Uberblick 1. Problemstellung 2. Kongurationsraum 3. Bewegungsplanung fur einen Punktroboter 4. Minkowski Summen 5. Pseudo-Scheiben 6. Bewegungsplanung
|
|
- Hede Simen
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Vorlesung Geometrische Algorithmen Bewegungsplanung fur Roboter (Robot Motion Planning) Sven Schuierer
2 Uberblick 1. Problemstellung 2. Kongurationsraum 3. Bewegungsplanung fur einen Punktroboter 4. Minkowski Summen 5. Pseudo-Scheiben 6. Bewegungsplanung mit Translationen 7. Bewegungsplanung mit Translationen und Rotationen 1
3 1 Problemstellung Zentrale Aufgabe fur einen Roboter: Planung einer Bewegung (Bewegungsplanungsproblem) Informationen uber die Umgebung: Beispiel: autonomer Roboter in einer Fabrik Grundri fur Wande und Maschinen Sensoren fur Menschen Problemstellung 2
4 Arten von Robotern Autonomer mobiler Roboter Roboterarm Problemstellung 3
5 Problemstellung der Vorlesung Vereinfachung: 2-dimensionales Bewegungsplanungsproblem Umgebung (Arbeitsraum): planarer Bereich mit polygonalen Hindernissen H statisch vollstandig bekannt Roboter R: einfaches Polygon in alle Richtungen beweglich Problemstellung 4
6 2 Arbeits- und Kongurationsraum Arbeitsraum: Menge H von Hindernissen fp 1 ;:::;P t g Arbeits- und Kongurationsraum 5
7 3 Kongurationsraum Konguration R(~x): Spezikation der Position des Roboters durch Parameter Beispiel: Translatorischer Roboter R(x; y) R(0; 0) = (v 1 ;v 2 ;:::;v r ) ) R(x; y) = (v 1 + (x; y);:::;v r +(x; y)) R(6; 4) R(0; 0) 6 4 Alternative: Referenzpunkt Ursprung (0; 0) des Koordinatensystems Kongurationsraum 6
8 Kongurationen Rotation: zusatzlicher Parameter ' R(x; y; ') = Roboter mit Referenzpunkt auf (x; y) und rotiert um ' Grad R(6; 4;=4) R(0; 0; 0) 6 4 Allgemein: Freiheitsgrade 3-dimensionaler Roboter: Translation: drei Freiheitsgrade Translation und Rotation: sechs Freiheitsgrade Kongurationsraum 7
9 Kongurationsraum Menge aller Parameter eines Roboters R heit Kongurationsraum C(R) p 2 C(R)! R(p) Beispiele: 2-dimensionaler Roboter R mit Translation und Rotation: (x; y; ') 2 C(R) = IR 2 [0; 2) 7! R(x; y; ') 2-dimensionaler Roboter R mit Translation: (x; y) 2 C(R) = IR 2 7! R(x; y) Kongurationsraum 8
10 Verbotener und freier Raum Verbotener Kongurationsraum C forb (R;H): C forb (R;H) = fp 2 C(R) j Es gibt ein P 2 H : R(p) \ P 6= ;g Freier Kongurationsraum C free (R,H): C free (R;H) = C(R) n C forb (R;H) Kongurationsraum 9
11 Arbeits- und Kongurationsraum Beobachtung Jeder (kollisionsfreie) Weg W des Roboters im Arbeitsraum korrespondiert zu einem Weg C(W ) im (freien) Kongurationsraum und umgekehrt. Kongurationsraum 10
12
13 4 Punktroboter Annahmen: punktformiger Roboter R polygonale, disjunkte Hindernisse H = fp 1 ;:::;P t g mit insgesamt n Eckpunkten Rechteck B enthalt die Hindernisse C free = C free (R;H) = B n t[ i=1 P i P 6 R P 1 P 3 B P 4 P 5 P 2 C free Punktroboter 11
14 Der freie Raum Trapez-Zerlegung: for all v Eckpunkt in H do zeichne ein vertikales Liniensegment in v nach oben und eines nach unten die Liniensegmente enden beim ersten Hindernis oder bei B Algorithmus BerechneFreienRaum(H) Input: Eine Menge H von disjunkten, polygonalen Hindernissen Output: Die vertikale Dekomposition von C free (R,H) fur einen Punktroboter R 1 Sei E die Menge der Kanten in H 2 Berechne die Trapez-Zerlegung T (E) von E 3 Entferne die Trapeze im inneren der Hindernisse von H 4 Gebe die entstehende Unterteilung T (C free ) zuruck Punktroboter 12
15 Der freie Raum Lemma Die Trapez-Zerlegung des freien Kongurationsraumes kann in O(n log n) erwarteter Zeit berechnet werden. Punktroboter 13
