Serie 7: Kurvenintegrale

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1 D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 7: Kurvenintegrale Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 7 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 4./6. April.. Ordnen Sie den Kurven -8 die folgenden Graphen a.-h. zu.

2 ) r(t) = t i + ( t) j, 0 t. ) r(t) = i + j + t k, t. ) r(t) = ( cos t) i + ( sin t) j, 0 t π. 4) r(t) = t i, t. 5) r(t) = t i + t j + t k, 0 t. 6) r(t) = t j + ( t) k, 0 t. 7) r(t) = (t ) j + t k, t. 8) r(t) = ( cos t) i + ( sin t) k, 0 t π.. Berechnen Sie die folgenden Kurvenintegrale. a) C x ds entlang des ebenen Geradenabschnitts x = t, = t von (0, 0) bis (4, ). b) C x ds entlang der räumlichen Parabel x = t, = t von (0, 0) bis (, 4). c) (x + + z) ds entlang des räumlichen Geradenabschnitts von (,, ) bis C (0,, ). d) C (x + z ) ds entlang der räumlichen Kurve von (0, 0, 0) bis (,, ) (vgl. die nachfolgende Abbildung) die gegeben ist durch: C : r(t) = t i + t j, 0 t C : r(t) = i + j + t k, 0 t.

3 e) Die Masse eines schraubenartigen Drahtes mit Parametrisierung r cos t γ : [0, π] R, t γ(t) = r sin t ht mit Radius r > 0, Ganghöhe πh > 0 und Dichte δ(x,, z) = e x + +z.. Berechnen Sie die Arbeit des Vektorfeldes F entlang des Weges γ, wobei a) F (x, ) = (x, ) T, γ: die Strecke von A = (, 0) nach B = (0, ), b) F (x, ) = (x, x + ) T, γ: der Einheitskreis um den Ursprung, positiv orientiert, c) F (x, ) = (, x)t, γ: die Ellipse 4(x ) + ( + ) = 4, positiv orientiert. d) Parametrisieren Sie in einer der obigen Aufgaben γ auf eine zweite Art und überzeugen Sie sich, dass dadurch das Linienintegral seinen Wert nicht ändert. 4. Zwei Möglichkeiten, ein Arbeitsintegral zu berechnen Gegeben sei das Kraftfeld F (x, ) = (x ). Sei C der Weg in der x- Ebene von (, ) nach (, ). Er besteht aus dem Geradenabschnitt von (, ) nach (0, 0) und dem Geradenabschnitt von (0, 0) bis (, ). Berechnen Sie C F d r folgendermassen: a) Bestimmen Sie Parametrisierungen für die Geradenabschnitte, aus denen die Kurve C besteht, und berechnen Sie das Integral. b) Verwenden Sie f(x, ) = x als Potentialfunktion für F. 5. Berechnen Sie die Arbeit der folgenden Vektorfelder F entlang der Kurven C. Bestimmen Sie zudem jeweils den (maximalen) Definitionsbereich des Vektorfeldes F und entscheiden Sie, ob es sich bei F um ein Gradientenfeld handelt oder nicht. a) F (x, ) = ( x, x + ) T, C: der Viertelkreisbogen zentriert im Ursprung von ( 8, 8) nach ( 8, 8). b) F (x, ) = ( x ln, x / ) T, C: das Dreieck mit den Ecken (, ), (, ) und (, ), positiv orientiert.

4 ( ) T x c) F (x, ) = x +,, x + C: der Abschnitt von (, 4) bis (5, ) auf der Parabel = x. ( d) F (x, ) = ) T x +, x, x + C: der Kreis um den Ursprung mit Radius r > 0, positiv orientiert. 6. Entscheiden Sie, ob es sich bei den folgenden Vektorfeldern F um Gradientenfelder handelt. Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Potentialfunktion oder geben Sie eine geschlossene Kurve C an, so dass F d r 0. C a) z F (x,, z) = x z b) x + z F (x,, z) = z x x ze xz + c) F (x,, z) = xze + d) F (x,, z) = xe xz z x +z x x +z. Hinweis: vgl. Aufgabe 5. d) Was ist die Masse des geradlinigen Filaments von (0, 0, 0) nach (,, ) und mit der Dichtefunktion ρ(x,, z) = ( + )? 4 (a) 0. (b). (c). (d). 7. Die Arbeit A eines Vektorfeldes F längs des Geradenstücks von (, 0, 0) nach (,, ) sei 5. Welches Resultat erhält man, wenn man die Arbeit B von F längs des Geradenstücks von (,, ) nach (, 0, 0) berechnet? (a) Die Arbeit B beträgt 0. (b) Die Arbeit B beträgt 5. (c) Die Arbeit B beträgt ebenfalls 5. (d) Die Arbeit B lässt sich aus den Angaben nicht berechnen. 4

