Schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik

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1 Schriftliche Reifeprüfung us Mthemtik 1) Linere Optimierung Ein Händler für Bürortikel füllt für den Schulnfng sein Lger mit Tschenrechnern des Typs Advnced und des Typs Bsic uf. Typ A kostet ihn im Einkuf -, der Typ B,-. Im Lgerrum knn er von den etw gleich großen Schchteln insgesmt 100 Stück unterbringen, wobei er ber höchstens für - Tschenrechner uf Vorrt legen möchte. Es sollen ber uf Grund der zu erwrtenden Nchfrge mindestens doppelt so viele Geräte des Typs B wie von Typ A vorhnden sein. Den Gewinn setzt der Händler bei Typ A mit 7,00, bei Typ B mit,3 Wie soll der Händler ds Lger einrichten, dmit der Gesmtgewinn mximl wird und wie groß ist dieser? Ist ds rechnerische Ergebnis uch für den Kunden optiml? Begründung! 2) Finnzmthemtik Herr L. träumt von finnzieller Unbhängigkeit. ) Dzu möchte er ein geerbtes Grundstück verkufen. Sein Nchbr Herr Müller bietet ihm dfür - und in 3 druffolgenden Jhren jeweils -. Eine ndere Interessentin bietet hingegen - sofort, - in 2 Jhren und - in 3 Jhren. Welches Angebot ist für Herrn L. günstiger, wenn mn von einem konstnten Zinsstz von 2,75 % usgeht? b) Herr Müller hält sich überhupt für einen Finnzexperten. Er ht von einer Anlgeform gehört, die ds Kpitl in Jhren verdreifcht, doch Herr L. ist eher skeptisch. Welcher Verzinsung p.. würde ds entsprechen? Relistischerweise muss mn von einem Zinsstz von derzeit 2,75 % usgehen. Wnn würde sich ein Kpitl dbei verdreifchen? c) Mnchml träumt Herr L. uch von einem Lotto-Sechser. Er könnte dnn sorgenfrei von den Zinsen leben und seinen Hobbys nchgehen. Mit - pro Mont würde er schon uskommen. Welchen Gewinn müsste er bei p = 3,5 % p.. mchen, dmit er montliche Erträge in dieser Höhe erhält, dbei ds Kpitl ber nicht ntstet? d) Dnn wird Herr L. ber wieder in die Relität zurückgeholt. Er denkt nun eher n eine herkömmliche Pensionsvorsorge, bei der er - jeden Montsnfng zu 3, 25 % p.. einzhlt, um in 28 Jhren in Pension gehen zu können. Welchen montlichen Betrg knn er dnn für ngenommene 20 Pensionsjhre erwrten? 3) Differenzilrechnung Beim Zuschneiden von Pressspnpltten fllen oft größere Mengen von rechtwinkelig gleichschenkeligen Abfllstücken mit der Schenkellänge n. Aus diesen sollen in Hinblick uf optimle Ressourcennutzung wieder möglichst große rechteckige Pltten geschnitten werden. Dzu entwickeln die Werkstechniker die 2 bgebildeten Modelle. Berechne durch händische Berechnung für beide Modelle den größtmöglichen Flächeninhlt einer rechteckigen Pltte. Wie sollen die Pltten geschnitten werden? Ermittle die Lösung uch durch Drstellen und entsprechendes Auswerten der Funktionen für den Flächeninhlt m Grfikrechner! Nimm dzu den Wert 10 für n! 4) Stochstik Herr Müller ht us einem Ktlog für Hobbyzuberer eine gezinkte Münze bestellt, für die Seite 1

2 die Whrscheinlichkeit für Kopf mit 60 % bzw. die für Adler mit 40 % ngegeben wird. Diese führt er nun Herrn L. vor. ) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss beim viermligen Werfen genu die Reihenfolge i) K, K, A, K ii) A; A; A; A kommt? b) Wie oft muss Herr L. die Münze werfen, dmit er mit mindestens 90-prozentiger Whrscheinlichkeit mindestens einen Adler bekommt? c) Herr Müller behuptet, dss beim viermligen Werfen immer mehr ls 2 Ml K kommen muss. Stimmt ds? Betrchte die Anzhl der K beim viermligen Werfen und stelle dfür die Whrscheinlichkeitsfunktion tbellrisch und grfisch dr! d) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss beim viermligen Werfen i) mindestens 3 Ml K ii) höchstens 1 Ml K kommt? e) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss beim 100mligen Werfen dieser Münze mehr ls 50, ber weniger ls 70 Ml Kopf kommt? f) Simultion Initilisiere den TR mit 2468 und simuliere 100 Ml ds viermlige Werfen dieser Münze! Wie oft wird 0 K, 1 K,... geworfen? Werte die Dten hinsichtlich Mittelwert und Stndrdbweichung us und stelle sie in einem Digrmm dr. Vergleiche mit (theoretischem) Erwrtungswert und Stndrdbweichung der Binomilverteilung. Es dürfen nur die gemeinsm entwickelten oder besprochenen Progrmme verwendet werden. Alle Berechnungen m TR müssen usführlich dokumentiert werden! Punkteverteilung Beispiel Gesmt Punkte (3/3/3/3) (1/2/2/2/2/3) 48 Seite 2

