Ältere Aufgaben (bis 1998)

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1 Ältere Aufgaben (bis 1998) Es waren in den 4 Stunden jeweils nur 2 Aufgaben zu bearbeiten, die einzelnen Aufgaben waren umfangreicher. September 1998, Aufgabe 1 Sei p eine ungerade Primzahl. a) Beweise: Es gibt eine natürliche Zahl a mit ( a p) = 1. Im folgenden sei q die kleinste natürliche Zahl mit ( q p) = 1 b) Berechne q für p = 37, 47 und 71. Beweise die folgenden Eigenschaften von q: c) q ist eine Primzahl. d) Ist k eine natürliche Zahl mit (k 1)q < p < kq, so ist ( kq p ) = 1. e) Für k = 1,...,q 1 gilt: ( kq p ) = 1. Folgere: q < p + 1. März 1998, Aufgabe 3 a) Seien a, b teilerfremde ganze Zahlen, d.h. aus d a, d b folgt d = ±1. Zeigen Sie, daß es ganze Zahlen c, d gibt, so daß ad bc = 1. (Machen Sie deutlich, welche Voraussetzungen Sie über die ganzen Zahlen machen.) b) Seien a, b teilerfremde ganze Zahlen. Zeigen Sie, daß es ganze Zahlen p, q, r, s gibt, so daß gilt: ( ( ) ( p q a 1 = r s) b 0) und ps qr = 1. c) Seien a 1, a 2, a 3 teilerfremde ganze Zahlen, d.h. aus d a 1, d a 2 und d a 3 folgt d = ±1. Zeigen Sie, daß es ganze Zahlen p, q, r, s gibt, so daß gilt: p q 0 r s a 1 a 2 a 3 und ps qr = 1 mit a 1, a 2 teilerfremd. 1 = a 1 a 2 0

2 d) Seien a 1, a 2, a 3 wie in c). Zeigen Sie, daß es eine Matrix M gibt, so daß gilt: a 1 1 M a 2 = 0 a 3 0 und det(m) = 1. September 1997, Nachschreibeklausur, ZT Sei f(x) Z[X] ein ganzzahliges Polynom, m eine natürliche Zahl und m = m 1 m 2 mit ggt(m 1, m 2 ) = 1. a) Beweise: Ist a b mod m, so ist f(a) f(b) mod m. b) Beweise: f(x) 0 mod m ist genau dann lösbar, wenn f(x) 0 mod m i lösbar ist für i = 1, 2. c) Sei N(m) die Anzahl der Lösungen mod m von f(x) 0 mod m. Beweise: N(m) = N(m 1 )N(m 2 ). d) Berechne alle Lösungen der Kongruenz X mod 60. September 1997, Aufgabe 1 a) Seien a, g und n natürliche Zahlen und sei g 2. Beweise: a/g n läßt sich auf genau eine Weise darstellen als a g = z + a 1 n g a n 1 g n mit ganzen Zahlen z, a i und 0 a i < g für i = 1,..., n. b) Seien a und m natürliche Zahlen und sei m = m 1 m 2 mit teilerfremden m 1, m 2. Beweise: a/m läßt sich auf genau eine Weise darstellen als a m = z + a 1 + a 2 m 1 m 2 mit ganzen Zahlen z, a i und 0 a i < m i für i = 1, 2. c) Seien a und m natürliche Zahlen. Beweise: a/m läßt sich auf genau eine Weise darstellen als a m = z + a pi (1) p i p m i>0 mit ganzen Zahlen z, a pi und 0 a pi < p für alle Primteiler p von m und alle i. 2

