1. Juli F k x k (X), X D. k=1 (X) F. x 2 (X) F 3. x 1 F 2. F 1 (X). rot F (X) = F n (X) = F j x i. , 1 i, j 3
|
|
- Sarah Förstner
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 . Juli Vektoranalysis 9. Divergenz und otation Es sei D n offen und = [,..., n ] T sei stetig differenzierbares Vektorfeld. Unter der Divergenz des Vektorfeldes versteht man den Ausdruck div = n k= k k, X D. Es sei D 3 offen und = [, 2, 3 ] T : D 3 stetig differenzierbar. Unter der otation des Vektorfeldes versteht man den Ausdruck rot := Merkhilfen div =. n T. rot = n Man beachte, dass rot = äquivalent ist zur Integrabilitätsbedingung i j = j i, i, j 3 (siehe (7.2)). Insbesondere ist die otation eines Gradientenfeldes = grad ϕ einer zweimal stetig differenzierbaren unktion ϕ gleich. In diesem Sinne misst rot die Abweichung des Vektorfeldes von einem Gradientenfeld. Geometrische Bedeutung der otation Eine starre Drehnung um die durch einen ichtungsvektor a beschriebene Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω wird beschrieben durch die Abbildung a 2 3 a 3 2 : ω a = ω a 3 a 3. a 2 a 2 Die zugehörige Abbildungsmatri lautet also a 3 a 2 A = ω a 3 a a 2 a und diese Matri ist schiefsymmetrisch: A T = A.
2 . Juli Es sei nun = [, 2, 3 ] T ein beliebiges differenzierbares Vektorfeld. Zu gegebenem Punkt X ist dann die lineare Approimation von in X gegeben durch Beachte nun, dass rot (X ) (X X ) = X X + J (X )(X X ) = (J (X ) J (X ) T )(X X ). (X X ) rot (X ) beschreibt also den schiefsymmetrischen Anteil der linearen Approimation des Vektorfeldes in X. Diesen können wir als starre Drehung um die durch rot (X ) beschriebene Achse auffassen. Bemerkungen (i) Laplace-Operator Ist f : D n zweimal stetig differenzierbar, so folgt f div ( grad f) = div. = 2 f f 2 f 2 n n Die Zuordnung f div ( grad f) heißt Laplace-Operator. Statt div ( grad f) schreibt man auch f. (ii) Ist : D 3 ein Gradientenfeld, also = grad f für eine unktion f, und ist f zweimal stetig differenzierbar, so folgt aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen von f rot = rot ( grad f) =. Es gilt also: Jedes stetig differenzierbare Potentialfeld hat otation. (iii) Ist : D 3 zweimal stetig differenzierbar, so folgt 9.2 Integration über lächen div ( rot ) =. Definition Es sei D 2 offen und die abgeschlossene Hülle D := D D sei messbar und kompakt. Es sei G 2 offen, D G, und = 2 : G 3 3 sei stetig differenzierbar und die Matri y J = 2 2 y 3 3 y
3 . Juli habe für alle X = [, y] T D vollen ang (d.h. ang 2, d.h. die Spaltenvektoren sind linear unabhängig). Dann heißt reguläre läche (über D) und die Punktmenge := 2 : =, 2 = 2, 3 = 3 für ein X D 3 heißt reguläres lächenstück. Beispiel 9. ugeloberfläche im 3 = y auf G = {X : X < } 2 2 y 2 ist stetig differenzierbar und J = 2 2 y 2 y 2 2 y 2 hat für alle X G vollen ang. Es sei D = {X : X < ε} für ein ε ], [, also D = {X : X ε}. Dann ist eine reguläre läche. : D 2 Es sei eine reguläre läche über D. ür X D heißt die durch die Vektoren = 2 y und y = 2 3 y 3 y aufgespannte Ebene T : + λ + µ y, λ, µ Tangentialebene an die läche im Punkte X. Der hierzu orthogonale Vektor N := y y, X D heißt Normalenvektor an die läche im Punkte X. Beispiel 9.2 In der Situation des Beispiels 9. ist y = 2 2 y 2 y 2 2 y 2 = 2 2 y 2 y 2 2 y 2
4 . Juli also N = y. 2 2 y 2 Die Tangentialebene T im Punkte X wird durch die Vektoren und y aufgespannt. Der lächeninhalt des von und y aufgespannten Parallelogramms ist gerade y. Dies motiviert: Definition Es sei reguläre läche über D, H : stetig. Dann heißt D H( (, y)) (, y) y (, y) d(, y) =: das Oberflächenintegral von H über der läche. Insbesondere heißt dσ = der lächeninhalt der läche. Beispiel 9.3 In der Situation des Beispiels 9. ist y 2 = D (, y) y (, y) d(, y) H dσ 2 + y y 2 + = y 2. ür die Oberfläche der Halbkugel ergibt sich damit dσ = d(, y) G 2 2 y2 mit G = {[, y] T : 2 + y 2 < 2 }. Zur Berechnung des Integrals auf der rechten Seite wählen wir Polarkoordinaten im 2 : [ ] r cos ϕ g(r, ϕ) =, r sin ϕ also g (G) = ], [ ], 2π[, und damit 2 2 y d(, y) = 2 G = g (G) 2π r d(r, ϕ) 2 r2 r dϕ dr = 2π 2. 2 r }{{ 2 } = d dr 2 r 2 Die Oberfläche der Halbkugel mit adius beträgt somit 2π 2 und die Oberfläche der ugel mit adius somit 4π 2.
