Funktionen in zwei (und mehreren) Veränderlichen

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1 Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstsemester 8 Funktionen in zwei (und mehreren) Veränderlichen Inhalt: 1. Definition und Beispiele. Methoden der graphischen Darstellung Das direkte Bild Das Schrägbild (Graph) Niveaulinien 3. Partielle Ableitungen 4. Partielle Elastizitäten 5. Höhere partielle Ableitungen 6. Geometrische Deutung der partiellen Ableitungen 7. Die Tangentialebene einer Fläche

2 Teil 1 Definition und Beispiele

3 Einführung: 3 Eine Funktion war als eine Vorschrift definiert, die jedem Element einer Menge X (Definitionsbereich) genau ein Element einer Menge Y zuordnet. Bisher war für uns stets X = Y = R. In den folgenden Kapiteln werden wir nun insbesondere Funktionen mit dem Definitionsbereich R betrachten, allerdings lassen sich fast alle erzielten Resultate leicht auf Funktionen mit Definitionsbereichen R n beliebiger Dimension n übertragen. Schreibweise: f : R R (x,y) z = f(x,y) f : R n R (x 1,x,...,x n ) f(x 1,x,...,x n )

4 4 Beispiele aus der Ökonomie 1. Die Nachfrage q 1 nach einem Gut G 1 werde als Funktion des Preises p 1 und des Preises p eines zweiten Gutes G betrachtet: q 1 = f(p 1,p ). (a) konkurrierende Güter (Beispiel: Butter und Magarine) Die Funktion f ist abnehmend als Funktion von p 1 (umso teurer die Butter wird, desto geringer die Nachfrage nach Butter) wachsend als Funktion von p (umso teurer die Magarine, desto grösser die Nachfrage nach Butter). Häufig verwendete Modelle: q 1 = a bp 1 + cp, a,b,c > q 1 = k pβ p α 1

5 (b) komplementäre Güter (Beispiel: Pfeifen und Tabak) Die Funktion f ist abnehmend als Funktion von p 1 (umso teurer die Pfeifen werden, desto geringer die Nachfrage nach Pfeifen) abnehmend als Funktion von p (umso teurer der Tabak wird, desto geringer die Nachfrage nach Pfeifen). 5 Häufig verwendete Modelle: q 1 = a bp 1 cp, a,b,c > q 1 = k 1 p α 1 pβ

6 6. Eine Firma stellt die beiden Produkte 1 und in Mengen q 1 und q her. Die Kostenfunktion C(q 1,q ) ist eine monoton wachsende Funktion in beiden Variablen q 1 und q. Ein mögliches Modell ist: C(q 1,q ) = aq 1 + bq 1q + cq + dq 1 + eq + f.

7 3. Die Cobb-Douglas Produktionsfunktion 7 K: 1. Produktionsfaktor (Kapital) A:. Produktionsfaktor (Arbeit) Q = f(k,a): Produktionsergebnis Häufig verwendeter Ansatz für f: f(k,a) = c K α A β, c >, < α < 1, < β < 1 Dieses Modell erfüllt die folgende ökonomische Gesetzmässigkeit: Steigert man den Arbeitseinsatz (bei gleichbleibendem Kapital) stets um den gleichen Betrag A, so nimmt der Produktionszuwachs Q ab. Indem wir das Kapital als konstant ansehen, erhalten wir eine Funktion in einer reellen Veränderlichen: Q = c A β, < β < 1.

8 8 4. -dimensionale Gaußsche Verteilung In der Wahrscheinlichkeitstheorie spielt die sogenannte -dimensionale Gaußsche Verteilung eine wichtige Rolle. Sie gibt Anlass, die Funktion f(x,y) = e (x +y ) genauer zu untersuchen.

9 Teil Methoden der graphischen Darstellung 9

10 1 Das,,direkte Bild Diese Darstellung ist vor allem geeignet, sich ein (richtiges) Bild einer Funktion an sich zu machen. Es ist wenig geeignet, zwichen verschiedenen Funktionen zu unterscheiden. IR IR z = f(x,y y x

11 Das Schrägbild Über den Punkten (x, y) des Definitionsbereiches der Funktion errichten wir eine Strecke der Länge z = f(x,y). Die Endpunkte aller dieser Strecken bilden eine Fläche im Raum, die auch als der Graph von f bezeichnet wird. 11 (x,y,z) z = f(x,y) y (x,y) x

12 1 Beispiele: 1. Der Graph der Funktion z = f(x,y) = 8 x y ist eine Ebene x 1 y 1 1

13 . Der Graph der Funktion z = f(x,y) = 8 x y ist ein Rotationsparaboloid y x 4

14 14 3. Der Graph der Funktion z = f(x,y) = y x ist ein hyperbolisches Paraboloid. 4 y 4 4 x 4

15 4. Der Graph der Funktion z = f(x,y) = e (x +y ) ist eine sogenannte Gauß-Glocke. 15 1,,75,5,5, 1 1 x 1 1 y

16 16 5. Hier der Graph der Funktion f(x,y) = x y sin(x 3 + x + y + xy) : 7,5 5,,5,,5 5, 7,5 3 1 x 1 y

17 Niveaulinien 17 Wir schneiden den Graphen einer Funktion in zwei Variablen mit horizontalen Ebenen (parallel zur (x, y)-ebene in einer bestimmten Höhe z über dieser Ebene). Die Schnittkurve projizieren wir senkrecht in die (x, y)-ebene (und beschriften die Projektion gegebenenfalls mit der Höhe z).