3 d) Bestimme für Frühjahr 1997, Aufgabe 1 die Darstellung (1). Sei D eine ungerade ganze Zahl > 1, die kein Quadrat ist. Sei V = {a N 0 < a < D, ggt(a, D) = 1} ein Vertretersystem der primen Restklassen mod D. Sei ( ) a D das Jacobi-Symbol, V+ = {a V ( a D) = 1}, V = {a V ( a D) = 1}. a) Für D = 21 bestimme V +. Welche dieser Elemente sind quadratische Reste mod 21? b) Sei D 1 mod 4 und p eine ungerade Primzahl. Man beweise: D ist quadratischer Rest mod p genau dann, wenn p a mod D für ein a V + ist. Bestimme alle Primzahlen p, für die 21 quadratischer Rest mod p ist. c) Man beweise: Es gibt ein b V mit ( b D) = 1. Man folgere (i) ) a V = 0, ( a D (ii) V + und V haben gleichviel Elemente. Herbst 1996, Aufgabe 2 1. Sei p > 2 eine Primzahl; seien a, b ganze Zahlen, a, b 0 (mod p). Seien x 0, y 0 ganze Zahlen, so daß ax by2 0 1 (mod p). Zeigen Sie, daß jedes andere Paar (x, y) mit ax 2 + by 2 1 (mod p) (2) als x ux 0 + vby 0 (mod p) y uy 0 vax 0 (mod p) dargestellt werden kann, wobei u 2 + abv 2 1 (mod p). 3

4 2. Zeigen Sie, daß {ax 2 (mod p): 0 x < p} und {1 by 2 (mod p)} beide p+1 2 Elemente besitzen. Schließen Sie daraus, daß ax 2 + by 2 1 (mod p) wenigstens eine Lösung besitzt. 3. Zeigen Sie, daß die Anzahl der Lösungen (mod p) von (2) nur von ( ) ab p abhängt. 4. Zeigen Sie, daß für a = 1, b = 1 es p 1 Lösungen gibt. Schließen Sie, daß, falls ( ) ab p = 1, es p + 1 Lösungen gibt. Kommentar vom Hiwi: In 2. fehlt in der zweiten Menge die entsprechende Einschränkung 0 y < p an y. April 1996, Aufgabe 2 a) Ist a eine rationale Zahl und m = m m 1m 2...m n eine Zerlegung von m in paarweise teilerfremde Faktoren, dann lässt sich a auf genau eine m Weise in der Form a m = z + a 1 + a a n m 1 m 2 m n mit Zahlen z, a 1, a 2,...,a n Z und 0 a i < m i (i = 1, 2,..., n) darstellen. (Diese Darstellung heißt auch Partialbruchzerlegung von a m.) für die Zerle- b) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von a = 151 m 60 gungen m = 60 = 5 12 bzw. m = 60 = März 1996, Aufgabe 1 a) Warum ist eine Zahl n 1 mod 4 nicht als Summe zweier Quadrate darstellbar? b) Warum ist eine Zahl n 1 mod 8 nicht als Summe von 3 Quadraten darstellbar? c) n besitze eine Darstellung der Form n = a 2 + b 2 mit ggt(a, b) = 1. Dann besitzt n keinen Primteiler p 3 mod 4. d) Stelle die Zahlen 99, 159 und 202 als Summe von möglichst wenigen Quadraten dar. Begründen Sie, warum Sie mindestens so viele Quadrate benötigen. 4

5 Herbst 1995, Aufgabe 1 a) Sei P m die prime Restklassengruppe mod m. Man beweise: Ist m = m 1... m r eine Zerlegung von m in paarweise teilerfremde m i, so gilt P m = Pm1... P mr. b) Man bestimme die kleinste natürliche Zahl n mit der Eigenschaft a n 1 mod für alle a N, die zu prim sind. Frühjahr 1995, Aufgabe 2 a) Man berechne die Jacobi-Symbole ( ) ( und 58 b) Sind die Kongruenzen lösbar? 105 x 2 46 bzw. 58 (mod 105) c) Besitzt die Primzahl p eine Darstellung p = 2x 2 + 3y 2 mit x, y N, so liegt p in einer der Restklassen 5 oder 11 (mod 24). September 1994, Aufgabe 3 Seien a, b, a > b > 0, natürliche Zahlen. Wir bilden eine Folge a 0, a 1, a 2,... durch die rekursive Vorschrift a 0 = a, a 1 = b a j 2 = a j 1 q j 1 + a j, q j 1 N, 0 a j < a j 1. (3) Zeigen Sie, daß es ein j 0 gibt, so daß a j0 = 0 ist. Bei diesem j 0 bricht die Folge ab. Zeigen Sie, daß gilt: Zeigen Sie auch, daß gilt und folgern Sie daraus: a j0 1 = ggt(a, b). a j 2 2a j j 0 2(ln a)/(ln 2). Kommentar vom Hiwi: Formel (3) beginnt im Original mit a j : a j 2 =..., dies ist kein Bruch, sondern soll nur erkläre a j durch a j 2 =... heißen. 5 )