16 Berechnung eines Weges Gegeben: p s der Startpunkt und p e der Zielpunkt Gesucht: Ein kollisionsfreier Weg von p s nach p e 1. Fall: p s und p e gehoren zum gleichen Trapez p e p s 2. Fall: p s und p e gehoren zu verschiedenen Trapezen )?? Punktroboter 14
17 Die Straenkarte (Road map) einge- Straenkarte G road : planarer, in C free better Graph Knoten von G road : Trapez- und vertikale Kanten-Mittelpunkte Kanten von G road : for all Trapeze T do fuge Kanten von dem Mittelpunkt von T zu den Mittelpunkten der T begrenzenden vertikalen Kanten ein Punktroboter 15
18 Die Straenkarte (Road map) Zeit zur Konstruktion der Straenkarte: O(n) Punktroboter 16
19 Algorithmus zur Wegeberechnung Algorithmus BerechneWeg Input: vertikale Dekomposition T (C free ), Straenkarte G road, Start- und Zielpunkt p s und p e Output: Ein Weg von p s nach p e, falls einer existiert; ansonsten eine Meldung, da kein Weg existiert 1 Bestimme Trapeze s und e, die p s und p e enthalten 2 if s oder e existiert nicht 3 then melde, da p s oder p e in C forb 4 else seien v s und v e Mittelpunkte von s bzw. e 5 berechne Weg W von v s nach v e in 6 G road if W existiert nicht 7 then melde, da kein Weg existiert 8 else return W = p s v s W v e p e Punktroboter 17
20 Beispiel Punktroboter 18
21 Korrektheit von BerechneWeg Lemma Algorithmus BerechneWeg gibt einen kollisionsfreien Weg zuruck gdw es einen solchen Weg gibt. Beweis: ): W ist kollisionsfrei (: Sei W 0 kollisionfreier Weg von p s nach p e W 0 schneidet eine Folge F von benachbarten Trapezen: mit F = ( 1 ; 2 ;:::; k ) 1 = s und k = e 5pe 1 ps Punktroboter 19
22 Korrektheit von BerechneWeg Beweis: (Fortsetzung) Sei v i Mittelpunkt von i i und i+1 sind benachbart ) Es gibt einen Weg von v i nach v i+1 in G road ) Es gibt einen Weg von v 1 nach v k in G road ) Der Algorithmus ndet einen Weg von v s nach v e ) Der Algorithmus ndet einen Weg von p s nach p e 1 4 5pe p s 2 3 Zeitkomplexitat von BerechneWeg: O(n log n) (erwartet) Punktroboter 20
Uberblick 1. Kurzeste Wege 2. Sichtbarkeitsgraphen 3. Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 4. Kurzeste Wege fur polygonale Roboter 1
Vorlesung Geometrische Algorithmen Sichtbarkeitsgraphen und kurzeste Wege Sven Schuierer Uberblick 1. Kurzeste Wege 2. Sichtbarkeitsgraphen 3. Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 4. Kurzeste Wege fur polygonale
MehrSichtbarkeitsgraphen. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie
Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 12.07.2011 Bewegungslanung für Roboter Ideen?? Problem: Gegeben
MehrWas bisher geschah. 1. Zerlegung in monotone Polygone 2. Triangulierung der monotonen Teilpolygone
Was bisher geschah Motivation, Beispiele geometrische Objekte im R 2 : Punkt, Gerade, Halbebene, Strecke, Polygon, ebene Zerlegung in Regionen (planare Graphen) maschinelle Repräsentation geometrischer
MehrGeradenarrangements und Dualität von Punkten und Geraden
Vorlesung Algorithmische Geometrie von Punkten und Geraden INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 12.06.2012 Dualitätsabbildung Bisher haben wir Dualität für planare
MehrGeradenarrangements und Dualität von Punkten und Geraden
Vorlesung Algorithmische Geometrie von Punkten und Geraden INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 12.06.2012 Dualitätsabbildung Bisher haben wir Dualität für planare
Mehr8.4 Digraphen mit negativen Kantengewichten Grundsätzliches Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtlänge < 0.