18 18 Beispiele: 1. z = f(x,y) = 8 x y Als Niveaulinien erhalten wir eine Familie paralleler Geraden: z = : y = x + 1 z = : y = x + 8 z = : y = x + 6 z = 4 : y = x y x 1 3 3

19 . z = f(x,y) = 8 x y 19 Als Niveaulinien erhalten wir eine Familie konzentrischer Kreise: z > 8 : keine Lösung z = 8 : x + y = z = 4 : x + y = 4 z = : x + y = y x 3 3

20 3. z = f(x,y) = y x Als Niveaulinien erhalten wir eine Familie von gleichseitigen Hyperbeln: z = : y x = oder y = ±x z = 4 : y x = 4 z = 4 : y x = 4 z = 8 : y x = 8 z = 1 : y x = y x 3 3

21 4. z = f(x,y) = e (x +y ) Für einen konstanten Wert z = k gilt k = e (x +y ), ln(k) = x + y 1 und die Niveaulinien sind eine Familie konzentrischer Kreise. 1,5 y 1,,5, 1,5 1,,5,,5 1, 1,5,5 x 1, 1,5

22 5. Ein Bild der Niveaulinien der Funktion f (x, y) = x y sin(x3 + x + y + xy) : sehen Sie hier 5,,5, 5,,5, x,5 y 5,,5 5,

23 Aufgabe: Stellen Sie die Niveaulinien der folgenden Funktionen dar: f(x,y) = x y, y 3 f(x,y) = 4 xy 3, x,y f(x,y) = x y.

24 4 Teil 3 Partielle Ableitungen

25 Gegeben sei eine Funktion z = f(x,y). Die partiellen Ableitungen von f sind definiert als 5 f x = f x = f y = f y = f(x + x,y) f(x,y) lim x x partielle Ableitung nach x f(x,y + y) f(x,y) lim y y partielle Ableitung nach y Interpretation: Wir betrachten die Flächenkurve, die als Schnitt der Ebene x = konstant und der Fläche z = f(x,y) entsteht. Die partielle Ableitung von f nach y ist die Steigung der Tangente an diese Kurve im Punkt (x,y,z).

26 6 Aufgabe Berechnen Sie für die folgenden Funktionen die partiellen Ableitungen. 1. f(x,y) = x + xy + y + 3. f(x,y) = x e y 3. U(x,y) = xy + x ) 4. f(x,y) = ln ( x y

27 Teil 4 Partielle Elastizitäten 7

28 8 Gegeben sei eine Funktion z = f(x,y). Die partiellen Elastizitäten von f sind definiert als ǫ f,x = lim x f x x f = f x(x,y) x f(x,y) partielle Elastizität bzgl. x ǫ f,y = lim y f y y f = f y(x,y) y f(x,y) partielle Elastizität bzgl. y Interpretation: Die prozentuale Änderung von f beträgt etwa das ǫ f,x -fache der prozentualen Änderung von x bei Konstanthaltung der Variablen y. f f ǫ f,x x x

29 Aufgabe Berechnen Sie die Elastizitäten der folgenden Funktionen. 1. f(x,y) = x 1 4 y 3 4. f(x,y) = c x α y β 9

30 3 gegeben: q 1 = q 1 (p 1,p ) die Nachfrage nach Gut 1 als Funktion des Preises von Gut 1 und des Preises von Gut. q = q (p 1,p ) die Nachfrage nach Gut als Funktion des Preises von Gut 1 und des Preises von Gut. p 1 ǫ 1,1 = ǫ q1,p 1 = q 1 (p 1,p ) q 1(p 1,p ) p 1 Nachfragelastizität von q 1 bzgl. p 1 p q (p 1,p ) q (p 1,p ) ǫ, = ǫ q,p = p Nachfragelastizität von q bzgl. p p ǫ 1, = ǫ q1,p = q 1 (p 1,p ) q 1(p 1,p ) p Nachfragelastizität von q 1 bzgl. p p 1 q (p 1,p ) q (p 1,p ) ǫ,1 = ǫ q,p 1 = p 1 Nachfragelastizität von q bzgl. p 1

31 Interpretation: 31 ǫ 1,1 gibt annährend die prozentuale Änderung der Nachfrage nach Gut 1 an, wenn der Preis p 1 von Gut 1 um 1% steigt. ǫ 1, gibt annährend die prozentuale Änderung der Nachfrage nach Gut 1 an, wenn der Preis p von Gut um 1% steigt.