6 April 1994, Nachschreibeklausur, Aufgabe 2 A) Berichten Sie über die Lösbarkeit linearer diophantischer Gleichungen a 1 x a n x n = c, a i, c Z. B) Entscheiden Sie, welche der folgenden Gleichungen in Z lösbar sind und bestimmen Sie gegebenenfalls sämtliche Lösungen: a) 2x + 6y = 14, b) 25x + 37y = 20, c) 5x + 25y + 37z = 10. März 1994, Aufgabe 3 Man bestimme alle Lösungen x N von a) x 1 (mod 3), x 2 (mod 4), x 3 (mod 5), b) x 3 x (mod 5 3 ), c) x x 3 (mod 10). September 1993, Aufgabe 3 Zu der natürlichen Zahl m existiere eine Primitivwurzel g mod m. a) Für welche n N ist g n wieder Primitivwurzel mod m? b) Wieviel inkongruente Primitivwurzeln mod m gibt es? c) Man zeige, daß das Produkt aller Primitivwurzeln aus einem Restsystem mod m kongruent 1 mod m ist, falls m 3, 4. Kommentar vom Hiwi: Ergänze in c) noch m 6. März 1993, Aufgabe 2 Sei d(n) die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl n. a) Zeigen Sie, daß d(n) multiplikativ ist. Für n von der Form p e (p eine Primzahl) bestimmen Sie d(p e ). 6

7 b) Zeigen Sie, daß m xd(m) die Anzahl von Paaren (r, s) N N darstellt, so daß gilt rs x. Folgern Sie, daß gilt: d(m) = m x x j=1 [ ] x, j wobei [u] die ganze Zahl bezeichnet, so daß 0 u [u] < 1. c) Zeigen Sie, daß gilt: x x j=1 und folgern Sie, daß gilt: für x. September 1992, Aufgabe 3 1 j x d(m) x m x 1 d(m) 1 x ln x m x Seien a, b natürliche Zahlen, a > b. Seien a 0 = a, a 1 = b; definiere a 2,...,a N durch x j=1 1 j a 0 = a 1 q 1 + a 2 0 < a 2 < a 1 a 1 = a 2 q 2 + a 3 0 < a 3 < a 2. a N 2 = a N 1 q N 1 + a N a N 1 = a N q N, 0 < a N < a N 1 wobei q 1,...,q N natürliche Zahlen sind. Sei (U n ) die Fibonacci-Folge, die durch die Rekursion U 0 = 1, U 1 = 1, U n+2 = U n+1 + U n (n 0) definiert ist. Beweisen Sie: i) a N teilt a und b, ii) jeder gemeinsame Teiler von a und b teilt a N, iii) a j U N+1 j (j = 0, 1,...,N). 7