5 . Juli Integralsätze Satz (Gaußscher Integralsatz für den 3 ) Es sei 3 ein regulärer Normalbereich, G, G offen, H : G stetig differenzierbares Vektorfeld und N : 3 äußere Normale des andes, so gilt div H d(, y, z) = H, N dσ. Beispiel 9.4 (i) Wir berechnen den luss H, N dσ des Vektorfeldes 2z H(, y, z) = + y durch die Oberfläche der ugel : 2 + y 2 + z 2 2. Nach dem Gaußschen Divergenzsatz gilt H, N dσ = div H d(, y, z) = (siehe Beispiel 8.2). (ii) Zu berechnen ist der luss H, N dσ des Vektorfeldes y 2 H(, y, z) = durch die Oberfläche des Zylinderausschnitts 2 y y : 2 + y 2, z. Nach dem Gaußschen Divergenzsatz gilt H, N dσ = div H d(, y, z) = (y ) d(, y, z) = 2π d(, y, z) = 4 3 π3 r 2 r dr dϕ dz = π. wobei wir in der vorletzten Gleichheit Zylinderkoordinaten eingesetzt haben (siehe Beispiel 8.3). Zur geometrischen Interpretation des Gaußschen Integralsatzes Das Oberflächenintegral H, N dσ beschreibt den mittleren luss des Vektorfeldes H durch die Oberfläche von (von innen nach außen).
6 . Juli Beschreibt H das Geschwindigkeitsfeld einer lüssigkeitsströmung, so gilt H, N dσ = H, y y y d(, y) = H, y }{{} dσ. Spatprodukt von H,, y Zur Erinnerung: Das Spatprodukt von H,, y ist gerade das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds. Also beschreibt H, N dσ das Volumen derjenigen lüssigkeit, die durch das Oberflächenelement dσ strömt und damit H, N dσ das Gesamtvolumen der durch die Oberfläche strömenden lüssigkeitsmenge. Nach dem Gaußschen Integralsatz ist diese Menge gleich dem Integral div H d(, y, z) über die Divergenz von H. ür jede ganz in liegende ugel r mit Mittelpunkt X und adius r gilt insbesondere div H d(, y, z) = H, N dσ r r und für kleine adien wird gelten div H d(, y, z) div H r, also r div H H, N dσ. r r Damit wird deutlich: die Divergenz von H misst den aus einer Volumeneinheit austretenden luss. Deshalb heißt div H auch die Quelldichte. Punkte X mit div H > heißen Quellen div H < heißen Senken. H heißt quellenfrei, wenn div H = für alle X. Illustrationen In einer ugel betrachten wir die Geschwindigkeitsfelder zweier lüssigkeiten: (a) gleichförmiger Durchfluss v H(, y, z) = v 2 also div H = v 3
7 . Juli und daher div H d(, y, z) =. ür das Oberflächenintegral gilt andererseits: H, N dσ = v, y (, y) d(, y) + v, ˆ ˆ y (, y) d(, y) = G G (siehe Beispiel 9.). Hierbei bezeichnet ˆ (, y, z) = y die Oberfläche der unteren 2 2 y 2 Halbkugel. (b) Geschwindigkeitsfeld mit Quelle H(, y, z) = y, div H(, y, z) = 3, also z div H d(, y, z) = 3 = π3 = 4π 3. Andererseits H, N dσ = 2, y (, y) d(, y) G }{{} 2 2 y 2 = 2 G = 2 +y y y 2 d(, y) = 2 2π2. Satz (Stokesscher Integralsatz) Es sei : G 2 3 eine reguläre läche über D, D G, G offen. sei zweimal stetig differenzierbar, D sei ein Normalbereich und X : [a, b] 2 eine positiv orientierte stetig differenzierbare Parametrisierung des andes D. Dann ist Y (t) = (X(t)), t [a, b], eine positiv orientierte Parametrisierung des andes von 3. Es sei H : U 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit U. Dann gilt rot H, N dσ = H dy. Beispiel 9.5 Es sei > und (, y) = y, [, y] T D := {X 2 : X < } 2 2 y 2 die läche, die die Oberfläche der oberen Halbkugel mit adius beschreibt, also N(, y) = y y. Desweiteren sei H(, y, z) =, also rot H(, y, z) = [,, 2] T, und 2 2 y 2 damit rot H, N dσ = = 2π 2N 3 dσ = 2r dr dϕ = 2π 2. D y 2 d(, y) 2 2 y2
8 . Juli Andererseits können wir D durch die urve [ ] cos t X(t) =, t [, 2π] sin t parametrisieren, also folgt für die urve cos t Y (t) = (X(t)) = sin t, t [, 2π] dass H dy = 2π sin t cos t Hierdurch wird der Stokessche Integralsatz bestätigt. T sin t cos t dt = 2π 2. Zur geometrischen Interpretation des Stokesschen Intergralsatzes Das Wegintegral H dy beschreibt die Zirkulation des Vektorfeldes entlang des andes von. Analog zum Gaußschen Integralsatz ergibt sich für jedes kreisförmige Teilstück S r der läche um einen lächenpunkt X: rot H, N dσ = H dy S r S r und für kleine adien r wird gelten rot H, N dσ rot H, N S r also S r rot H, N H dy. S r S r Hiermit wird deutlich: rot H, N misst die Zirkulation pro lächeneinheit und heißt entsprechend Wirbelstärke von H um N.