32 3 Beispiel: q 1 = 3 p p 1 und q = 15 + p 1 p Partielle Ableitungen: q 1 = 3 p q p 1 p = 1 p 1 1 q 1 = 3 1 q = p p 1 p Partielle Elastizitäten: ǫ 1,1 = p 1 q 1 q 1 p 1 = p 1 3p ǫ 1, = p q 1 q 1 p = p 1p 3p ǫ,1 = p 1 q q p 1 = ǫ, = p q q p = ( 3 p ( 3 1 ( ) p 1 p 1 p p 1 p 1 p p 1 p ) ) = 1 = 1

33 Teil 5 Höhere partielle Ableitungen 33

34 34 Partielle Ableitungen werden es uns erlauben, notwendige und hinreichende Kriterien für die Existenz von Extrema bei Funktionen zweier Variablen zu formulieren. Die partiellen Ableitungen. Ordnung sind definiert als f xx = f x = x f yy = f y = y f xy = f x y = y f yx = f y x = x ( ) f x ( ) f y ( ) f x ( ) f y

35 Wir erwähnen noch folgendes Resultat: 35 Satz Sind die gemischten partiellen Ableitungen f xy und f yx stetige Funktionen, so gilt f xy = f yx. Aufgabe: Überprüfen Sie die Richtigkeit des Satzes an den folgenden Funktionen. 1. f(x,y) = x + xy + y + 3. f(x,y) = x e y

36 Teil 6 Geometrische Deutung der partiellen Ableitungen

37 Sei z = f(x,y) eine Funktion und (x,y,z ) ein Punkt auf der zugehörigen Fläche. Durch diesen Punkt gibt es zwei spezielle Kurven (Wege) auf der Fläche: 1. Der Schnitt der Fläche mit der Ebene x = x (parallel zur y-z-ebene). Schnittkurve in y-koordinatenrichtung durch (x,y,z ) (kurz: y-schnittkurve) z = z(y) = f(x,y). Der Schnitt der Fläche mit der Ebene y = y (parallel zur x-z-ebene). Schnittkurve in x-koordinatenrichtung durch (x,y,z ) (kurz: x-schnittkurve) z = z(x) = f(x,y )

38 z y x

39 z y - x y 4 x - 4-4

40 4 Bedeutung der partiellen Ableitungen: f x (x,y ) : Anstieg der x-schnittkurve f y (x,y ) : Anstieg der y-schnittkurve f x (x,y ) = : x-schnittkurve hat in (x,y,z ) eine horizontale Tangente f y (x,y ) = : y-schnittkurve hat in (x,y,z ) eine horizontale Tangente f xx (x,y ) > (< ) : x-schnittkurve ist nahe bei (x,y,z ) konvex (konkav) f yy (x,y ) > (< ) : y-schnittkurve ist nahe bei (x,y,z ) konvex (konkav)

41 Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden Flächenkurven (zu den Koordinatenrichtungen) auf der Fläche z = f(x,y) = x + y durch den Punkt (1, 1, ) x y y x 3 4

42 4 Teil 7 Die Tangentialebene einer Fläche

43 43 Sei z = f(x, y) eine Funktion. Graph (bzw. das Schrägbild): F = { (x,y,z) R 3 : z = f(x,y) } Eine Ebene E ist durch eine Gleichung z = ax + by + c definiert und stellt eine spezielle (ebene) Fläche dar. E = { (x,y,z) R 3 : z = ax + by + c }

44 44 Ziel: Wir wollen die freien Parameter a,b,c so bestimmen, dass E die Fäche F in einem Punkt (x,y,z = f(x,y )) berührt, d.h. Gemeinsamer Punkt z = f(x,y ) = ax + by + c Gleiche Steigung in x-richtung f x = f x (x,y ) = a (x,y ) Gleiche Steigung in y-richtung f y = f y (x,y ) = b (x,y )

45 Durch Kombination der Bedingungen erhält man die Gleichung der Ebene E, der sogenannten Tangentialebene an die Fläche z = f(x,y) im Punkt (x,y,z ): 45 z z = f x (x,y ) (x x ) + f y (x,y ) (y y ) Da lineare Funktionen (also hier Ebenen) sehr einfach zu handhaben sind, werden komplizierte Funktionen oft in der Nähe eines für uns interessanten Punktes linearisiert (d.h. hier durch die Tangentialebene ersetzt). Dieses Vorgehen ist die direkte Verallgemeinerung der Situation für Funktionen in einer Veränderlichen. Hier hatten wir die komplizierte Funktion in der Nähe eines Punktes durch die Tangente ersetzt.

46 46 Beispiel: gegeben: z = f(x,y) = x y = x y 1 gesucht: Tangentialebene an f im Punkt (1, 1,f(1, 1) = 1), d.h. x = 1, y = 1 und z = 1. Lösung: f x = 1 y f y = x y f x (1, 1) = 1 = a f y (1, 1) = 1 = b Tangentialebene z z = f x (x,y ) (x x ) + f y (x,y ) (y y ) z 1 = 1 (x 1) + ( 1) (y 1) z 1 = x y

47 y x

48 y 1 3 x