8 März 1992, Aufgabe 2 a) Man formuliere und beweise den Kleinen Fermatschen Satz. b) Sei p eine von 2 und 5 verschiedene Primzahl. Man zeige, daß unendlich viele Zahlen 9, 99, 999,... von p geteilt werden, ebenso unendlich viele der Zahlen 11, 111, 1111,... c) Welches sind die letzten beiden Ziffern von im Zehnersystem? März 1991, Aufgabe 2 Sei f(x) = x n +a n 1 x n a 0 mit a i Z und sei p k eine Primzahlpotenz, k 1. a) Man beweise: Ist w Z eine Lösung von f(x) 0 mod p k und f (w) 0 mod p, so ist v w f(w) f (w) mod p k+1 eine Lösung von f(x) 0 mod p k+1. b) Man bestimme alle Lösungen von x 3 + x mod 3 6. September 1989, Aufgabe 2 a) Man beweise den Satz von Euklid: Zu je endlich vielen Primzahlen p 1,...,p r gibt es eine Primzahl p r+1, die von diesen verschieden ist. b) Man beweise den 1. Ergänzungssatz und benutzte ihn, um zu zeigen, daß der Satz von Euklid auch für Primzahlen p i 1 mod 4 (1 i r + 1) gilt. (Hinweis: Betrachte (2p 1 p r ) ) c) Man formuliere den 2. Ergänzungssatz und zeige mit seiner Hilfe, daß der Satz von Euklid auch für Primzahlen p i 1 mod 8 (1 i r+1) gilt. (Hinweis: Betrachte (4p 1 p r ) 2 2.) Kommentar vom Hiwi: Im Original fehlt in b) und c) jeweils die Angabe, wozu die p i kongruent sein sollen; der Tipp führt zu den obigen Zahlen. Mit den Ergänzungssätzen sind diejenigen zum Quadratischen Reziprozitätsgesetz gemeint. 8

9 März 1989, Aufgabe 2 Beschreiben Sie den euklidischen Algorithmus und seinen Gebrauch und erklären Sie, wie dieser zum Fundamentalsatz der Arithmetik (eindeutige Zerlegung in Primfaktoren) führt. September 1988, Aufgabe 2 a) Sei f(x) = x 2 + bx + c mit b, c Z und d = b 2 4c die Diskriminante von f. Man zeige: Für jede ungerade Primzahl p hat die Kongruenz f(x) 0 mod p genau ( d p) + 1 Lösungen. (Hierbei ist ( d p) das Legendre-Symbol, ( d p) = 0 falls p d.) b) Man zeige: Für jede ungerade Primzahl p hat die Kongruenz x 2 + y 2 1 mod p genau p ( 1) (p 1)/2 Lösungen. c) Man bestimme alle Lösungen der Kongruenz in b) für p = 5 und p = 7. März 1988, Zahlentheorie A) Man berichte über das Legendresche und das Jacobische Symbol als Funktion des Nenners. B) Es gelte (a 1 b 1, 5) = 1, (a 2 b 2, 22) = 1, (a 3 b 3, 14) = 1. Man gebe alle Zahlen m Z mit folgender Eigenschaft an: Aus a 1 a k b k mod m (k = 1, 2, 3) folgt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =, =, =. b 1 a 2 b 3 a 3 b 3 9

10 September 1987, Zahlentheorie A) Man berichte (mit Beweisen!) über die Zerlegung natürlicher Zahlen in Produkte von Primzahlen. B) 1. Seien n 1,...n s natürliche Zahlen und p eine Primzahl. Sei k 1 und N k die Anzahl der j, für die n j durch p k teilbar ist. Zeige, daß N k N k+1 die Anzahl der j darstellt, für die n j durch p k, aber nicht durch p k+1 teilbar ist. 2. Sie k 0 eine Zahl, so daß N k0 = 0 gilt. Sei N := N 1 + N N k0 1. Man zeige, daß die Zahl n 1 n 2 n s durch p N, aber nicht durch p N+1 teilbar ist. 3. Man zeige, daß n! = p np M(n, p), wobei M(n, p) := p k n [ ] n p k und [x] für x R die ganze Zahl darstellt, für die gilt März 1987, Zahlentheorie 0 x [x] < 1. A) Man berichte über diophantische Gleichungen (insbesondere: lineare Gleichungen, Summen von Quadraten). B) 1. Man beweise: Die diophantische Gleichung ax + by = c mit a, b, c Z, a 0 b ist genau dann lösbar, wenn (a, b) Teiler von c ist. Man gebe ein Rechenverfahren an, welches im lösbaren Fall zu einer Lösung führt. 2. Welche der folgenden diophantischen Gleichungen sind lösbar? a) x 2 + y 2 = 135 b) 4x 3 + 5y 2 3z 2 = 8 c) 3x + 6y 21z =