Ist C eine Kurve mit Anfangspunkt a und Endpunkt b und f eine stetig differenzierbare Funktion, grad f( r ) d r = f( b) f( a).
KAPITEL 5. MEHRDIMENSIONALE INTERATION. Berechnung Integralsätze in R Hauptsatz für Kurvenintegrale wegunabhängig radientenfeld Integrabilitätsbedingung Hauptsatz für Kurvenintegrale a b Ist eine Kurve
Mehr16 Oberflächenintegrale
16 Oberflächenintegrale Nachdem wir im vergangenen Abschnitt gesehen haben, wie man das Volumen eines dreidimensionalen Körpers z.b. das Volumen einer Kugel) mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen kann,
MehrGrundzüge der Vektoranalysis
KAPITEL 7 Grundzüge der Vektoranalysis 7. Satz von Green................................... 2 7.2 Satz von Stokes................................... 22 7.2. Zirkulation und Wirbelstärke..........................
Mehr5 Der Gaußsche und Stokes sche Integralsatz
HM III = MATH III FT 2013 50 5 Der Gaußsche und Stokes sche Integralsatz Der Gaußsche Integralsatz umgangssprachlich am eispiel strömender Flüssigkeiten: Die Flüssigkeitsmenge, die durch die Oberfläche
MehrAnalysis II für Ingenieure Übersicht: Integration. 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld
Analysis II für Ingenieure Übersicht: Integration 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld 1.1 erechnung c f ds = b a f ( c(t) ) c(t) dt 1. Kurve c parametrisieren: c : [a, b] R n, t c(t). 2. c(t) und dann
MehrKarlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang Sommersemester 3 8.6.3 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektrotechnik und Informationstechnik
Mehr) sei stückweise stetige differenzierbare Kurve in
. Integration.. urvenintegrale. Art Neben urvenintegralen. Art [9..] existieren auch urvenintegrale. Art. Def.. ( () = (), (), () x t x t x t x t Parameterdarstellung und v( x) v ( x) v ( x) v ( x) v:
Mehr19.3 Oberflächenintegrale
19.3 Oberflächenintegrale Definition: Sei D R 2 ein Gebiet und p : D R 3 eine C 1 -Abbildung x = p(u) mit x R 3 und u = (u 1, u 2 ) T D R 2 Sind für alle u D die beiden Vektoren und u 1 linear unabhängig,
MehrAnalysis IV. Gruppenübungen
Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner TECHNISCHE UNIVESITÄT DAMSTADT ASS 6 7.7.26 Analysis IV 3. Übung mit Lösungshinweisen (G ) Berechnung einiger Volumina Gruppenübungen
MehrAufgabe 2 Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor
Thema: Vektoranalysis PT/LOT WS 13/14 Analysis III Serie 3 www.fh-jena.de/~puhl Aufgabe 1 Ein Massepunkt bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω 1 auf einer Kreisbahn mit dem Radius R 1 und dem Mittelpunkt
MehrTransformation mehrdimensionaler Integrale
Transformation mehrdimensionaler Integrale Für eine bijektive, stetig differenzierbare Transformation g eines regulären Bereiches U R n mit det g (x), x U, gilt für stetige Funktionen f : f g det g du
MehrParametrisierung und Integralsätze
Parametrisierung und Integralsätze 2. März 2 Integration in der Ebene. Defintion: eien w,..., w n stückweise reguläre, einfach geschlossene Kurven in R 2, seien W,..., W n die von diesen Wegen umschlossene
Mehr14 Oberflächenintegrale und Integralsätze
4 Oberflächenintegrale und Integralsätze Nachdem wir im vergangenen Kapitel gesehen haben, wie man das Volumen eines dreidimensionalen Körpers z.b. das Volumen einer Kugel) mit Hilfe der Integralrechnung
MehrProf. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst. Fakultät Mathematik TU Dortmund
Prof. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst akultät athematik TU Dortmund usterlösung zum 5. Übungsblatt zur Höheren athematik II P/ET/AI/IT/IKT/P) SS Aufgabe Die läche R 3 sei der Teils des Paraboloids z +y,
Mehr1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle
Anmerkung zur Notation Im folgenden werden folgende Ausdrücke äquivalent benutzt: r = x y = x 1 x 2 z x 3 1 Der Vektoroperator Definition: := e x x + e y y + e z z = x y z. Nabla ist ein Vektor, der als
MehrDivergenz und Rotation von Vektorfeldern
Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Mit Hilfe des Nabla-Operators können nun zwei weitere wichtige elementare Operationen definiert werden, welche formal der Bildung des Skalarproduktes bzw. des äußeren
