10.5 Vektorfelder. Beispiele. . x. 2. Sei F(x,y) =. y 2. Jedes Gradientenfeld ist ein Vektorfeld, aber nicht jedes Vektorfeld ist ein Gradientenfeld.

Transkript

1 28.5 Vektorfelder Wir hben gesehen, dss der Grdient einer Funktion z = f(x,y : D R jedem Punkt (x,y D einen Vektor, nämlich f(x,y R 2, zuordnet. Eine solche Zuordnung nennt mn Vektorfeld. Ds Vektorfeld definiert durch einen Grdienten nennt mn uch Grdientenfeld. Definition Sei D R 2. Ein Vektorfeld uf D ist eine Abbildung F : D R 2, welche jedem Punkt (x,y D einen Vektor F(x,y R 2 zuordnet. Anlog ist ein Vektorfeld uf einer Menge D R 3 ls eine Abbildung F : D R 3 definiert. Beispiele. Sei F(x,y = ( y. x ( 2 2. Sei F(x,y =. y 2 Jedes Grdientenfeld ist ein Vektorfeld, ber nicht jedes Vektorfeld ist ein Grdientenfeld.

2 29 Definition EinVektorfeldF(x,y : D R 2,dseinGrdientenfeldist, heisstkonservtiv. Ds heisst, F(x,y ist konservtiv, flls es eine Funktion f(x,y : D R gibt mit F = grdf = f. Eine solche Funktion f heisst Potentilfunktion des Vektorfeldes F. Nch Stz. gilt für eine nständige Funktion f(x,y die Beziehung f xy = f yx. Für ds Grdientenfeld f = ( fx fy einer solchen Funktion gilt lso f x y = f y x bzw. f y x f x y =. Ein Vektorfeld F(x,y = ( u v knn lso nur dnn ein Grdientenfeld sein, wenn gilt v x u y =. Diese für ein Grdientenfeld notwendige (ber nicht hinreichende Bedingung nennt mn Integrbilitätsbedingung. Beispiele ( 4x. F(x,y = 3 y 2 2x 4 = y +2y ( u v 2. F(x,y = ( y = x ( u v Anlog ( ist der Grdient einer Funktion f(x,y,z : D R mit D R 3 gegeben durch fx f = fy und für f nständig gilt nun f yz = f zy, f zx = f xz und f xy = f yx. f z ( uv Ein Vektorfeld F(x,y,z = knn lso nur dnn ein Grdientenfeld sein, wenn gilt w w y v z =, u z w x =, v x u y =.

3 3 Definition Sei F(x,y,z = ds Vektorfeld uf D ( uv w ein Vektorfeld uf D R 3. Dnn ist die Rottion von F rotf = w y v z u z w x v x u y Symbolisch knn die Rottion mit Hilfe des Nbl-Opertors und des Vektorprodukts geschrieben werden, Beispiel rotf = F = x y z. u v = w w y v z u z w x v x u y Eine Scheibe rotiere um die z-achse mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Dnn ist ds Vektorfeld, ds in ( jedem Punkt der Scheibe den Geschwindigkeitsvektor ngibt, gegeben durch ωy F(x,y,z = ωx. Für die Rottion von F folgt. Ds heisst, die Rottion des Geschwindigkeitsfeldes F zeigt in die Richtung der Drehchse und ihr Betrg ist doppelt so gross wie die Winkelgeschwindigkeit. Die Integrbilitätsbedingung können wir nun wie folgt formulieren. Stz.9 Ist F : D R 3 konservtiv (d.h. ein Grdientenfeld, dnn gilt rotf =. EinVektorfeldufD = R 2 oderd = R 3 istkonservtiv, wenndieintegrbilitätsbedingung und zusätzlich Stetigkeitsbedingungen erfüllt sind. Stz. Sei F(x,y = ( u v ein stetig differenzierbres Vektorfeld uf D = R 2, ds heisst, u und v sind differenzierbr mit stetigen prtiellen Ableitungen. Gilt die Integrbilitätsbedingung v x u y =, dnn ist F konservtiv. Anlog sei F ein stetig differenzierbres Vektorfeld uf D = R 3. Gilt dnn ist F konservtiv. rotf =, Allgemeiner gilt Stz. für Vektorfelder F uf D R 2, bzw. D R 3, flls D offen (d.h. ohne Rnd und einfch zusmmenhängend (d.h. je zwei Punkte in D können mit einer gltten Kurve verbunden werden und jede geschlossene Kurve in D ist uf einen Punkt

