Spezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0

Transkript

1 Spezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0 Impulserhaltung: Quadrieren ergibt Energieerhaltung: Deshalb muss gelten m v 1 = m ( u 1 + u 2 ) m 2 v 1 2 = m 2 ( u u 1 u 2 + u 2 ) 2 m 2 v2 1 = m 2 ( u u 2 2) 2 u 1 u 2 = 0, d. h. gleich massive Partner stoßen sich elastisch in einem rechten Winkel.

2 Schwerpunktgeschwindigkeit Greifen keine äußeren Kräfte an, so bleibt der Impuls des Systems konstant. N i=1 d p i dt = 0. Verändern sich die Massen nicht, so ändert sich auch die Geschwindigkeit des Systems nicht, genauer, N d v i m i dt = 0. i=1 Damit lässt sich eine mittlere Geschwindigkeit definieren, welche unverändert

3 bleibt: v S. = 1 M N m i v i. Offensichtlich ist v S = d r S dt, d. h. die Geschwindigkeit des Schwerpunktes des Systems bleibt erhalten. Oft vereinfachen sich die auftretenden Gleichungen erheblich, wenn man in das Schwerpunktsystem transformiert, denn i=1 p S = N m i v i = M v S i=1 p S,S = N m i ( v i v i,s ) = N m i v i N m i v i,s = M v S M v S = 0. i=1 i=1 i=1

4 Die kinetische Energie transformiert sich ebenso einfach: E kin = 1 2 m 1v m 2v 2 2 = 1 2 ( m1 ( v 1,S + v S ) 2 + m 2 ( v 2,S + v S ) 2) = 1 ( m1 v1,s 2 + m 2 v 2 ) 1 2,S = 1 ( m1 v1,s 2 + m 2 v 2 ) 1 2,S E kin = E (S) kin Mv2 S ( m1 vs 2 + m 2 vs 2 ) + (m1 v 1,S + m 2 v 2,S ) v S ( m1 vs 2 + m 2 vs 2 ) + 0 v S weil ja ( m 1 v 2 S + m 2v 2 S) = 0.

5 Bewegung zweier Teilchen im Schwerpunktsystem Nach Voraussetzung wirken keine äußeren Kräfte auf das System, d. h. es wirken nur die inneren Kräfte F 12 und F 21. d v 1,S dt = F 21 m 1 ; d v 2,S dt = F 12 m 2 Subtraktion (unter Berücksichtigung von F 12 = F 21 ) liefert d( v 1,S v 2,S ) dt = ( 1 m m 2 wo ( v 1,S v 2,S ) = v 12,S die Relativgeschwindigkeit zwischen den Teilchen darstellt. ) F 21,

6 Mit der Definition der reduzierten Masse µ µ. = m 1m 2 m 1 + m 2 kann so eine besonders einfache Bewegungsgleichung gefunden werden F 21 = µ dv 12,S dt Die Bewegung der beiden Teilchen kann also auf die Bewegung eines einzelnen Teilchens der reduzierten Masse µ reduziert werden..

7 Elastische Stöße im Schwerpunktsystem Wegen p S,S = 0 muss auch gelten p 1,S = p 2,S und p 1,S = p 2,S. Einsetzen in den Energiesatz ergibt ( ) p 2 1,S = 1 2 m 1 m 2 2 Verwende reduzierte Masse µ, so p 2 1,S 2µ = p2 1,S 2µ + Q. ( ) p 2 1,S + Q. m 1 m 2

8 Für elastische Stöße ist Q = 0 (nach Definition), folglich p 2 1,S = p2 1,S und p 2 2,S = p2 2,S. Dies lässt lediglich eine Drehung der Impulse zu! v 1 v 2 v 2,S v 1,S θ v 1,S v 2 Laborsystem v 2,S v 1 Schwerpunktsystem

9 Elastische Stöße im Schwerpunktsystem II Oft wird der eine Stoßpartner vor dem Stoß in Ruhe sein, etwa wenn ein Teilchen der Masse m 1 in einem Beschleuniger auf ein Targetteilchen der Masse m 2 trifft. Dann gilt also v 2 = 0. Wir wollen diesen wichtigen Spezialfall untersuchen. Der Einfachheit halber berücksichtigen wir nur elastische Stöße und untersuchen, wie der Streuwinkel θ die Streuresultate beeinflusst. Die Schwerpunktgeschwindigkeit ist v S = u S = m 1 v 1 + m 2 0 m 1 + m 2 = v A, wo A = m 2 m 1.