Mehr1. Aufgabe Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor
Thema: Vektoranalysis Studiengang: PT/LOT Analysis III Serie 3 Semester: WS 1/11 1. Aufgabe Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor
MehrLösung zur Klausur zur Analysis II
Otto von Guericke Universität Magdeburg 9.7.4 Fakultät für Mathematik Lösung zur Klausur zur Analysis II Vorlesung von Prof. L. Tobiska, Sommersemester 4 Bitte benutzen Sie für jede Aufgabe ein eigenes
MehrTeil 8. Vektoranalysis
Teil 8 Vektoranalysis 5 6 8. kalar- und Vektorfelder kalarfeld alternative chreibweisen: U = U(x, y, z) = U( r) R 3 P U(P ) R Visualisierung durch Niveaumengen oder Einschränkungen auf achsenparallele
MehrD-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 15 Dr. Ana Cannas. Serie 9: Satz von Stokes und Divergenzsatz
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 15 Dr. Ana Cannas Serie 9: Satz von Stokes und Divergenzsatz Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 9 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 28./30. April. 1. Berechnen
Mehr(u, v) z(u, v) u Φ(u, v) (v = const.) Parameterlinie v = const. v Φ(u, v) (u = const.) Parameterlinie u = const.
13 Flächenintegrale 64 13 Flächenintegrale Im letzten Abschnitt haben wir Integrale über Kurven betrachtet. Wir wollen uns nun mit Integralen über Flächen beschäftigen. Wir haben bisher zwei verschiedene
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 12: Integralsätze von Gauss und Stokes Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 12. Integralsätze 1 / 25 1 Gauss-scher Integralsatz
MehrWir erinnern zunächst an die verschiedenen Arten von Funktionen, die uns bisher begegnet sind: V : r 0 3 V ( r) 0 3
3 1. Mathematische Grundlagen Zur Vorbereitung fassen wir in diesem ersten Kapitel die wichtigsten mathematischen Konzepte zusammen, mit denen wir in der Elektrodynamik immer wieder umgehen werden. 1.1.
Mehr2 x x 2 y 2 vol(a) = d(x, y, z) = 4 3 x3 dx = [ 1
UNIVERSITÄT ARLSRUHE Institut für Analsis HDoz Dr P C unstmann Dipl-Math M Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Phsik und Geodäsie inklusive omplexe Analsis
MehrAnalog ist ein Bereich D in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form. ist, wobei die Rollen der Koordinaten x, y, z vertauscht sein können.
142 Analog ist ein Bereich in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form = { (x,y,z) a x b,u(x) y o(x),ũ(x,y) z õ(x,y) } ist, wobei die Rollen der Koordinaten x, y, z vertauscht sein können. efinition
Mehr"Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab"
V4.2 - V4.3: Integralsätze der Vektoranalysis [Notation in diesem Kapitel: Vorausschau/Überblick: alle Indizes unten!] "Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab" Hauptsatz
MehrNormalbereiche in R 2 sehen wie folgt aus: Analog ist ein Bereich D in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form
155 Normalbereiche in R 2 sehen wie folgt aus: Analog ist ein Bereich in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form = { (x,y,z) a x b,u(x) y o(x),ũ(x,y) z õ(x,y) } ist, wobei die Rollen der Koordinaten
MehrHöhere Mathematik III
Blatt 4 Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Höhere Mathematik III el, kyb, mecha, phys Prof. Dr. J. Pöschel Dr. D. Zimmermann Dipl.-Math.. Sanei ashani 1.11.14 Vortragsübungen (Musterlösungen)
MehrVektoranalysis Orientierte Flächenintegrale, Satz von Gauß, Satz von Stokes
Vektoranalysis Orientierte Flächenintegrale, Satz von Gauß, Satz von Stokes Themen des Tutoriums am 03.06.2015: Wiederholung: Ein glattes Flächenstück ist eine Menge M R 3, die eine reguläre Parametrisierung
Mehr03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
Mehr1 Kurven und Kurvenintegrale
Fabian Kohler Karolina Stoiber Ferienkurs Analysis für Physiker SS 14 A 1 Kurven und Kurvenintegrale 1.1 Einschub: Koordinatentransformation Gegeben sei eine Funktion f : R n R. Dann ist die totale Ableitung
MehrSei Φ(x, y, z) ein skalares Feld, also eine Funktion, deren Wert in jedem Raumpunkt definiert ist.
