Aufgabe 2 (5 Punkte) y = 1 x. y + 3e 3x+2 x. von f. (ii) Für welches u in R 2 gilt f(u) = [3, 3, 4] T? x 2 + a x 3 x 1 4x 2 + a x 3 2x 4

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1 Prof. Dr. B. Billhardt Wintersemester 4/5 Klausur zur Vorlesung Höhere Mathematik II (BNUW) Aufgabe (a) Ermitteln Sie die Nullstellen des Polynoms p(z) = z 4 4z 3 + 3z + 8z. Tipp: p( + i) =. (b) Bestimmen Sie die a + bi-form der Lösung z der Gleichung z 5i = zi. (c) Bestimmen Sie die Polarform z = r e i φ, r, φ [; π) von z = ( i) 6. (d) Bestimmen Sie die Polarform z = r e i φ, r, φ [; π) der Lösungen von z 3 = 8e i π Aufgabe (a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y (y ) =, x >. x Hat das Anfangswertproblem mit der Anfangsbedingung y() = eine Lösung? (b) Gegeben ist die Differentialgleichung y = x y + 3e 3x+ x. (i) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. (ii) Bestimmen Sie diejenige Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung y() = erfüllt. Aufgabe 3 (a) Von einer linearen Abbildung f : R R 3 sind gegeben: ([ ]) ([ ]) f =, f = 5. 4 (i) Bestimmen Sie f ( [, ] T ), f ( [, ] T ) sowie die Abbildungsmatrix A f von f. (ii) Für welches u in R gilt f(u) = [3, 3, 4] T? (b) Gegeben ist die lineare Abbildung g : R 4 R 3, x g : x x + x + x 3 + x 4 x 3 x + a x 3 x x 4x + a x 3 x 4 4. (i) Geben Sie die Abbildungsmatrix A g von g an und bestimmen Sie dim Kern A g und dim Bild A g in Abhängigkeit des Parameters a. (ii) Für welche Werte von a und b ist [,, b] T Bild A g? Bitte wenden!

2 Aufgabe 4 (a) Gegeben sind die invertierbaren Matrizen A, B R n n, n. Bestimmen Sie jeweils die Lösung X der Matrixgleichung (3 Punkte) A X B + B = B und B X A + B = B in Abhängigkeit von A und B und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich. x (b) Gegeben ist die Matrix C = y. (3 Punkte) Ermitteln Sie det C und geben Sie alle x, y R an, für die dim Kern C > gilt. (c) Gegeben ist die Matrix D =. Bestimmen Sie alle Eigenwerte von D und geben Sie die Menge der Eigenvektoren zum Eigenwert λ = von D an. Aufgabe 5 (a) Es sei f(x, y) = xe y x y (6 Punkte) (i) Bestimmen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der Funktion f an der Stelle (x, y ) = (, ). (ii) Begründen Sie mithilfe des Ergebnisses aus (i), dass f an der Stelle (x, y ) = (, ) einen kritischen Punkt hat und klassifizieren Sie diesen. (lok. Minimalstelle / lok. Maximalstelle / Sattelstelle) (iii) Bestimmen Sie das zweite Taylor-Polynom T ([x, y] T, [, ] T ) von f. (b) Gegeben ist die Funktion g(x, y) = y ln(e x + xy), x, y R +. Ermitteln Sie die Richtungsableitung von g an der Stelle [x, y ] T Vektors a = [, ] T. Für welche Richtung a wird die Richtungsableitung g (, ) maximal? a = [, ] T in Richtung des Aufgabe 6 (a) Berechnen Sie das Integral e y y sin(y x π) dx dy. (b) Es sei U die Fläche, die von den Graphen der Funktionen g(x) = ln(x) und h(x) = x sowie von den Geraden x = und x = eingeschlossen wird. Erstellen Sie eine grobe Skizze von U und berechnen Sie das Integral der Funktion f(x, y) = e y über dem Gebiet U. Viel Erfolg!

3 Ergebnisse zur Klausur zur Vorlesung Höhere Mathematik II (BNUW) - WS 4 Aufgabe (a) Gesamtpunkte: 4P Das Polynom hat die Nullstellen z = + i, z = i, z 3,4 = ±. (b) Gesamtpunkte: P Es ist z = + i. (c) Gesamtpunkte: P Es ist z = 8e i π. (d) Gesamtpunkte: P Die Lösungen sind z = e i π 3, z = e i π, z 3 = e i 5 3 π. Aufgabe Die allgemeine Lösung ist y allg (x) = ln( x ) + C Die Lösung des AWP ist die konstante Lösung y(x) =. Die allgemeine Lösung der DGL ist y allg (x) = (F (x) + C)e G(x) = ( e 3x + C ) e x. Die Lösung des AWP ist y(x) = ( e 3x + ) e x. Aufgabe 3 Die Abbildungsmatrix ist A f = 3 Der gesuchte Vektor ist u = [3, ] T. Die Abbildungsmatrix ist A g = a 4 a. Fall: a : dim BildA g = 3 und dim KernA g =... Fall: a = : dim BildA g =, dim KernA g =. Es ist [,, b] BildA g für a, b beliebig oder für a = und b =.

4 Aufgabe 4 (a) Gesamtpunkte: 3P (b) Gesamtpunkte: 3P Es ist det C y(x ). A X B + B = B X = A A B B X A + B = B X = A B A Es ist also dim Kern C > für x = oder y =. (c) Gesamtpunkte: 4P Aufgabe 5 Die Eigenwerte sind λ, = ±. s Die Menge der Eigenvektoren zum Eigenwert ist s t t, s R \ {}. (a) Gesamtpunkte: 6P Die partiellen Ableitungen sind f x (, ) =, f y (, ) =, f xx (, ) =, f yy (, ) =, f yy (, ) = Wegen f x (, ) = f y (, ) = hat die Funktion bei (, ) einen kritischen Punkt. Es handelt sich dabei um eine Sattelstelle.. Das zweite Taylorpolynom lautet T ([x, y] T, [, ] T ) = + ( (x ) + 4(x )y + y ) (b) Gesamtpunkte: 4P Die Richtungsableitung ist g a (, ) =. Die Richtungsableitung wird maximal in Richtung [, ] T.

5 Aufgabe 6 Es ist e y y sin(y x π) dx dy = π. Skizze des Integrationsgebietes: y x = x = g(x) = ln(x) U x h(x) = x Damit ist U e y dx dy = ln(x) x e y dy dx = 3 + e e.