10 Wir rechnen in das Schwerpunktsystem um: v 1,S = v 1 v S = A 1 + A v 1, v 2,S = v 2 v S = v A u 1,S = u 1 v S Wir lösen die letzte Gleichung nach u 1 auf und quadrieren das Resultat. u 2 1 = u 2 1,S + v1 2 (1 + A) 2 + 2u v 1 1,S 1 + A cos θ

11 Das Resultat bringen wir auf einen Nenner u 2 1 = (1 + A)2 u 2 1,S + v (1 + A) u 1,S v 1 cos θ (1 + A) 2. Wegen der Energieerhaltung im Schwerpunktsystem für elastische Stöße p 2 1,S /(2µ) = p2 1,S /(2µ) gilt auch (sofern m 1 und m 2 gleich bleiben!) u 2 1,S = v2 1,S und mit v 1,S = v 1 A/(1 + A) gilt folglich u 2 1 = v1 2 A 2 + 2A cos θ + 1 (1 + A) 2. Energieübertrag in einem elastischen Stoß: E kin E kin = E kin,1 E kin,1 E kin,1 = A2 + 2A cos θ + 1 (1 + A) 2 1.

12 1 θ = π θ = 3/4 π E kin / E kin 0,1 0,01 0,01 0, m 2 /m 1

13 Starre Körper Die Bewegung eines ausgedehnten Körpers ist komplizierter als die eines Massenpunktes. Der Einfachheit halber betrachten wir als Modell einen starren Körper, der sich nicht deformieren lässt. Starrer Körper: Die gegenseitigen Abstände der konstituierenden Massenpunkte lassen sich nicht verändern. Freiheitsgrade eines Massenpunktes: 3 (Translation) Freiheitsgrade eines starren Körpers: 6 (Translation, Rotation) Die Bewegung eines starren Körpers lässt sich beschreiben durch eine Überlagerung einer Translation mit einer Rotation.

14 Bewegungsenergie eines starren Körpers r 1 ω m i v i,s v i,s = ω r i Bewegungsenergie E kin : E kin = 1 2 i=1 m ivi 2 = 1 2 i m i ( v i,s + v S ) 2 = 1 = 1 2 i m ( ) i v 2 i,s + 2v i,s v S + v 2 i m ivi,s 2 + M S 2 = E kin,trans i v2 m S iri 2ω2 = E kin,trans + E kin,rot v S Die neu auftretende Größe i m ir 2 i heißt Trägheitsmoment J des starren Körpers bezüglich der gewählten Rotationsachse. Damit gilt E kin,rot = J/2ω 2.

15 Trägheitsmoment Wir definieren also das Trägheitsmoment um eine Rotationsachse als J. = m i r 2 i > 0, ferner [J] = ML 2 = kg m 2. Das Trägheitsmoment ist weder ein Vektor noch ein Skalar, sondern ein sog. Tensor. Für die Rotationsenergie lässt sich schreiben E kin,rot = 1 2 Jω2.

16 Trägheitsmoment eines Zylinders r R J = R 0 dmr2 dm = 2πrdrhρ h dj = dmr 2 = 2πr 3 drhρ J = dj = 2πhρ R 0 drr3 J = π 2 hρr4 Hohlzylinder: J = π 2 hρ ( R 4 a R 4 i )

17 Bergabrollen von Zylindern: Bergrennen h ω m, J, R v ω = v R E pot = mgh E tot = E kin + E rot mgh = 1 2 mv Jω2 v = ( ) = 1 2 m + J R v 2 2 2mgh m+j/r 2 Zylinder mit verschiedenen Trägheitsmomenten sind verschieden schnell!

18 Satz von Steiner r i = r S + r i,s r i r 2 i = r2 S + r2 i,s + 2 r S r i,s r S S r i,s P i mi r 2 i = m i r 2 S + m i r 2 i,s + 2 r S m i r i,s = Mr 2 S + J S + 2 r S mi r i,s aber m i r i,s = 0, nach Definition des Schwerpunktes! Satz von Steiner: J = Mr 2 S + J S

19 Maxwell-Rad R Drehmoment M = r F m r F = mg M = M = rmg a = r d2 φ = rm dt 2 J = r2 mg 1 a = g 1+ R2 2r 2 2 mr2 +mr 2

20 Drehmoment M r P i F Drehmoment M: M. = r F [ M ] = Nm Trotzdem: Drehmoment Arbeit! Das Drehmoment ist ein Vektor, Arbeit ein Skalar!

