Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12

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1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS /3 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt Aufgabe 5 Welche der folgenden Matrizen sind positiv bzw negativ definit? A 8, B , C π π Lösung zu Aufgabe 5 Die Hauptminoren der Matrix A ergeben sich zu, 5 und 5 Also ist A positiv definit Die Hauptminoren der Matrix B ergeben sich zu 3, 8 und 6 Also ist B negativ definit Die Matrix C ist weder positiv noch negativ definit, da die Elemente auf der Hauptdiagonalen nicht alle dasselbe Vorzeichen haben Aufgabe 5 a) Gegeben sei die Funktion f sin(x) cos(y) Entscheiden Sie, ob (π/, ) ein lokales Maximum oder Minimum von f ist b) Gegeben sei die Funktion g (x + y) e x y Zeigen Sie, dass (/, /) ein lokales Maximum der Funktion g ist Finden Sie ein lokales Minimum von g Lösung zu Aufgabe 5 a) Der Gradient von f ist Also ist f ( f x f y ) f ( π, ) cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) ( ) Die Hesse-Matrix berechnet sich zu xx xy sin(x) cos(y) cos(x) sin(y) H f cos(x) sin(y) sin(x) cos(y) Also ist yx yy H f ( π, ) mit den Hauptminoren und Die Hesse-Matrix ist im Punkt (π/, ) also negativ definit und es liegt dort ein lokales Maximum vor b) Der Gradient von g ist g ( g x g y ) e x y xy x xy y Da die e-funktion keine Nullstellen hat ist der Gradient genau dann gleich Null wenn xy x, xy y

2 Der Punkt (/, /) erfüllt diese Gleichungen Die Hessematrix berechnet sich zu xx xy H g yx yy e x y 4x 3 + 4x y 6x y 4x y + 4y x x y 4x y + 4y x x y 4y 3 + 4y x 6y x Diese ausgewertet im Punkt (/, /) ergibt ( H g, ) 3 e 3 mit den Hauptminoren 3e und 8e Die Matrix ist also negativ definit und (/, /) ein lokales Maximum von g Der Punkt ( /, /) ist ebenfalls eine Nullstelle des Gradienten Die Hesse- Matrix in diesem Punkt ist ( H g ), 3 e 3 mit den Hauptminoren 3e und 8e Es liegt also ein lokales Minimum vor Aufgabe 5 Gegeben sei die Funktion f : R 3 R mit f(x, y, z) x + y + z + xz + 3z + a) Bestimmen Sie den Punkt (x, y, z ) mit f (x, y, z ) b) Entscheiden Sie ob es sich bei (x, y, z ) um ein lokales Maximum oder Minimum handelt Lösung zu Aufgabe 5 a) Wir berechnen den Gradient f (x, y, z) und setzen diesen gleich Null f (x, y, z) x f (x, y, z) f (x, y, z) y x + z 4y! (x, y, z) x + z + 3 f z Wir erhalten also ein lineares Gleichungssystem x + z 4y x + z 3 Der Gaußalgorithmus liefert 4 I III 3 4 III I Wir erhalten also die eindeutige Lösung x 3, x, x 3 x 3

3 b) Die Hesse-Matrix im Punkt (,, ) berechnet sich zu (,, ) (,, ) (,, ) xx xy xz (,, ) (,, ) (,, ) yx yy yz 4, (,, ) (,, ) (,, ) zx mit den Hauptminoren det(), zy det 4 zz 8, det 4 Also ist die Matrix positiv definit und der Punkt (,, ) ein lokales Minimum von f Aufgabe 53 a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Ordnung 3 von f(x) ln( + x) um den Entwicklungspunkt x b) Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Ordnung 3 von g(x) um den Entwicklungspunkt x x Lösung zu Aufgabe 53 a) Das Taylorpolynom p(x) hat die Form p(x) 3 k f (k) () k! Die Ableitungen f (k) () berechnen sich zu Wir erhalten also x k f () (x) ln( + x) ln( + ) f () (x) +x + f () (x) (+x) (+) f (3) (x) (+x) 3 (+) 3 p(x) x x + x3 3 als Taylorpolynom vom Grad 3 für die Funktion f(x) ln( + x) um x Tatsächlich gilt sogar fü x < die Reihendarstellung k+ xk ln( + x) ( ) k b) Das Taylorpolynom p(x) hat die Form p(x) 3 k k g (k) () k! x k

4 Die Ableitungen g (k) () berechnen sich zu g () (x)! x g () (x)! ( x) ( ) g () (x) ( x) 3 ( ) 3! g (3) 6 (x) 6 ( x) 4 ( ) 4 6 3! Wir erhalten also p(x) + x + x + x 3 als Taylorpolynom vom Grad 3 für die Funktion g(x) x Für x < erhalten wir die geometrische Reihe x x k Aufgabe 54 k a) Gegeben sei das Polynom f(x) x 3 a mit < a R Wo liegt die Nullstelle von f? Ist das Newtonverfahren zur Berechnung der Nullstelle stets anwendbar? b) Approximieren Sie 3 mit dem Newtonverfahren Lösung zu Aufgabe 54 a) Die Nullstelle von f ist 3 a > Die Ableitungen von f sind f (x) 3x, f (x) 6x Es ist also f (x), f (x) > für x > Wenn wir also hinreichend nahe an der Nullstelle 3 a starten, konvergiert das Newtonverfahren b) Wir müssen die Nullstelle des Polynoms f(x) x 3 berechnen Die Ableitung ist f (x) 3x Wir starten mit x und erhalten Zum Vergleich: x x f(x ) f (x ) 3 x x f(x ) f (x ) 35 7 x ,69 3,599 Aufgabe 55 Bestimmen Sie die folgenden Integrale e x dx, x cos(x ) dx, x cos(x) dx Lösung zu Aufgabe 55 Es ist e x eine Stammfunktion von e x Das erste Integral berechnet sich also zu e x dx [ ] x e x e x

5 Das zweite Integral lösen wir durch die Substitution u x Dann ist du dx xdx du und damit x cos(x ) dx π cos(u) du [sin(u)] uπ u sin(π ) x bzw Alternativ kann man auch direkt die Stammfunktion sin(x ) von x cos(x ) einsetzen Das dritte Integral lösen wir durch partielle Integration Wir setzen f(x) x, f (x), g(x) sin(x), g (x) cos(x) und erhalten π x cos(x) dx [x sin(x)] xπ x sin(x) dx [x sin(x) + cos(x)] xπ x Man rechnet leicht nach, dass x sin(x)+cos(x) tatsächlich eine Stammfunktion von x cos(x) ist