Beim Differenzieren von Vektoren im Zusammenhang mit den Kreisbewegungen haben wir bereits gesehen, dass ein Vektor als dreiwertige Funktion a(x, y, z) aufgefasst werden kann, die an jedem Punkt im dreidimensionalen
Mehr03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
MehrMusterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Probeklausur Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) I...
................ Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
MehrRepetitorium Analysis II für Physiker
Technische Universität München Larissa Hammerstein Vektoranalysis und Fourier-Transformation Lösungen Repetitorium Analysis II für Physiker Analysis II Aufgabe Skalarfelder Welche der folgenden Aussagen
MehrVorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 09/10. Michael Karow. Themen: Flächen und Flächenintegrale
Vorlesng: Analsis II für Ingeniere Wintersemester 9/ Michael Karow Themen: lächen nd lächenintegrale Parametrisierte lächen I Sei 2 eine kompakte Menge mit stückweise glattem and (d.h. der and ist as glatten
Mehr12. Übungsblatt zur Mathematik II für MB
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. U. Reif R. Hartmann, T. Koch SS 1 5.7.21 12. Übungsblatt zur Mathematik II für MB Aufgabe 39 Divergenz Berechnen Sie die Divergenz folgender Vektorfelder: xyz + 2xy F 1
Mehr1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 )
Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 Vorlesung Elektrodynamik LAG PD Dr. Angelika Chassé) Vektoralgebra 3D euklidischer Raum R 3 ). Grundbegriffe = Vektordefinition
MehrDer allgemeine Satz von Stokes...
Der allgemeine Satz von Stokes...... in der Sprache der Differentialformen. dω Differentialformen... sind - vereinfacht gesagt - orientierte Differentiale. k-form im R n a i1,...,i k (x) dx i1... dx ik,
MehrÜbungen zu Integralsätzen Lösungen zu Übung 19
9. Sei IR 3 der Einheitswürfel Übungen zu Integralsätzen Lösungen zu Übung 9 erifizieren Sie für : {(x, y, z) IR 3 : x, y, z.} den Gaußschen Divergenzsatz. Lösung: v(x, y, z) : (4xz, y, yz) erifizieren
MehrFerienkurs Analysis 3 für Physiker. Übung: Integralsätze
Ferienkurs Analysis 3 für Physiker Übung: Integralsätze Autor: enjamin Rüth Stand: 7. März 4 Aufgabe (Torus) Zu festem R > werden mittels ϱ T : [, R] [, π] [, π] R 3, ϕ ϑ Toruskoordinaten eingeführt. estimmen
Mehr5.6 Potential eines Gradientenfelds.
die Zirkulation des Feldes v längs aufintegriert. 5.6 Potential eines Gradientenfelds. Die Ableitung einer skalaren Funktion ist der Gradient, ein Vektor bzw. vektorwertige Funktion (Vektorfeld). Wir untersuchen
Mehr6.4 Oberflächenintegrale 1. und 2. Art
6.4 Oberflächenintegrale. und. Art 6.4. Integration über Flächen im Raum Es gibt verschiedene Möglichkeiten der arstellung von Flächen im Raum:. explizite arstellung als Graph z = f(x, y), was aber eigentlich
Mehr(Gaußscher Integralsatz)
Der Gaußsche Integralsatz Beim Oberflächenintegral O F n da beschreibt der Integrand den senkrechten Durchsatz des Vektorfeldes durch das Flächenelement da. Insgesamt liefert das Integral über eine geschlossene
MehrAnalysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 3/4 Dr. K. Rothe Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Anleitung zu Blatt 7 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K.
Mehr8 Oberflächenintegrale
Mathematik für Physiker III, WS 22/23 reitag 8. $Id: flaechen.tex,v.6 23//8 6:4:9 hk Exp $ $Id: rot.tex,v.3 23//8 7:4:9 hk Exp hk $ 8 Oberflächenintegrale 8.2 lächenintegrale erster rt In der letzten Sitzung
Mehr1 Mathematische Hilfsmittel
Mathematische Hilfsmittel. Vektoranalysis Wiederholung Vektor: Länge und Richtung Vektoraddition: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) kartesische Koordinaten: B A + B = i (a i + b i )e i A+B Multiplikation
MehrMathematik für Anwender II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 212 Mathematik für Anwender II Vorlesung 58 Der Satz von Green Wir betrachten eine kompakte eilmenge R 2, deren Rand R sich stückweise durch reguläre Kurven parametrisieren
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 11
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 11 Hausaufgaben Aufgabe 11.1 Berechnen Sie jeweils die Jacobi-Matrix folgender
Mehrauf U heisst die Divergenz von K.