8.4 Digraphen mit negativen Kantengewichten 8.4.1 Grundsätzliches Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtlänge < 0. k 4 5 1 s 1 3 2 C k 0 k 3 1 1 1 k 1 k 2 v Sollte ein Pfad von s nach C und
MehrZusammenfassung Verallgemeinerungen VD Segmente/Pledge Algorithmus
Zusammenfassung Verallgemeinerungen VD Segmente/Pledge Algorithmus Elmar Langetepe University of Bonn Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge 29.06.11 c Elmar Langetepe SS 11 1 Voronoi Diagramm von
MehrSichtbarkeitsgraph. Andreas Gemsa Übung Algorithmische Geometrie
Übung Algorithmische Geometrie Sichtbarkeitsgraph LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Andreas Gemsa 19.07.2012 Ablauf Nachtrag Sichtbarkeitsgraph WSPD
MehrLiniensegmentschnitt. Doppelt verkettete Kantenliste. Überlagerung von 2 ebenen Graphen. Boolsche Operatoren für einfache Polygone (LEDA)
Liniensegmentschnitt Motivation, Überlagerung von Karten, Problemformulierung Ein einfaches Problem und dessen Lösung mit Hilfe des Sweep-Line Prinzips Output-sensitiver Liniensegmentschnittalgorithmus
MehrProf. J. Zhang Universität Hamburg. AB Technische Aspekte Multimodaler Systeme. 20. Januar 2005
zhang@informatik.uni-hamburg.de Universität Hamburg AB Technische Aspekte Multimodaler Systeme zhang@informatik.uni-hamburg.de Inhaltsverzeichnis 8. Programmierung auf Aufgabenebene und......461 Transformation
MehrWegeplanung: Wegekartenverfahren
Wegeplanung: Wegekartenverfahren Idee Sichtbarkeitsgraph Voronoi-Diagramm Probabilistische Wegekarten Rapidly-Exploring Random Tree Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Konstanz Autonome Roboter - Wegekartenverfahren
MehrVoronoi-Diagramme. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK
Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 29.05.2011 Das Postamt-Problem b(p, q) = {x R 2 : xp = xq } p q h(p, q) h(q, p) = {x :
MehrBewegungsplanung bei unvollständiger Information
Bewegungsplanung bei unvollständiger Information Sebastian Hempel Aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik Überblick 1. Einleitung 2. Auswege aus einem Labyrinth 3. Finden eines Ziels in unbekannter
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 3 Programm des
MehrVorlesung Algorithmische Geometrie Konvexe Hülle im R 3
Vorlesung Algorithmische Geometrie Konvexe Hülle im R 3 LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Andreas Gemsa 26.06.2012 Prüfung! Termine: 20. Juli 27.