4 3 stetig zusmmenziehbr, ohne D zu verlssen ist. Zum Beispiel ist jeder Kreis oder jede Hlbebene in R 2 einfch zusmmenhängend, ber nicht R 2 \{(,}. Beispiele. Gegeben sei ds Vektorfeld ( 2xy F(x,y = 3 8x 2 y 2 +7y 6 = ( u. v Die Stetigkeitsbedingungen von Stz. sind erfüllt. Also überprüfen wir die Integrbilitätsbedingung: Nch Stz. ist F konservtiv. Nun wollen wir eine Funktion f(x,y mit f = F finden. ( Integrtion von u nch x: (2 Ableiten von f nch y und Gleichsetzen mit v: (3 Integrtion von g y (y nch y: (4 Einsetzen von g(y in f : Mit dieser Methode knn zu jedem konservtiven Vektorfeld F uf R 2 eine Potentilfunktion f gefunden werden. Zwei verschiedene Potentilfunktionen zum gleichen Vektorfeld unterscheiden sich dbei nur um eine Konstnte. Diese Methode knn uf Vektorfelder uf R 3 ngepsst werden. 2. Gegeben sei ds Vektorfeld e x y + u F(x,y,z = e x +z = v. y w Die Stetigkeitsbedingungen von Stz. sind erfüllt. Also berechnen wir rot F :

5 32 Nch Stz. ist F konservtiv. Auch hier bestimmen wir eine Funktion f(x,y,z mit f = F. ( Integrtion von u nch x: (2 Ableiten von f nch y und Gleichsetzen mit v: (3 Integrtion von g y (y,z nch y und Einsetzen von g(y,z in f : (4 Ableiten von f nch z und Gleichsetzen mit w: (3 Integrtion von h z (z nch z und Einsetzen von h(z in f us (3: 3. Wir betrchten uf D = R 2 \{(,} (dmit ist D nicht einfch zusmmenhängend ds Vektorfeld ( ( y u F(x,y = x 2 +y 2 =. x v Die Integrbilitätsbedingung ist erfüllt, denn v x = y2 x 2 (x 2 +y 2 2 = u y. Für x finden wir ( y f(x,y = rctn x mit f = F. Diese Funktion f lässt sich jedoch nicht stetig uf gnz R 2 \{(,} fortsetzen. Ds Vektorfeld F ht uf gnz R 2 \{(,} keine Potentilfunktion und ist deshlb nicht konservtiv uf D. Wir werden im nächsten Abschnitt über Wegintegrle noch uf eine ndere Weise sehen, dss ds obige Vektorfeld uf D kein Grdientenfeld ist.

6 33.6 Wegintegrle Ds Wegintegrl ist eine Verllgemeinerung des bestimmten Integrls f(xdx, wobei nun nicht über ein Intervll I = [,b] uf der x-achse sondern über einen Weg in der Ebene oder im Rum integriert wird. Definition Ein Weg in R n ist eine Abbildung x : I R n t x(t = x (t. x n (t eines Intervlls I = [,b] R in den R n, wobei die Funktionen x i : I R stetig sind. Der Weg heisst (stetig differenzierbr, wenn die Funktionen x i (stetig differenzierbr sind (stetig differenzierbr bedeutet, dss die Ableitungen x i (t wieder stetig sind. Ds Bild = x(i nennt mn eine Kurve in R n und x eine Prmetrisierung von. Eine Prmetrisierung einer Kurve ist nicht eindeutig. Von ihr hängt b, mit welcher Geschwindigkeit die Kurve durchlufen wird. Ist x differenzierbr, dnn nennt mn den Vektor der Ableitungen x(t = x (t. x n (t den Geschwindigkeitsvektor von x n der Stelle t. Gilt x(t dnn ist x(t tngentil n die Kurve im Punkt x(t. Beispiele. Sei x(t = ( cos(t für t I = [,2π]. sin(t Für x(t wie oben und I = [ π,π] erhlten wir ebenflls den Einheitskreis, der Weg beginnt und endet nun ber im Punkt (,.

7 34 Eine ndere Prmetrisierung des Einheitskreises wäre zum Beispiel x(t = t I = [, 2π]. Dmit wird der Einheitskreis schneller durchlufen. ( cos(t 2 sin(t 2 für Nun ist x(t = ( schon für t = π 2 und der Geschwindigkeitsvektor ist t 2. Sei x(t = t 2 für t I = [,]. Für t = ist x( =. t 3 Die Kurve = x(i geht lso durch den Ursprung und ht dort die x-achse ls Tngente. Beim Integrieren über eine Kurve müssen wir zwei Bedingungen n die Kurve stellen. Definition Eine Kurve heisst einfch, wenn sie sich nicht überkreuzt und nicht berührt, usser eventuell m Anfngs- und Endpunkt. Eine einfche Kurve heisst geschlossen, wenn Anfngs- und Endpunkt einer Prmetrisierung übereinstimmen. Eine Kurve heisst regulär, flls es eine Prmetrisierung x(t der Kurve gibt, die stetig differenzierbr ist mit x(t für lle t. Definition Sei in R n eine einfche, reguläre Kurve prmetrisiert durch x : [,b] und sei f : R eine stetige Funktion. Dnn ist ds Wegintegrl von f über definiert durch f ds = f( x(t x(t dt.