11.5 Integralsat von Gauss im R 2 11.5 Integralsat von Gauss im R 2 Seien weiter K = K ( ) x =(K1,K y 2 ) ein C 1 -Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge U R 2 und eine kompakte Teilmenge von U mit orientiertem
MehrHöhere Mathematik 3. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2013/14. FB Mathematik
Höhere Mathematik 3 Prof. Dr. Norbert Knarr F Mathematik Wintersemester 23/4 2. Integration von Funktionen in drei Variablen 2.. Integration über Flächenstücke im Raum 2... Denition. Es sei D R 2 eine
MehrFerienkurs Analysis 3 Lösung Vektoranalysis 19. März Die Einheitssphäre werde parametrisiert mithilfe von Kugelkoordina- ten
Ferienkurs Analysis 3 Lösung Vektoranalysis 19. März 1 Die Einheitssphäre werde parametrisiert mithilfe von Kugelkoordina- Lösung 1. ten Ψ(θ, φ) sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ Dann gilt 1 Ψ(θ, φ) cos θ
MehrVorlesungsfolien Mathematik 3 WS 2010/11 UMIT. Einleitung
Vorlesungsfolien Mathematik 3 WS 2010/11 Dr. Leonhard Wieser UMIT Einleitung Begriff Vektoranalysis: Kombination aus Linearer Algebra/Vektorrechnung mit Differential- und Integralrechnung Inhaltsangabe:
MehrAnalysis II - 2. Klausur
Analysis II - 2. Klausur Sommersemester 25 Vorname: Name: Aufgabe Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Aufgabe 7 Summe Analysis II - 2. Klausur 6.7.25 Aufgabe 6 Punkte Betrachten Sie die C
Mehr= r ). Beispiele. 1) Kreis. Skizze mit Tangentialvektoren ( x. 2) Zykloide. Skizze für a = r = 1:
VEKTORANALYSIS Inhalt: 1) Parametrisierte Kurven 2) Vektorfelder 3) Das Linienintegral 4) Potentialfelder 1 Parametrisierte Kurven Definitionen xt () Kurve: x = x() t = y() t, t zt () xt () dxt () Tangentialvektor:
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 23 (5.8.23). Gegeben seien die Matrizen A = 2 3 3 und B = 5 2 5 (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und B sowie die
Mehr4 Oberflächenintegrale, Integralsätze von Gauss und Stokes
53 4 Oberflächenintegrale, Integralsätze von Gauss und Stokes 4. lächen im Raum, Oberflächenintegrale Analog zur Darstellung von Kurven durch Parameterdarstellungen x : [a, b] IR n kann man ( dimensionale)
Mehr1 Ableitungen. Definition: Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R R n, γ besteht also aus seinen Komponentenfunktionen. a 1 + tx 1. eine Kurve.
1 Ableitungen Definition: Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R R n, γ besteht also aus seinen Komponentenfunktionen γ 1 (t) γ(t) = γ n (t) Bild(γ) = {γ(t) t I} heißt auch die Spur der Kurve Beispiel:1)
Mehr4. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 3. Wintersemester 2015/ , E 2 := (x, y, z) R 3 4z M := Z E 1 E 2.
Dr. F. Gaspoz, Dr. T. Jentsch, Dr. A. Langer, J. Neusser, J. Schmid. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 3 Wintersemester 1/16 Apl. Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe
MehrZusammenfassung: Flächenintegrale
Zusammenfassung: Flächenintegrale Gerichtetes Flächenelement: "Fluss" durch Flächenelement: "Fläche über G": "Fluss" durch die Fläche : Für orthogonale Koordinaten: Betrag des Flächenelements: Richtung:
MehrDas entscheidende Ergebnis der Analysis einer rellen Variablen ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. f (x) dx = F (b) F (a),
Kapitel Integralsätze.1 Einleitung und Übersicht Das entscheidende Ergebnis der Analysis einer rellen Variablen ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung b a f (x) (b) (a), der es erlaubt,
Mehr14.3 Berechnung gekrümmter Flächen
4.3 Berechnung gekrümmter Flächen Gekrümmte Flächen werden berechnet, indem sie als Graph einer Funktion zweier Veränderlicher aufgefasst werden. Fläche des Graphen einer Funktion zweier Veränderlicher
MehrÜbungen zu Oberflächenintegralen Lösungen zu Übung 17
Übungen zu Oberflächenintegralen Lösungen zu Übung 17 17.1 Sei die Oberfläche der Einheitskugel : {(x, y, z) IR 3 : x + y + z 1.} Berechnen Sie für f(x, y, z) : a, a IR, a const. das Oberflächenintegral
MehrSatz von Stokes. Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F auf einer regulären Fläche S mit orientiertem Rand C gilt. Satz von Stokes 1-1
