Mathematik III. Vorlesung 81. Eigenschaften des Dachprodukts. Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

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1 Prof. Dr. H. Breer Osabrück S 2010/2011 Mathematik III Vorlesug 81 Eigeschafte des Dachprodukts Die folgede Aussage beschreibt die uiverselle Eigeschaft des Dachproduktes. Satz Es sei K ei Körper, V ei K-Vektorraum ud N. Es sei ψ :V eie alterierede multilieare Abbildug i eie weitere K-Vektorraum. Da gibt es eie eideutig bestimmte lieare Abbildug ψ : V derart, dass das Diagramm kommutiert. V V ց Beweis. ir verwede die Notatio aus Kostruktio Durch die Zuordug e (v1,...,v ) ψ(v 1,...,v ) wird ach Satz 12.3 eie K-lieare Abbildug ψ :H defiiert. Da ψ multiliear ud alteriered ist, wird uter ψ der Utervektorraum U H auf 0 abgebildet. Nach Satz RKR.4 gibt es daher eie K-lieare Abbildug ψ :H/U, die mit ψ verträglich ist. Die Eideutigkeit ergibt sich daraus, dass die v 1...v ei Erzeugedesystem vo V bilde ud diese auf ψ(v 1,...,v ) abgebildet werde müsse. Korollar Es sei K ei Körper, V ei K-Vektorraum ud N. Da gibt es eie atürliche Isomorphie ( V) Alt (V,K), ψ ((v 1,...,v ) ψ(v 1...v )). 1

2 2 Beweis. Die Bijektivität der Abbildug folgt aus Satz 81.1, agewedet auf = K. Die Liearität folgt aus de lieare Strukture des Dualraumes ud des Raumes der alterierede Forme. Satz Es sei K ei Körper ud V ei edlichdimesioaler K-Vektorraum der Dimesio m. Es sei v 1,...,v m eie Basis vo V ud es sei N.Da bilde die Dachprodukte eie Basis vo V. v i1...v i mit 1 i 1 <... < i m Beweis. ir zeige zuerst, dass ei Erzeugedesystem vorliegt. Da die Elemete der Form w 1...w ach Lemma 80.6 (1) ei Erzeugedesystem vo V bilde, geügt es zu zeige, dass ma diese durch die agegebee Elemete darstelle ka. Für jedes w j gibt es eie Darstellug w j = m i=1 a ijv i, daher ka ma ach Lemma 80.6 (4) die w 1... w darstelle als Liearkombiatioe vo Dachprodukte der Basiselemete, wobei allerdigs jede Reihefolge vorkomme ka. Sei also v k1... v k gegebe mit k j {1,...,m}. Durch Vertausche vo beachbarte Vektore ka ma ach Lemma 80.6 (3) (uter Ikaufahme eies adere Vorzeiches) erreiche, dass die Idizes(icht otwedigerweise streg) aufsteiged geordet sid. e sich ei Idex wiederholt, so ist ach Lemma 80.6 (2) das Dachprodukt 0. Also wiederholt sich kei Idex ud diese Dachprodukte sid i der gewüschte Form. Zum Nachweis der lieare Uabhägigkeit zeige wir, dass es zu jeder - elemetige Teilmege I = {i 1,...,i } {1,...,m} (mit i 1 <... < i ) eie K-lieare Abbildug V K gibt, die v i1... v i icht auf 0 abbildet, aber alle adere i Frage stehede Dachprodukte auf 0 abbildet. Dazu geügt es ach Satz 81.1, eie alterierede multilieare Abbildug :V K azugebe mit (v i1,...,v i ) 0, aber mit (v j1,...,v j ) = 0 für jedes adere aufsteigede Idextupel. Es sei U der vo de v i, i i k, erzeugte Utervektorraum vo V ud = V/U der Restklasseraum. Da bilde die Bilder der v ik, k = 1,...,, eie Basis vo, ud die Bilder vo alle adere -Teilmege der gegebee Basis bilde dort keie Basis, da midestes ei Elemet davo auf 0 geht. ir betrachte u die zusammegesetze Abbildug : V = (K ) det K. Diese Abbildug ist ach Satz multiliear ud ach Satz alteriered. Nach Satz ist (z 1,...,z ) = 0 geau da, we die Bilder vo z i i keie Basis bilde.

3 3 Bei V = K m mit der Stadardbasis e 1,...,e m et ma die e i1...e i mit i 1 <... < i die Stadardbasis vo K m. Korollar Es sei K ei Körper ud V ei edlichdimesioaler K- Vektorraum der Dimesio m. Da besitzt das -te äußere Produkt V die Dimesio ( ) m. Beweis. Dies folgt direkt aus Satz 81.3 ud Lemma 6.5. Isbesodere ist die äußere Potez für = 0 eidimesioal (es ist 0 V = K) ud für = 1 m-dimesioal (es ist 1 V = V). Für = m ist m V eidimesioal, ud die Determiate iduziert (ach eier Idetifizierug vo V mit K m ) eie Isomorphismus m V K, (v1,...,v m ) det(v 1,...,v m ). Für > m sid die äußere Produkte der Nullraum ud besitze die Dimesio 0. ir erweiter die obe gezeigte atürliche Isomorphie ( V) = Alt (V,K) zu eier atürliche Isomorphie V = ( V) = Alt (V,K). Satz Es sei K ei Körper ud V ei -dimesioaler Vektorraum. Es sei k N. Da gibt es eie atürliche Isomorphie k k ψ : V ( V) mit (mit f i V ud v j V). (ψ(f 1...f k ))(v 1...v k ) = det(f i (v j )) ij Beweis. ir betrachte die Abbildug (mit k Faktore) mit V V Abb(V V,K) (f 1,...,f k ) ((v 1,...,v k ) det((f i (v j )) ij ). Für fixierte f 1,...,f k ist die Abbildug rechts multiliear ud alteriered, wie eie direkte Überprüfug uter Verwedug der Determiateregel zeigt. Daher etspricht diese ach Korollar 81.2 eiem Elemet i ( k V). Isgesamt liegt also eie Abbildug k V V ( V)