5 7. Welches Vektorfeld passt zu dieser Zeichnung? 0 x 0 (a) F = (0, x ). (b) F = (x, x). (c) F = (x, ). (d) F = (, x). 7.4 Welches Vektorfeld passt zu dieser Zeichnung? 0 x 0 (a) F = (0, x ). (b) F = (x, x). (c) F = (x, ). (d) F = (, x). 5

6 7.5 Das Vektorfeld F = (, x) x + (a) ist konstant in Länge und Richtung auf dem Einheitskreis. (b) ist konstant in Länge aber nicht in Richtung auf dem Einheitskreis. (c) ist konstant in Richtung aber nicht in Länge auf dem Einheitskreis. (d) weder konstant in Länge noch in Richtung auf dem Einheitskreis. 7.6 Es sei F das in folgender Abbildung dargestellte Vektorfeld: 0 0 Ferner seien C die gerade Verbindungsstrecke von (, ) nach (, ) und C der entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufene Kreis vom Radius um den Koordinatenursprung. Dann gilt: (a) Beide Integrale C F ds, (b) Beide Integrale C F ds, C F ds sind positiv. C F ds sind negativ. (c) Das Integral C F ds ist positiv, das Integral (d) Das Integral C F ds ist negativ, das Integral C F ds ist negativ. C F ds ist positiv. 6

7 7.7 Das Vektorfeld F = (, x) hat (a) keine Zirkulation entlang und Null Fluss durch den Einheitskreis. (b) keine Zirkulation entlang aber Fluss 0 durch den Einheitskreis. (c) keinen Fluss aber Zirkulation 0 entlang des Einheitskreises. (d) sowohl Zirkulation 0 entlang als auch Fluss 0 durch den Einheitskreis. 7.8 Wie lautet der Gradient der Funktion f : R R, (x, ) x? (a) f(x, ) = x + (b) f(x, ) = x (c) f(x, ) = (x, ) T (d) f(x, ) = (, x) T 7.9 Betrachte das Vektorfeld F (x, ) = (x, ) und die Skalarfelder Dann gilt φ (x, ) = x + und φ (x, ) = + x (a) φ und φ sind beide Skalarpotentiale für F. (b) φ ist ein Skalarpotential für F aber φ ist keines. (c) φ ist ein Skalarpotential für F aber φ ist keines. (d) weder φ noch φ sind Skalarpotentiale für F. 7.0 Sei F = f, wobei f(x,, z) = e +z cos(xz). Was ist die verrichtete Arbeit von F bei der Bewegung eines Teilchens entlang der Schraubenlinie (a) e π +. (b) e π. (c) e π +. (d) e π. r(t) = (cos t, sin t, t), 0 t π? 7

8 Die Lösungen sind. ) c. ) e. ) g. 4) a. 5) d. 6) b. 7) f. 8) h.. a) 4 5. b) ( 7 ). c) 4. ( ) d) ( r e) h + e r e πh ).. a). b) π. c) π. d). 4. a). 5. a) Definitionsbereich: R ; Arbeit: ; Gradientenfeld: Ja, mögliche Potentialfunktion ϕ(x, ) = x +. b) Definitionsbereich: x R, > 0; Arbeit: 0; Gradientenfeld: Ja, mögliche Potentialfunktion ϕ(x, ) = x ln. c) Definitionsbereich: R \ {(0, 0)}; Arbeit: ln 5 ; Gradientenfeld: Ja, mögliche Potentialfunktion ϕ(x, ) = ln(x + ). d) Definitionsbereich: R \ {(0, 0)}; Arbeit: π; Gradientenfeld: Nein. 6. a) Kein Gradientenfeld; für C der positiv orientierte Einheitskreis in der x-ebene ist C F d r = π. b) Mögliche Potentialfunktion ϕ(x,, z) = x + + xz z. c) Mögliche Potentialfunktion ϕ(x,, z) = e xz + x + ln. d) Kein Gradientenfeld; für C der positiv orientierte Einheitskreis in der xz-ebene ist C F d r = π. 7. siehe online Version mittels des personalisierten Links oder das zugehörige PDF auf der Kursübungswebseite b). 8