Satz von Stokes Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F auf einer regulären Fläche S mit orientiertem Rand C gilt rot F ds = F d r. S C Satz von Stokes 1-1 Satz von Stokes Für ein stetig differenzierbares
Mehr- 1 - Zunächst das Integral über eine Bogenlänge. Ist in der x,y-ebene (oder im Raum) eine Kurve K vorgeben, so können wir das Integral
- 1 - Vektoranalysis In diesem Kapitel untersuchen wir vornehmlich Vektorfelder und charakterisieren sie durch ihre Wirbel- und Quellstärke. Verstärkt findet diese Vektor(feld)analysis Anwendung in der
MehrIntegrieren Das bestimmte Integral einer Funktion f f(x) in einer Variable über das Intervall [a,b] schreiben wir
Klassische Theoretische Physik TP-L - WS 2013/14 Mathematische Methoden 8.1.2014 Frank Bertoldi (Version 2) Abbildungen und Beispiele aus F. Embacher "Mathematische Grundlagen..." und "Elemente der theoretischen
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Vorlesung 7
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Vorlesung 7 Definition: Ein Skalarfeld ordnet jedem Punkt im dreidimensionalen Raum R 3 eine ahl () zu. Unter einem räumlichen Vektorfeld
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt N dl. y 3
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS / Blatt 9.. Aufgabe 5: Berechnen Sie das Integral K ( x y N dl über den Rand des Kreises K {(x, y x + y } einmal direkt mit Hilfe einer geeigneten Parametrisierung
Mehr12. Übungsblatt zur Analysis II
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Steffen Roch Nada Sissouno Benno van den Berg WS 9/1 1.1.1 1. Übungsblatt zur Analysis II Gruppenübung Aufgabe G1 Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Sei V C 1 (R n,
MehrVorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Koordinatensysteme, klassische Differentialoperatoren
Vorlesung: Analsis II für Ingenieure Wintersemester 07/08 Michael Karow Themen: Koordinatenssteme, klassische Differentialoperatoren Polarkoordinaten = cos() = sin() = 2 + 2 =(,) tan() = für 0. Winkel
MehrMathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie
Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie
MehrKlassische Theoretische Physik I WS 2013/ Wegintegrale ( = 50 Punkte)
Karlsruher Institut für Technologie www.tkm.kit.edu/lehre/ Klassische Theoretische Physik I WS 213/214 Prof. Dr. J. Schmalian Blatt 2 Dr. P. P. Orth Abgabe und Besprechung 8.11.213 1. Wegintegrale 1 +
MehrFlächen und ihre Krümmungen
Flächen und ihre Krümmungen Teilnehmer: Levi Borodenko Anna Heinrich Jochen Jacobs Robert Jendersie Tanja Lappe Manuel Radatz Maximilian Rogge Käthe-Kollwitz-Oberschule, Berlin Käthe-Kollwitz-Oberschule,
MehrIntegralsatz von Gauss und Greensche Formeln
Integralsatz von Gauss und Nicola Schweiger LM München Haslach am 13.12.2012 Nicola Schweiger Integralsatz von Gauss und 1/12 Integralsatz von Gauss Sei R n ein beschränktes Gebiet mit stückweise glattem
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. Michael Wolf Daniel Stilck França Stefan Huber Zentralübung TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik 4 für Physiker (Analysis 3) MA94 Z4.. Parametrisierungsinvarianz des Oberflächenintegrals
MehrVorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Niveaumengen und Gradient
Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 07/08 Michael Karow Themen: Niveaumengen und Gradient Wir betrachten differenzierbare reellwertige Funktionen f : R n G R, G offen Zur Vereinfachung
Mehr16 Vektorfelder und 1-Formen
45 16 Vektorfelder und 1-Formen 16.1 Vektorfelder Ein Vektorfeld v auf D R n ist eine Abbildung v : D R n, x v(x). Beispiele. Elektrisches und Magnetisches Feld E(x), B(x), Geschwindigkeitsfeld einer Strömung
MehrWie man dieses (Weg-)Integral berechnet, kann man sich mit der folgenden Merkregel im Kopf halten. Man schreibt d~r = d~r
Vektoranalysis 3 Die Arbeit g Zum Einstieg eine kleine Veranschaulichung. Wir betrachten ein Flugzeug, das irgendeinen beliebigen Weg zurücklegt. Ausserdem seien gewisse Windverhältnisse gegeben, so dass
MehrAbbildung 14: Ein Vektorfeld im R 2
Vektoranalysis 54 Vektoranalysis Wir wollen nun Vektorfelder betrachten. Es sei U R n. Ein Vektorfeld im R n ist eine Abbildung v : U R n, die jedem Punkt x ihres sbereichs U einen Vektor v(x) zuordnet.