8 35 Hier bezeichnet s = s(t = t x(u du die Bogenlänge von zwischen den Punkten x( und x(t. Dmit ist ds = x(t dt = Länge der Kurve. Ds Wegintegrl ist unbhängig von der Whl der Prmetrisierung der Kurve. Ähnlich wie ds bestimmte Integrl interpretiert werden, flls f(x,y für lle (x,y. Beispiele f(xdx knn f ds ls Flächeninhlt zwischen f(x,y und. Wir berechnen die Länge des Einheitskreises in R 2. Wir hben schon gesehen, dss prmetrisiert werden knn durch ( ( cos(t sin(t x(t = mit x(t = für t [,2π]. sin(t cos(t Dmit folgt Mit der Prmetrisierung ( cos(2t+π x(t = sin(2t+π und ( 2sin(2t+π x(t = 2cos(2t+π für t [,π] folgt 2. Wir berechnen f ds für f(x,y = x 2 +4y 2 und Prmetrisierung von : = { (x,y R 2 2y = x 2,x [,] }

9 36 Dmit folgt 3. Gegeben sei ein Drht der Form. Die Mssendichte sei gegeben durch die Funktion f(x,y. Dnn ist f ds die Gesmtmsse des Drhtes. 4. Sei f(x,y = x 2 +y2. Diese Funktion knn ls die Intensität einer Strhlungmit Strhlenquelle im Ursprung interpretiert werden. Die Strhlung nimmt mit dem Qudrt der Entfernung von der Strhlenquelle b. Wir wollen die Strhlenbelstung uf zwei verschiedenen Wegen von A = (, nch B = (, berechnen, wobei die Durchlufgeschwindigkeit konstnt und gleich ist. : Strecke von A nch B. Es gilt x = ( t mit x(t = ( für t [,]. Es folgt x(t = für lle t und wir erhlten f ds = t 2 + dt = rctn( rctn( = π 2. 2 : Oberer Hlbkreis von A nch B. Es gilt x = ( cos(t sin(t+ mit ( sin(t x(t = cos(t für t [,π].

10 37 Es folgt x(t = für lle t und wir erhlten 2 f ds = π cos 2 (t+(sin(t+ 2 dt = D cos(t+ = 2cos 2 ( t 2, finden wir 2 f ds = 2 π 2 π 2 sin(t+ dt = ( π cos 2 ( t 2 dt = tn =. 4 π 2 cos(t+ dt. Auf dem zweiten Weg ist die Strhlenbelstung lso kleiner ls uf dem ersten Weg, obwohl der zweite Weg länger ist ls der erste Weg. Allgemein knn mn zeigen, dss die Strhlenbelstung miniml ist uf dem die Strhlenquelle nicht enthltenden Bogen AB des Kreises durch A, B und die Strhlenquelle. Wir können uch über ein Vektorfeld entlng einer Kurve integrieren. Definition Sei in R n eine einfche, reguläre Kurve prmetrisiert durch x : [,b] und sei F : R n ein stetiges Vektorfeld. Dnn ist ds Wegintegrl von F über definiert durch F d s = F( x(t x(tdt. Der Punkt im Integrnden uf der rechten Seite bedeutet dbei ds Sklrprodukt. Er sollte deshlb uch uf der linken Seite in der Bezeichnung geschrieben werden. Auch dieses Wegintegrl ist unbhängig von der Whl der Prmetrisierung von. Ds vektorielle Wegintegrl knn wie folgt interpretiert werden, bzw. ht die folgende physiklische Bedeutung. Sei F( x(t die Krft, die uf ein Teilchen n der Stelle x(t wirkt (zum Beispiel in einem Grvittionsfeld oder elektrischen Krftfeld. Durch ds Sklrprodukt F( x(t x(t wird die Tngentilkomponente dieser Krft längs des Weges x berechnet. Ds Wegintegrl F d s liefert dmit die Arbeit, die ufgewendet wird, um ds Teilchen längs zu bewegen. Beispiele xy t. SeiF(x,y,z = x z unddiekurve prmetrisiertdurch x(t = t 3, fürt [,2]. xz 3

