Kinematik des Viergelenk-Koppelgetriebes

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1 HTL-LiTec Viergelenk - Koppelgetriebe Seite 1 von 7 Dipl.-Ing. Paul MOHR p.mohr@eduhi.at Kinematik des Viergelenk-Koppelgetriebes Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Kinematik; Getriebelehre; Koppelgetriebe; Geschwindigkeitssatz von Euler Kurzzusammenfassung Viergelenk-Koppelgetriebe sind häufig anzutreffende technische Lösungen wie z.b. Crosstrainer, Wippkräne, Kofferraumscharniere, Baggerschaufelaufhängung, etc. Die vorliegende Berechnung zeigt die Kinematik eines Punktes auf der "Koppel" bzgl. Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Lehrplanbezug (bzw. Gegenstand / Abteilung / Jahrgang: Mechanik / Kinematik im 3. Jg. der HTL; Vektorrechnung Mathcad-Version: Mathcad 11 Anmerkungen bzw. Sonstiges: Die vorliegenden Berechnungen verweisen auf die Funktion f_kreisschnitt und f_vektorzerlegung vom selben Autor. Der Beitrag "Vierecksmechanismus - Parameterkurven" von Mag. Ernst Geretschläger in "Mathematik & Technik mit Mathcad" behandelt einen Teil dieser Ausführungen Die Dateien "variables Koppelgetriebe" mit den Endungen ".html" und "geox" erlauben die Animation eines Koppelgetriebes im Internetbrowser.

2 HTL-LiTec Viergelenk - Koppelgetriebe Seite 2 von 7 Kinematik des Viergelenk-Koppelgetriebes Verweis:C:\mor_f_Kreisschnitt_11.mcd Verweis:C:\mor_f_Vektorzerlegung_11.mcd Angaben 0 A 0 := 0 70 B 0 := 20 r A := 30mm r B := 70mm l K := 55mm l P := 85mm ω := 0.7s 1 Berechnung der Koordinaten bzw. Ortskurven von A 1, B 1 und P Kurbelwinkel als Funktion der Zeit von Kurbel zurückgelegter Winkel ϕ ( t := ω t Koordinaten von A 1, B 1 und P als Funktion der Zeit sin( ϕ ( t A 1 ( t := r A cos( ϕ ( t B 1 ist der Schnittpunkt des Kreises um A 1 mit Radius l K mit dem Kreis um B 0 mit Radius r B. Von den beiden Lösungen wird die links der Blickrichtung A 1 nach B 0 genommen. Die Berechnung erfolgt durch Aufruf der Funktion S K aus der Datei f_kreisschnitt.mcd. ( 0 B 1 ( t := S K A 1 ( t, l K, B 0, r B

3 HTL-LiTec Viergelenk - Koppelgetriebe Seite 3 von 7 Die Koordinaten von P ergeben sich aus A 1 und dem mit l P multiplizierten Einheitsvektor von A 1 nach B 1. l K ( t := B 1 ( t A 1 ( t Vektor der Koppel P( t := A 1 ( t + l P l K ( l K ( t grafische Darstellung der Ortskurven von A 1, B 1 und P Zeit für eine Kurbelumdrehung t 2π := 2 π t 2π = s t 0 t 2π :=,.. t 2π ω P( t 1 B 1 ( t 1 A 1 ( t P( t 0, B 1 ( t 0, A 1 ( t 0

4 HTL-LiTec Viergelenk - Koppelgetriebe Seite 4 von 7 Geschwindigkeit von P als Funktion der Zeit Kurbelumfangsgeschwindigkeit (= Geschwindigkeit von A 1 Die Umfangsgeschwindigkeit hat bei gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit einen konstanten Betrag aber eine veränderliche Richtung. v u := r A ω v u = 21 mm s cos( ϕ ( t v u ( t := v u sin( ϕ ( t Absolutgeschwindigkeit von B 1 und relative Umfangsgeschwindigkeit von B 1 um A 1 Die Absolutgeschwindigkeit v B setzt sich nach Euler aus der translatorischen Geschwindigkeit v u und der Rotationsgeschwindigkeit v Br zusammen, die sich aus der relativen Drehung der Koppel um A 1 ergibt. Aus dem bekannten v u ergeben sich die unbekannten Geschwindigkeiten durch Kräftezerlegung, wobei v B senkrecht auf r B und v Br senkrecht auf der Koppel steht. r B ( t := B 1 ( t B 0 v rb ( t v rbr ( t 1 r B ( t 1 := 1 r B ( t 0 1 l K ( t 1 := 1 l K ( t 0 Schwingenradius Richtungsvektor von v B Richtungsvektor von v Br ( v B12 ( t := v 12 v u ( t, v rb ( t, v rbr ( t Zerlegung von v u mittels Funktion v 12 aus der Datei f_vektorzerlegung.mcd v B ( t := v B12 ( t 0 Absolutgeschwindigkeit von B 1 v Br ( t := v B12 ( t 1 Umfangsgeschwindigkeit von B 1 durch die relative Rotation um A 1 Absolutgeschwindigkeit von P Der Punkt P bewegt sich mit der selben translatorischen Geschwindigkeit v u wie alle anderen Punkte der Kopp Die Umfangsgeschwindigkeit v Pr aus der relativen Drehung der Koppel um A1 verhält sich zu v Br wie l P zu l K. v Pr ( t := l P l K v Br ( t Umfangsgeschwindigkeit von P durch die relative Rotation um A 1 v P ( t := v u ( t + v Pr ( t Absolutgeschwindigkeit von B 1 v P ( t := v P ( t ψ P ( t atan v P( t 1 := v P ( t 0 Betrag und Richtung von v P

5 HTL-LiTec Viergelenk - Koppelgetriebe Seite 5 von 7 grafische Darstellung der Geschwindigkeit von P Betrag der Geschwindigkeit als Funktion des Kurbel-Drehwinkels ϕ s v P ( t mm konkrete Werte ϕ( t Grad Kurbelwinkel ϕ K := 30Grad zugehörige Zeit ϕ K t := t 2π 2π t = s Lage von P absolut und relativ zur Ausgangslage P( t = P( t P( 0s = Geschw. von P v P ( t = mm s v P ( t = mm s ψ P ( t = Grad Beschleunigung von P a P ( t d := t v P( t d mm a P ( t = s 2

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