MehrTechnische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 3 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras 9..3 Oktober Klausur Analysis II für Ingenieure Rechenteil. Aufgabe Punkte i) Wir berechnen zunächst
Mehr2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n
2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n f ist in dem Fall ein Weg in R n. Das Bild f(t) des Weges wird als Kurve
Mehrf(x, y) = x 2 4x + y 2 + 2y
7. Februar Lösungshinweise Theorieteil Aufgabe : Bestimmen Sie die Niveaumengen (Höhenlinien) der Funktion f(x, y) = x 4x + y + y und skizzieren Sie das zugehörige Höhenlinienbild im kartesischen Koordinatensystem
MehrSerie 10: Inverse Matrix und Determinante
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die
MehrSatz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche. suggestive Notation. "Ausfluss pro Volumenelement"
Zusammenfassung: Satz v. Gauß Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche Volumen Rand des Volumens = Oberfläche Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Karlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Analysis.6.3 Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick reuning Aufgabe Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik 9. Übungsblatt Ein Heißluftballon
MehrPrüfungsklausur Höhere Mathematik II (20. Juli 2005) - Lösungen zum Theorieteil - für MB, EC, TeM, FWK, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM
Prüfungsklausur Höhere Mathematik II (2. Juli 25) für MB, EC, TeM, FWK, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM - Lösungen zum Theorieteil - Aufgabe : Sei f(x, y) eine in einem Gebiet zweimal stetig differenzierbare
MehrKapitel 16 Skalar- und Vektorprodukt
Kapitel 16 Skalar- und Vektorprodukt Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 210 / 246 Bisher hatten wir die Möglichkeit Vektoren des Vektoren mit rellen Zahlen zu multiplizieren. n zu addieren und Man
Mehrφ(ζ, η) = (ζ η, η) = (x, y), bijektiv und stetig differenzierbar ist. Die Jacobi-Matrix von φ lautet: f(ζ) det(dφ(ζ, η)) dζ dη f(ζ) dζ dη.
Übungen (Aufg und Lösungen zu Mathem u Lin Alg II SS 6 Blatt 9 66 Aufgabe 43: Sei f : R R eine stetige Funktion Formen Sie das Integral f(x + y dx dy in ein einfaches Integral um Lösung: Führe neue Koordinaten
MehrLösungen zu Übungsblatt 9
Analysis : Camillo de Lellis HS 007 Lösungen zu Übungsblatt 9 Lösung zu Aufgabe 1. Wir müssen einfach das Integral 16 (x + y d(x, y x +y 4 ausrechnen. Dies kann man einfach mittels Polarkoordinaten, da
Mehr14 Die Integralsätze der Vektoranalysis
4 Die Integralsätze der Vektoranalysis 72 4 Die Integralsätze der Vektoranalysis Die Integralsätze stellen eine Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrecnung dar und sind für
MehrKrummlinige Koordinaten
Krummlinige Koordinaten Einige Koordinatensysteme im R 3 haben wir bereits kennengelernt : x, x 2, x 3... kartesische Koordinaten r, φ, x 3... Zylinderkoordinaten r, φ, ϑ... Kugelkoordinaten Sind andere
MehrPrüfung Modul A, Teil 2 (Mathematik 2) (Fernstudium Bauingenieurwesen)
Name: Vorname: Matrikelnummer: TU Dresden, Fachrichtung Mathematik, Dr. N. Koksch 6. Februar 8 Prüfung Modul A, Teil (Mathematik ) (Fernstudium auingenieurwesen) ewertet werden nur solche Lösungsschritte,
MehrSeite 1. sin 2 x dx. b) Berechnen Sie das Integral. e (t s)2 ds. (Nur Leibniz-Formel) c) Differenzieren Sie die Funktion f(t) = t. d dx ln(x + x3 ) dx
Seite Aufgabe : a Berechnen Sie das Integral b Berechnen Sie das Integral +x x+x dx. π sin x dx. c Differenzieren Sie die Funktion ft = t e t s ds. Nur Leibniz-Formel a + x x + x dx = d dx lnx + x dx =
MehrMathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008
1 / 76 Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 28 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III 12.11.28 2 / 76 Wiederholung Glatte Flächen Wiederholung Vektorprodukt Definition Flächeninhalt
Mehr1. Funktionen und Stetigkeit
1. Funktionen und Stetigkeit Um Funktionen mit mehreren Variablen auf ihr Grenzwertverhalten, wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit, untersuchen zu können, ist es sinnvoll, sie auf kleinen Umgebungen,
MehrIntegralrechnung für GLET
Freitagsrunden Tech Talk November 2, 2012 1 Grundlagen Rechenregeln für Integrale 2 Mehrdimensionale Integrale Flächenintegrale Volumenintegrale Lösbar? 3 Kugel- und Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten
MehrSatz von Gauss, Fluss und Divergenz
Satz von Gauss, Fluss und Divergenz F - - - 4 - - L Das Vektorfeld F beschreibe die Geschwindigkeit in einer Flüssigkeit, die über die Ebene fließt. Der Fluss von F über L ist die in Einheitszeit fließende
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
MehrHöhere Mathematik IV. (Integration im R n )
akultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Universität der undeswehr München Höhere Mathematik IV (Integration im R n ) Univ. Prof. Dr. sc. math. urt Marti L A
Mehr13. Übungsblatt zur Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. H.-D. Alber Dr. N. Kraynyukova Dipl.-Ing. A. Böttcher WS / 3. Januar 3. Übungsblatt zur Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss Gruppenübung Aufgabe
Mehr