4 4 vor. Eie direkte Prüfug zeigt, dass die Gesamtzuordug ebefalls multiliear ud alteriered ist. Aufgrud der uiverselle Eigeschaft gibt es daher eie lieare Abbildug k k ψ : V ( V). Diese müsse wir als Isomorphismus achweise. Sei dazu v 1,...,v eie Basis vo V mit der zugehörige Dualbasis v 1,...,v. Nach Satz 81.3 bilde die v i 1...v i k,1 i 1 <... < i k, eie Basis vo k V. Ebeso bilde die v i1...v ik,1 i 1 <... < i k, eie Basis vo k V mit zugehöriger Dualbasis (v i1...v ik ). ir zeige, dass v i 1...v i k uter ψ auf (v i1...v ik ) abgebildet wird. Für 1 j 1 <... < j k ist (ψ(v i 1...v i k ))(v j1...v jk ) = det((v i r (v js )) rs ). Bei {i 1,...,i k } {j 1,...,j k } gibt es ei i r, das vo alle j s verschiede ist. Daher ist die r-te Zeile der Matrix 0 ud somit ist die Determiate 0. e dagege die Idexmege übereistimme, so ergibt sich die Eiheitsmatrix mit der Determiate 1. Diese irkugsweise stimmt mit der vo (v i1... v ik ) überei. Dachprodukte bei lieare Abbilduge Korollar Es sei K ei Körper ud es seie V ud zwei K- Vektorräume. Es sei ϕ :V eie K-lieare Abbildug. Da gibt es zu jede N eie K-lieare Abbildug ϕ : V mit v 1...v ϕ(v 1 )...ϕ(v ). Beweis. Die Abbildug V ϕ ϕ δ ist multiliear ud alteriered. Daher gibt es ach Satz 81.1 eie eideutig bestimmte alterierede multilieare Abbildug V mit v 1...v ϕ(v 1 )...ϕ(v ).

5 Propositio Es sei K ei Körper ud es seie V ud zwei K- Vektorräume. Es sei ϕ :V eie K-lieare Abbildug. Zu N sei ϕ : V 5 die zugehörige K-lieare Abbildug. Da gelte folgede Eigeschafte. (1) e ϕ surjektiv ist, da ist auch ϕ surjektiv. (2) e ϕ ijektiv ist, da ist auch ϕ ijektiv. (3) e U ei weiterer K-Vektorraum ud ψ :U V eie weitere K-lieare Abbildug ist, so gilt (ϕ ψ) = ( ϕ) ( ψ). Beweis. (1).Seiew 1,...,w gegebeudseiev 1,...,v V Urbilder davo, also ϕ(v i ) = w i. Da ist ( ϕ)(v1...v ) = w 1...w. Nach Lemma 80.6 (1) ergibt sich die Surjektivität. (2). ir köe aehme, dass V edlichdimesioal ist. Die Aussage folgt da aufgrud der explizite Beschreibug der Base i Satz (3). Es geügt, die Gleichheit für das Erzeugedesystem u 1...u mit u i U zu zeige, wofür es klar ist. Lemma Es sei V ei K-Vektorraum ud,m N. Da gibt es eie eideutig bestimmte multilieare Abbildug +m ( V) (m V) V mit (v 1...v,w 1...w m ) v 1...v w 1...w m. Beweis. Da die Dachprodukte v 1...v bzw. w 1...w m jeweils Erzeugedesysteme sid, ka es maximal eie multilieare Abbildug gebe, die für die Dachprodukte eifach die Verkettug ist. Für beliebige Liearkombiatioe α = i I a iv i1...v i ud β = j J b jw j1...w jm muss da (wege der geforderte Multiliearität) αβ = ( a i v i1...v i )( b j w j1...w jm ) i I j J = a i b j v i1...v i w j1...w jm (i,j) I J

6 6 gelte. ir müsse zeige, dass dadurch eie wohldefiierte Abbildug gegebe ist, d.h. dass die Summe rechts icht vo de für α bzw. β gewählte Darstelluge abhägt. Sei also α = i I c iv i1... v i eie zweite Darstellug, wobei wir die Idexmege als gleich aehme dürfe, da wir fehlede Summade mit dem Koeffiziete 0 versehe köe. Die Differez i I (a i c i )v i1...v i ist da eie (im Allgemeie icht triviale) Darstellug der 0, d.h. es ist eie Liearkombiatio aus de i Kostruktio 80.4 beschriebee Stadardrelatioe für das Dachprodukt. e ma zu eier solche Stadardrelatio der Läge ei beliebiges Dachprodukt w 1...w m drahägt, so erhält ma eie Stadardrelatio der Läge +m. Dies bedeutet, dass aus eier Darstellug der 0 bei der Verküpfug mit eiem beliebige β eie Darstellug der 0 etsteht. Daher ist das Dachprodukt αβ uabhägig vo der gewählte Darstellug für α. Da ma die Rolle vo α ud β vertausche ka, ist die Darstellug auch uabhägig vo der gewählte Darstellug für β. Die Multiliearität folgt umittelbar aus der explizite Beschreibug.