MehrPunkt-in-Polygon-Suche Übersicht
Folie 1 von 43 Punkt-in-Polygon-Suche Übersicht! Praxisbeispiel/Problemstellung! Zählen von Schnittpunkten " Schnitt einer Halbgerade mit der Masche " Aufwandsbetrachtung! Streifenkarte " Vorgehen und
MehrPunktlokalisation 1. Trapez-Zerlegungen. 2. Eine Suchstruktur. 3. Randomisierter, inkrementeller Algorithmus zur Konstruktion der Trapez-Zerlegung
Punktlokalisation 1. Trapez-Zerlegungen 2. Eine Suchstruktur 3. Randomisierter, inkrementeller Algorithmus zur Konstruktion der Trapez-Zerlegung 4. Analyse Punktlokalisation Einteilung in Streifen Anfragezeit:
MehrPunktlokalisierung. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK
Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 22.05.2012 Nachtrag: Dynamische Bereichsabfragen Letzte Woche: kd-trees und Range-Trees
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
MehrGeometrische Algorithmen Punkt-in-Polygon-Suche. Lernmodul 7: Geo-Algorithmen und -Datenstrukturen - Punkt-in-Polygon-Suche
Folie 1 von 51 Geometrische Algorithmen Punkt-in-Polygon-Suche Folie 2 von 51 Punkt-in-Polygon-Suche Übersicht Praxisbeispiel/Problemstellung Zählen von Schnittpunkten Schnitt einer Halbgerade mit der
MehrMethoden der Offline Bewegungsplanung für Roboter
Methoden der Offline Bewegungsplanung für Roboter Mögliche Prüfungsfragen Vorlesung von Elmar Langetepe WS 16/17 Beachtet bitte: Diese Liste hat keinen Anspruch auf Vollständigkeit! Manchmal werden auch
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen Tutorium Übungsaufgaben
Algorithmen und Datenstrukturen Tutorium Übungsaufgaben AlgoDat - Übungsaufgaben 1 1 Landau-Notation Aufgabe Lösung 2 Rekurrenzen Aufgabe 3 Algorithmenentwurf und -analyse Aufgabe AlgoDat - Übungsaufgaben
Mehr5. Bäume und Minimalgerüste
5. Bäume und Minimalgerüste Charakterisierung von Minimalgerüsten 5. Bäume und Minimalgerüste Definition 5.1. Es ein G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. H = (V,E ) heißt Gerüst von G gdw. wenn H ein
Mehr2. Woche Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung
2 Woche Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung 2 Woche: Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung 24/ 44 Zwei Beispiele a 0
MehrEinführung in die Robotik. Jianwei Zhang
- Jianwei Zhang zhang@informatik.uni-hamburg.de Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften Technische Aspekte Multimodaler Systeme 28. Juni 2011 J. Zhang 324 Programmierung auf Aufgabenebene
MehrGliederung. Gliederung (cont.) Grundlage zur Programmierung auf Aufgabenebene
- Gliederung Jianwei Zhang zhang@informatik.uni-hamburg.de Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften Technische Aspekte Multimodaler Systeme 28. Juni 2011 Allgemeine Informationen Einführung
MehrSeminar und Proseminar - WS 2007/ Perlen der Theoretischen Informatik. Friedhelm Meyer auf der Heide
Seminar und Proseminar - WS 2007/2008 - Perlen der Theoretischen Informatik Friedhelm Meyer auf der Heide Kontakt Friedhelm Meyer auf der Heide Universität Paderborn Institut für Informatik und Heinz Nixdorf
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 4 Programm des
MehrVoronoi-Diagramme INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie
Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 03.06.2014 1 Das Postamt-Problem b(p, q) = {x 2 R 2 : xp = xq } p q h(p, q) h(q, p) = {x
MehrBegriffsklärung: Dominanz
Einführung Begriffsklärung: Dominanz Gegeben: d-dimensionaler Raum, jeder Punkt p im Raum hat d Attribute: (p 1,,p d ) Definition Dominanz: 1 i d : p i p i und 1 i d : p i < p i Begriffsklärung: Dominanz
MehrAlgorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Prof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund
MehrPolygontriangulierung
Vorlesung Algorithmische Geometrie Polygone triangulieren LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 26.04.2011 Das Kunstgalerie-Problem
MehrBereichsabfragen II. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie
Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 17.07.2012 Objekttypen in Bereichsabfragen y0 y0 y x x0 Bisher
Mehrdurch Einfügen von Knoten konstruiert werden kann.
Satz von Kuratowski Definition Unterteilung eines Graphen Sei G = (V, E) und e = {u, v} E. 1 Das Einfügen eines neuen Knoten w in die Kante e führt zum Graphen G = (V {w}, E \ e {{u, w}, {w, v}}). 2 Der
MehrBereichsabfragen II. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie
Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 17.07.2012 Objekttypen in Bereichsabfragen y0 y x x0 Bisher
MehrDas Heiratsproblem. Definition Matching
Das Heiratsproblem Szenario: Gegeben: n Frauen und m > n Männer. Bekanntschaftsbeziehungen zwischen allen Männern und Frauen. Fragestellung: Wann gibt es für jede der Frauen einen Heiratspartner? Modellierung
MehrEinführung in die Robotik. Jianwei Zhang
- Jianwei Zhang zhang@informatik.uni-hamburg.de Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften Technische Aspekte Multimodaler Systeme 26. Juni 2012 J. Zhang 296 Programmierung auf Aufgabenebene
MehrGraphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung.
Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. November 2007 1 / 22 2 / 22 Gliederung eulersche und semi-eulersche Graphen Charakterisierung eulerscher Graphen Berechnung eines
Mehr3. Minimale Spannbäume. Definition 99 T heißt minimaler Spannbaum (MSB, MST) von G, falls T Spannbaum von G ist und gilt:
3. Minimale Spannbäume Sei G = (V, E) ein einfacher ungerichteter Graph, der o.b.d.a. zusammenhängend ist. Sei weiter w : E R eine Gewichtsfunktion auf den Kanten von G. Wir setzen E E: w(e ) = e E w(e),
MehrAlgorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum
MehrEinführung & Konvexe Hülle
Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 17.04.2012 AlgoGeom-Team Dozent Martin Nöllenburg noellenburg@kit.edu
MehrKürzeste-Wege-Algorithmen und Datenstrukturen
Kürzeste-Wege-Algorithmen und Datenstrukturen Institut für Informatik Universität zu Köln SS 2009 Teil 1 Inhaltsverzeichnis 1 Kürzeste Wege 2 1.1 Voraussetzungen................................ 2 1.2
Mehr10.1 Geometrische Wegplanung im Konfigurationsraum
10 Pfadplanung 10.1 Geometrische Wegplanung im Konfigurationsraum Vorausetzungen Roboter bewegt sich in der Ebene, ohne sich zu drehen Hindernisse sind konvexe Polygone Beispiel Grundgedanke Problem wird
MehrGeometrische Algorithmen Voronoi-Diagramme. Lernmodul 7: Geo-Algorithmen und -Datenstrukturen - Voronoi-Diagramme
Folie 1 von 32 Geometrische Algorithmen Voronoi-Diagramme Folie 2 von 32 Voronoi-Diagramme Übersicht Problemstellung Animation zur Konstruktion eines Voronoi-Diagramms Definition, Eigenschaften eines Voronoi-Diagramms
MehrGrundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen
Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Sommersemester 00
MehrGraphentheorie. Kürzeste Wege. Kürzeste Wege. Kürzeste Wege. Rainer Schrader. 25. Oktober 2007
Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 25. Oktober 2007 1 / 20 2 / 20 Wir werden Optimierungsprobleme vom folgenden Typ betrachten: gegeben eine Menge X und eine Funktion
Mehr3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel
3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen 16/36
MehrQuadtrees und Meshing
Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 24.06.2014 Motivation: Meshing von Platinenlayouts Zur Simulation der Hitzeentwicklung
MehrSatz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,...
Satz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,..., k, so dass gilt M = k c i P i i=1 k c i = r. i=1 Diskrete Strukturen 7.1 Matchings
MehrGeometrische Algorithmen
Geometrische Algorithmen Thomas Röfer Motivation Scan-line-Prinzip Konvexe Hülle Distanzprobleme Voronoi-Diagramm Rückblick Manipulation von Mengen Vorrangwarteschlange Heap HeapSort swap(a, 0, 4) 1 5
MehrEinwegfunktionen. Problemseminar. Komplexitätstheorie und Kryptographie. Martin Huschenbett. 30. Oktober 2008
Problemseminar Komplexitätstheorie und Kryptographie Martin Huschenbett Student am Institut für Informatik an der Universität Leipzig 30. Oktober 2008 1 / 33 Gliederung 1 Randomisierte Algorithmen und
MehrQuadtrees und Meshing
Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 19.06.2012 Motivation: Meshing von Platinenlayouts Zur Simulation der Hitzeentwicklung
MehrQuadtrees und Meshing
Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 21.06.2011 Motivation: Meshing von Platinenlayouts Zur Simulation
MehrBerechnung minimaler Spannbäume. Beispiel
Minimale Spannbäume Definition Sei G pv, Eq ein ungerichteter Graph und sei w : E Ñ R eine Funktion, die jeder Kante ein Gewicht zuordnet. Ein Teilgraph T pv 1, E 1 q von G heißt Spannbaum von G genau
MehrLineare Programmierung
Übung Algorithmische Geometrie Lineare Programmierung LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Benjamin Niedermann 14.05.2014 Übersicht Übungsblatt 4 Lineares
Mehr6. Triangulation von Polygonen