21 Drehmoment II Wir betrachten 2 Massenpunkte m 1 und m 2, auf die, neben der gegenseitigen Wechselwirkung F 21 = F 12, zusätzlich eine äußere Kraft F 1 bzw. F 2 wirken soll. Die dazugehörigen Drehmomente bzgl. des Nullpunktes 0 sind M 1 = r 1 ( F 1 + F 21 ), M 2 = r 2 ( F 2 + F 12 ) und das Gesamtdrehmoment lautet M = ( r 1 F 1 ) + ( r 2 F 2 ) + ( r 1 r 2 ) F 21. Die inneren Kräfte F 21 = F 12 wirken aber entlang von r 1 r 2 und deshalb

22 verschwindet der letzte Term. Somit: M = ( r 1 F 1 ) + ( r 2 F 2 ), das totale Drehmoment ist gleich der Vektorsumme der einzelnen Drehmomente. Insbesondere gilt: Wirken keine äußeren Kräfte auf das System, verschwindet auch das Drehmoment auf das System.

23 Drehimpuls L r i P i v i Der Impuls m i v i ändert sich laufend. Der Drehimpuls L ändert sich nicht! L. = r p L = m i r i v i L = m i r i ( ω r i ) r ω r = ( r r) ω ( r ω) r L = m i r 2 ω L = J ω

24 Drehimpuls II [J] = ML 2 /T = kg m 2 /s = J s Der Drehimpuls ist quantisiert! D. h. es gibt einen kleinsten Drehimpuls. Nach Heisenberg gilt x p h, folglich muss jede Änderung des Drehimpulses mindestens h betragen. h = 1, Js ist sehr klein, weshalb man diesen Effekt im alltäglichen Leben auch nicht bemerkt. Elementarteilchen haben aber einen Eigendrehimpuls, ihren sog. Spin, der in Einheiten von h ausgedrückt wird. F: Neutron: Spin = 1/2 h, Proton: Spin = 1/2 h, Elektron: Spin = 1/2 h, B: Photon: Spin = 1 h, W- und Z-Bosonen: Spin = 1 h, Graviton: Spin = 2 h.

25 Erhaltung des Drehimpulses Der Drehimpuls des Systems ist gegeben durch L = ( r 1 p 1 ) + ( r 2 p 2 ). Die zeitliche Änderung erhalten wir durch Ableitung nach der Zeit, d L dt d L dt = ( d r 1 dt p 1 + r 1 d p 1 dt ) + (d r 2 dt p 2 + r 2 d p 2 dt ) = r 1 d p 1 dt + r 2 d p 2 dt = ( r 1 F 1 ) + ( r 2 F 2 ) = M weil v i p i

26 Die zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulses relativ zu einem Punkt ist gleich dem Gesamtdrehmoment relativ zum selben Punkt. Insbesondere gilt: Wirken keine äußeren Kräfte auf das System, bleibt dessen Drehimpuls konstant.

27 Anwendung: Kepler I und II Kepler I: Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen. In einem Brennpunkt steht sie Sonne. r(t + dt) da r(t) d r = vdt Kepler II: Der Verbindungsstrahl Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. da = ( r v) = 2m L

28 Anwendung II: Bestimmung des Trägheitsmoments Körper A Scheibe m, R Tisch: J 0 Feder mit Richtmoment D Drehmoment M = Dφ Bewegungsgleichung J 0 φ = Dφ φ(t) = a sin( D/J 0 t), also T 0 = 2π J 0 /D J 1 = J 0 + J Scheibe = J mr2 T 1 = 2π (J mr2 )/D T 2 D T A = 2π (J 0 + J A )/D

29 Vergleich Translation Rotation Translation Länge L Masse m Geschwindigkeit v Impuls p Kraft F E kin = 1 2 mv2 Rückstellkraft F = D x Schwingungsdauer T = 2π m/d Rotation Winkel φ Träheitsmoment J Winkelgeschwindigkeit ω Drehimpuls L Drehmoment M E kin = 1 2 Jω2 Rückstelldrehmoment M = Dφ Schwingungsdauer T = 2π J/D