11 38 2. Sei F(x,y = ( 3x und der Einheitskreis. In diesem Beispiel ist ds Wegintegrl über jede geschlossene Kurve gleich Null. Dies hängt mit dem folgenden Stz zusmmen. Stz. Sei F ein konservtives Vektorfeld uf D R n mit zugehöriger Potentilfunktion f und sei D eine einfche, reguläre Kurve prmetrisiert durch x : [,b]. Dnn gilt F d s = f( x(b f( x(. Insbesondere hängt ds Wegintegrl nicht vom gewählten Weg b, sondern nur vom Anfngsund Endpunkt. Es gilt lso F d s = flls die Kurve geschlossen ist. Wir beweisen den Stz in R 2. Wegen F = f gilt Beispiele F d s = = ( fx ( x(t f y ( x(t ( x (t y dt = (t d dt f( x(tdt = f( x(t b ( f x ( x(tx (t+f y ( x(ty (t dt = f( x(b f( x(.. Wir betrchten nochmls ds 2. Beispiel oben mit F(x,y = konservtiv, denn zum Beispiel ist ( 3x. Dieses Vektorfeld ist eine Potentilfunktion von F. Nch Stz. ist lso ds Wegintegrl über jede geschlossene Kurve gleich Null.

12 39 ( y 2. Sei F(x,y = wie uf Seite 32. Sei der Einheitskreis. Dnn gilt x 2 +y 2 x Mit Stz. können wir lso folgern, dss F nicht konservtiv uf D = R 2 \{(,} ist. Verschiebt mn die Kurve jedoch so, dss sie den Urpsrung nicht mehr umläuft, ds heisst, betrchten wir zum Beispiel den Kreis prmetrisiert durch ( 3+cos(t x = für t [,2π], 3+sin(t dnn liegt der Kreis und die vom Kreis umschlossene Fläche in der einfch zusmmenhängenden Menge D = { (x,y R 2 x >,y > }. Auf D ist F konservtiv und dmit gilt F d s =.

13 4 Integrtion in mehreren Vriblen Ds bestimmte Integrl f(x dx liefert den Flächeninhlt, der zwischen dem Intervll [, b] und dem Grphen von f eingeschlossen ist. Dies lässt sich verllgemeinern. Bei einem Bereichsintegrl f(x,ydxdy D wird ds Volumen bestimmt, ds zwischen dem Bereich D R 2 und dem Grphen von f eingeschlossen ist.. Bereichsintegrle Wir betrchten zunächst Rechtecke ls Bereiche D in R 2, ds heisst D = [,b] [c,d] = { (x,y x b,c y d } R 2. Sei f : D R eine stetige Funktion. Der Grph von f schliesst mit dem Rechteck D ein Volumen ein, ds wir nun berechnen werden. Betrchten wir eine feste Zhl y [c,d], so ist ds Integrl F(y = x= f(x,y dx die Fläche des Querschnitts { (x,y,f(x,y x [,b] } des eingeschlossenen Volumens V. Durch Integrtion von F(y über ds Intervll [c, d] erhlten wir ds eingeschlossene Volumen V = d y=c F(ydy = d y=c x= f(x,ydx dy. Dbei spielt es keine Rolle, ob mn zuerst nch x und dnn nch y oder umgekehrt integriert, solnge f stetig uf D ist. Anlog knn mn ds Bereichsintegrl für Quder [,b] [c,d] [k,l] R 3 fürfunktionen f(x,y,z in drei Vriblen erklären. Beispiele. Sei D = [,b] [c,d] und f : D R mit f(x,y =. Allgemein erhält mn durch Integrtion von f = über den Bereich D den Flächeninhlt von D. Mn ermittelt nämlich ds Volumen V mit der Höhe über dem Bereich D, ws mit dem

14 4 Flächeninhlt von D übereinstimmt, d die Formel Volumen = Grundfläche Höhe gilt. Dies wird demnächst von Nutzen sein, wenn wir über kompliziertere Bereiche integrieren. 2. Sei D = [,] [,2] [2,3] und f : D R mit f(x,y,z = x+y +z. Mnchml kürzt mn die Schreibweise der Integrle b und schreibt f = f df = f dxdy bzw. f = f dv = D D D D D D f dxdydz für einen Bereich D in R 2, bzw. R 3. Integrtion über Normlbereiche Allgemeiner ls Rechtecke in R 2 sind Bereiche des R 2 der Form D = { (x,y x b,u(x y o(x } bzw. D = { (x,y c y d,u(y x o(y }, wobei u und o reelle Funktionen sind (u steht für untere Grenze und o für obere Grenze. Mn nennt einen solchen Bereich D einen Normlbereich.