1 6. Triangulation von Polygonen 2 Problemstellung 3 Problemstellung 4 Problemstellung 5 Problemstellung 6 Jedes Polygon lässt sich triangulieren. Wir führen einen Induktionsbeweis nach der Anzahl der
MehrVisualisierung von Graphen
1 Visualisierung von Graphen Teile-und-Herrsche-Algorithmen: Bäume und serienparallele Graphen 3. Vorlesung Sommersemester 2013 (basierend auf Folien von Martin Nöllenburg und Robert Görke, KIT) 2 Ankündigung
MehrKapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete
Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:
MehrAlgorithmische Geometrie. Prof. Dr. Thomas Ottmann. Mitarbeit: PD Dr. Sven Schuierer Dr. Stefan Edelkamp
Algorithmische Geometrie Prof. Dr. Thomas Ottmann Mitarbeit: PD Dr. Sven Schuierer Dr. Stefan Edelkamp Literatur: M. de Berg, M. van Krefeld, M. Overmars O. Schwarzkopf: Computational Geometry (Algorithms
MehrKanonische Ordnungen und die Mondshein-Sequenz
Kanonische Ordnungen und die Mondshein-Sequenz a.k.a. (2,)-Order 2 8 0 9 5 7 6 2 Überblick Geradlinige Zeichnungen Kanonische Ordnungen + Shift-Algorithmus Erweiterungen durch Ohrendekompositionen Mondshein-Sequenz
MehrBerechnung von Abständen
3. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen Abstände in Graphen Definition 3.4. Es sei G = (V, E) ein Graph. Der Abstand d(v, w) zweier Knoten v, w V ist die minimale Länge eines Weges von v nach w.
MehrDer Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem
Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem Andreas Moser Dietmar Ebner Christian Schauer Markus Bauer 9. Dezember 2003 1 Einführung Der in der Vorlesung gezeigte Algorithmus für das Steiner
Mehr2.7.1 Inside-Test Konvexe Hülle Nachbarschaften Schnittprobleme
2.7 Geometrische Algorithmen 2.7.1 Inside-Test 2.7.2 Konvexe Hülle 2.7.3 Nachbarschaften 2.7.4 Schnittprobleme 1 2.7 Geometrische Algorithmen 2.7.1 Inside-Test 2.7.2 Konvexe Hülle 2.7.3 Nachbarschaften
Mehrfür n-elementige Punktmenge jedenfalls Ω(n log n), da mit VD die konvexe Hülle in linearer Zeit bestimmbar.
Konstruktion des Voronoi-Diagramms Untere Schranke für den Zeitaufwand: für n-elementige Punktmenge jedenfalls Ω(n log n), da mit VD die konvexe Hülle in linearer Zeit bestimmbar. Wenn man die n Punkte
MehrVorlesung Algorithmen für hochkomplexe Virtuelle Szenen
Vorlesung Algorithmen für hochkomplexe Virtuelle Szenen Sommersemester 2012 Matthias Fischer mafi@upb.de Vorlesung 2 10.4.2012 Matthias Fischer 59 Übersicht = Binary Space Partitions Motivation Idee Anwendungsbeispiel:
MehrQuad-trees. Benjamin Niedermann Übung Algorithmische Geometrie
Übung Algorithmische Geometrie Quad-trees LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Benjamin Niedermann 02.07.2014 Übersicht Übungsblatt 11 - Quadtrees Motivation:
Mehr2. Algorithmische Methoden 2.1 Rekursion. 18. April 2017
2. Algorithmische Methoden 2.1 Rekursion 18. April 2017 Rekursiver Algorithmus Ein rekursiver Algorithmus löst ein Problem, indem er eine oder mehrere kleinere Instanzen des gleichen Problems löst. Beispiel
MehrEinführung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexität
Einführung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexität Tobias Lieber 10. Dezember 2010 1 / 16 Grundlegendes Approximationsalgorithmen Parametrisierte Komplexität 2 / 16 Grundlegendes Definition
MehrWenn wir zudem a ii = 1 für 1 i n setzen, dann gilt für A k (boolesches Produkt, A 0 = I) 0 falls es im Graphen keinen Pfad von v i nach v j,
6.2 Boolesche Matrixmultiplikation und Transitive Hülle Wir ersetzen nun im vorhergehenden Abschnitt die Distanzmatrix durch die (boolesche) Adjazenzmatrix und (min, +) durch (, ), d.h.: n C = A B; c ij
MehrÜbersicht über Informatik und Softwaresystemtechnik WS 99/00, Prof. Dr. Andreas Schwill
Konvexe Hülle Hierbei handelt es sich um ein klassisches Problem aus der Algorithmischen Geometrie, dem Teilgebiet der Informatik, in dem man für geometrische Probleme effiziente Algorithmen bestimmt.
MehrAlgorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische
MehrLiteratur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)
Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,
MehrDer Pledge-Algorithmus
Der Pledge-Algorithmus Benjamin Kahl 22. Juni 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1.1 Modelldefinition...2 2 Naiver Ansatz 2.1 Zufällige Wegwahl...3 2.2 Rechte-Hand-Methode...3 3 Pledge-Algorithmus 3.1
MehrZentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen
WS 2010/11 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2010ws/ds/uebung/ 2. Februar 2011 ZÜ DS ZÜ XIII 1. Übungsbetrieb:
MehrAlgorithmische Geometrie 3. Schnitte von Liniensegmenten
Algorithmische Geometrie 3. Schnitte von Liniensegmenten JProf. Dr. Heike Leitte Computergraphik und Visualisierung Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 2. Konvexe Hülle 3. Schnitte von Liniensegmenten 4.
Mehr7. Triangulation von einfachen Polygonen
1 7. Triangulation von einfachen Polygonen 2 Ziel Bessere Laufzeit als O(n log n) durch schnelleres Berechnen der Trapezzerlegung des Polygons. 3 Idee Finde Methode, den Anfangspunkt einer Strecke in der
MehrADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2
ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 Teil 5 Prof. Peter F. Stadler & Dr. Christian Höner zu Siederdissen Bioinformatik/IZBI Institut für Informatik & Interdisziplinäres Zentrum für Bioinformatik Universität
MehrDatenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 10 FS 16
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérale de Zurich Politecnico federale di Zurigo Federal Institute of Technology at Zurich Institut für Theoretische Informatik 11. Mai
MehrWann sind Codes eindeutig entschlüsselbar?
Wann sind Codes eindeutig entschlüsselbar? Definition Suffix Sei C ein Code. Ein Folge s {0, 1} heißt Suffix in C falls 1 c i, c j C : c i = c j s oder 2 c C und einen Suffix s in C: s = cs oder 3 c C
MehrLernmodul 7 Algorithmus von Dijkstra
Folie 1 von 30 Lernmodul 7 Algorithmus von Dijkstra Quelle: http://www.map24.de Folie 2 von 30 Algorithmus von Dijkstra Übersicht Kürzester Weg von A nach B in einem Graphen Problemstellung: Suche einer
Mehr5.4 Das Rucksackproblem
Problemstellung: 5.4 Das Rucksackproblem Eingabe: Ganzzahlige Volumina a 1,..., a n > 0, Nutzenwerte c 1,..., c n > 0, ganzzahlige Volumenschranke b. Aufgabe: Packe die Objekte in einen Rucksack von Volumen
MehrPolygontriangulierung
Vorlesung Algorithmische Geometrie Polygone triangulieren INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 03.05.2012 Das Kunstgalerie-Problem Aufgabe: Installiere ein Kamerasystem
MehrAlgorithmen II Vorlesung am 15.11.2012
Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales
MehrDatenstrukturen und Algorithmen SS07
Datenstrukturen und Algorithmen SS0 Datum:.6.200 Michael Belfrage mbe@student.ethz.ch belfrage.net/eth Programm von Heute Minimaler Spannbaum (MST) Challenge der Woche Fibonacci Heap Minimaler Spannbaum
Mehr2.4. Triangulierung von Polygonen
Als drittes Problem haben wir in Kapitel 1 die Triangulierung von Polygonen identifiziert, die etwa bei der Überwachung eines Museums durch Kameras auftritt. F70 F71 Definition und Theorie: Definition
MehrDualität + Quad-trees
Übung Algorithmische Geometrie Dualität + Quad-trees LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Andreas Gemsa 30.06.2011 Übersicht Übungsblatt 10 - Dualität
Mehr3. Suchen. Das Suchproblem. Suche in Array. Lineare Suche. 1 n. i = n Gegeben Menge von Datensätzen.
