 Er ist also unabhängig von der Zahl der verlorenen Spiele vorher und immer gleich dem Betrag, den er am Anfang gesetzt hat. Spieler die diese Strategie verfolgen sagen sich, dass sie so ja garnicht verlieren können. Sie spielen einfach solange, bis sie einmal gewinnen und da sie genug gesetzt haben, gleicht das den Verlust wieder aus. Sie könnten sogar jeweils mehr als das Doppelte setzen. Der mögliche Reingewinn würde dann bei jedem Fehlversuch ansteigen. In der Theorie ist die Strategie sicher, aber in der Praxis hat sie erhebliche Mängel. Die Strategie setzt voraus, dass der Spieler ein unbeschränktes Kapital hat und somit beliebig hohe Einsätze zahlen kann. Das ist praktisch nie der Fall. Selbst wenn es so wäre, müsste man sich fragen warum der Spieler dann noch Geld gewinnen will. Ein weiteres Problem ist das Kasino. In den meisten Fällen sind aus dem gleichen Grund wie beim St. Petersburger Paradox die zugelassenen Einsätze beschränkt und damit natürlich auch die Gewinne. Die Strategie ist so deshalb nicht umsetztbar. Nun kann man natürlich behaupten, dass ein endliches Kapital ausreichender Höhe reicht, da die Wahrscheinlichkeit sehr lange nicht zu gewinnen nicht sehr hoch ist. Das ist zwar wahr, aber damit setzt man der relativ hohen Chance kleine Beträge zu verlieren 8

9 eine zwar kleine, aber dennoch vorhanden Chance des totalen Bankrotts gegenüber. Je geringer das Kapital ist, desto höher ist die Chance es komplett zu verlieren, aber die Chance große Mengen an Geld zu verlieren ist lange nicht unbedeutend. Insbesondere ist der Gewinn beim einfachen Verdoppeln sehr gering im Vergleich zum einzusetzendem Geld. Erhoeht man jedoch den Ertrag indem man mehr als verdoppelt jedesmal, dann steigen auch die Einsätze stärker und die Chance eines Bankrotts steigt. Genauer betrachtet ist die Verdopplungsstrategie genau die umgedrehte Variante des St. Petersburger Spiels. Stellt man sich vor, dass Kasino sei der Spieler mit unendlichem Kapital und der Verdopplung der Einsätze dann ist es genau das Gleiche Problem. Jedes Verdopplungsspiel ist ein einzelner Münzwurf als Teil eines St. Petersburger Verdopplungsspiels. Das Risiko alles zu verlieren liegt beim St. Petersburger Spiel beim Kasino. Bei der Verdopplungsstrategie liegt es beim Spieler. Bei beiden Problemen verhindert ein endliches Kapital einen Erfolg der Strategie bzw. das Paradoxons. 9

10 6 Quellen und Links Man kann das St. Petersburger Spiel im Internet mit einem (virtuellen) Einsatz von 20 $ spielen. Man spielt jedes Spiel (also die Münze zu werfen bis Zahl fällt) einzeln und kann danach die Auswertung des einzelnen Spiels sehen. Desweiteren wird der Gesamtgewinnuber die bis dahin gespielten Spiele verfolgen. Man sieht in den meisten Fällen, dass man sehr schnell sehr viel Geld verliert. Nur in Ausnahmefällen gelangt man mal in den positiven Bereich. Der Grund wurde unter dem Kapitel Praktische Spielentwicklung beschrieben. Desweiteren habe ich folgende Quellen benutzt: Gabor J. Szekely: Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer ( ) note.html ( ) Petersburg paradox ( ) ( ) 10