3 Lösungen Beispiel 1) Anzhl Typ A...x Anzhl Typ B...y I) x 0 x 0 II) y 0 y 0 III) x + y 100 y -x IV) 36.x +.y 00 y -3.x V) 2x y y 2x Gewinn G = 7,00.x + 2,80.y y = -2,5.x + G/2,80 P(0 / 100) G = 2, = 280 Die Lösung mit mximlen Gewinn wird für 0 Geräte von Typ A und 100 Geräte von Typ B erreicht. Für Kunden nicht optiml: kein Gerät Typ B lgernd. Beispiel 2) ) B 1 = /1, /1,0275² /1,0275³ = ,24 B 2 = /1,0275² /1,0275³ = ,41 1.Angebot für Verkäufer besser. b) 3.K 0 = K 0. (1 + p) oder 1 + p = 3 p = 9,59 % 3.K 0 = K 0. 1,0275 n oder ln 3 = n. ln 1,0275 n 40,50 Jhre c) q = 1, 035 = 1, äquivlenter Zinsstz Seite 1

4 2500 = Z = K.(q 1) K = 2500 / (q 1) = ,45 d) äquivlenter Zinsstz q = 1,0325 1, = Endwert der Einzhlungen n.28 q 1 1, En = R. q. = 150.1, q 1 1, = ,86 ist gleich dem Brwert für Rückzhlungen.20 En R. q q ,86 = Bn = =. n.20 q q q 1 B Rte R =.20 n. q.20 q.( q.( q 1) = 459,85 1) Beispiel 3) Modell 1 P liegt uf Gerden g 1 : y = -x + d 1 d 1 ² + d 1 ² = ² ; d 1 = / 2 ; somit g 1 : y = -x + / 2 A 1 (x,y) = 2.x.y A 1 (x) = 2.x.( - x + / 2) = -2x² + 2x/ 2 A 1 (x) = - 4x + 2/ 2 A 1 (x) = 0 4x = 2/ 2 x = /(2 2); y = -/(2 2) + / 2 = /(2 2); P(/(2 2) / /(2 2)) A 1 (x) = -4 < 0, lso Mx. Flächeninhlt A 1 = 2. /(2 2). /(2 2) = ²/4 FE Modell 2 Geeignete Lge für Koordintensystem suchen! P liegt uf Gerden g 2 : y = -x + d 2 d 2 = ; somit g 2 : y = -x + A 2 (x,y) = x.y A 2 (x) = x.(-x + ) = - x² +.x A 2 (x) = -2x + A 2 (x) = 0 2x = x = /2 ; y = /2 P(/2 / /2) A 2 (x) = -2 < 0, lso Mx Seite 2

5 Flächeninhlt A 2 = /2. /2 = ²/4 FE Beide Modelle führen zum selben Ergebnis! Drstellung m TR: = 10 A 1 (x) = -2x² + 20x/ 2 A 2 (x) = -x² + 10x Für beide Funktionen wird ds Mximum mit y=25 usgewiesen. Lut Rechnung muss ds für Modell 1 bei x = 10/(2 2) = 3, und bei Modell 2 bei x = 10/2 = 5 sein. Beispiel 4) p = 0,60 ) P(K,K,A,K) = 0,6. 0,6. 0,4. 0,6 = 0,0864 P(A; A; A; A) = 0,4 4 = 0,0256 b) 1 0,6 n 0,90 0,6 n 0,10 n ln 0,10 / ln 0,6 = 4,5; lso mindestens 5 Ml werfen. c) d) X... Anzhl der Köpfe i) P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,4752 oder = 1 P(X 2) = 1 binomcdf(4,0.6,2) = 0,4752 ii) P(X 1) = P(X = 0) +P(X = 1) = 0,1792 oder = P(X 1) = binomcdf(4,0.6,1) = 0,1792 Seite 3

6 e) P(50 < X < 70) = P(51 X 69) = P(X 69) P(X 50) = binomcdf(100,0.6,69) - binomcdf(100,0.6,50) = 0, , = 0, oder Näherung mittels Normlverteilung: µ = ,6 = 60 ; σ = ,6. 0,4 = 4,8990 P(50 < X < 70) = P(51 X 69) = normlcdf(50.5, 69.5, 60, ) = f) Ergebnis der Simultion: 0 Kopf 1 Kopf 2 Kopf 3 Kopf 4 Kopf Mittelwert 2,36; Stndrdbweichung σ x = 0,90 Binomilverteilung: E(X) = n.p = 4. 0,6 = 2,4; Stndrdbweichung σ x = (n.p.(1 p)) = (4. 0,6. 0,4) = 0,96 0,9798 Seite 4