Das Suchproblem Gegeben Menge von Datensätzen. 3. Suchen Beispiele Telefonverzeichnis, Wörterbuch, Symboltabelle Jeder Datensatz hat einen Schlüssel k. Schlüssel sind vergleichbar: eindeutige Antwort auf
MehrVorwärtskinematik und inverse Kinematik. Andreas Schmidtke
Vorwärtskinematik und inverse Kinematik Andreas Schmidtke Übersicht 1. Vorwärtskinematik 2. Standardframes 3. Inverse Kinematik 4. Bemerkungen zur Numerik Übersicht 1. Vorwärtskinematik 1. Modellierung
MehrMusterlösung zu Übungsblatt 6
Fakultät für Informatik Übungen zu Kognitive Systeme Sommersemster 2016 M. Sperber (matthias.sperber@kit.edu) T. Nguyen (nguyen@kit.edu) S. Speidel (stefanie.speidel@kit.edu) D. Katic (darko.katic@kit.edu)
MehrBeschriftung in Dynamischen Karten
Vorlesung Algorithmische Kartografie Teil 2 LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 11.06.2013 Die Ära der dynamischen Karten Die meisten
MehrFelix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09
Felix Brandt, Jan Johannsen Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Übersicht Übersicht Definition Ein Matching in G = (V, E) ist eine Menge M E mit e 1 e 2 = für e 1, e 2 M, e 1 e 2 Ein Matching M ist perfekt,
Mehr8 Diskrete Optimierung
8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von
MehrStud.-Nummer: Datenstrukturen & Algorithmen Seite 1
Stud.-Nummer: Datenstrukturen & Algorithmen Seite 1 Aufgabe 1. / 16 P Instruktionen: 1) In dieser Aufgabe sollen Sie nur die Ergebnisse angeben. Diese können Sie direkt bei den Aufgaben notieren. 2) Sofern
MehrBreitensuche BFS (Breadth First Search)
Breitensuche BFS (Breadth First Search) Algorithmus BREITENSUCHE EINGABE: G = (V, E) als Adjazenzliste, Startknoten s V 1 Für alle v V 1 If (v = s) then d[v] 0 else d[v] ; 2 pred[v] nil; 2 Q new Queue;
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
MehrAlgorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse
Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
MehrPfadgenerierung/Polygone/Polygonoffsetting
Pfadgenerierung/Polygone/Polygonoffsetting Jan Stenzel 17. Juni 2015 Proseminar: 3D-Druck-Verfahren 1 / 42 Gliederung I 1 Polygone Definition konkav, konvex und überschlagen 2 Clipping Was kann passieren?
MehrPräfix-Summe. Das Schweizer Offiziersmesser der Parallelen Algorithmen. Parallele Rechenmodelle Präfix-Summe Brents Lemma Anwendungen
Präfix-Summe Das Schweizer Offiziersmesser der Parallelen Algorithmen Parallele Rechenmodelle Präfix-Summe Brents Lemma Anwendungen Parallele Rechenmodelle Beispiel: Summieren von Zahlen Verlauf des Rechenprozesses:
MehrVoronoi Diagrams. Christian Wellenbrock. December 1, 2009
December 1, 2009 Das Voronoi Diagramm Problemstellung Gegeben: Menge der Zentren P = {p 1,..., p n } R 2 Das Voronoi Diagramm Problemstellung Gegeben: Menge der Zentren P = {p 1,..., p n } R 2 Gesucht:
Mehr