Einführung in die Potenzrechnung

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1 Mathematische Grundlagen II Einführung in die Potenzrechnung Bei der Multiplikation haben wir festgestellt, dass aa 2 eine andere Schreibweise von aa aa und aa eine andere Schreibweise aa aa aa ist. Definition Eine Potenz ist eine Multiplikation gleicher Faktoren (Basis), bei der der Exponent die Anzahl der Faktoren angibt. aa aa aa aa. aa cc n-mal aa N; N ; cc R aa BBBBBBBBBB EEEEEEEEEEEEEEEE cc PPPPPPPPPPPPPPPPPPPP aa heißt Potenz, sie stellt ein Produkt aus n Faktoren dar, jeder Faktor ist a. Außerdem wird definiert. aa aa. aa heißt Basis (Grundzahl) heißt Exponent (Hochzahl) Berechnen Sie! a. ( 2) ( 2) 2 b. ( 2) 6 ( 2) 6 +6 Erst Potenzieren, da Multiplizieren. Erst Multiplizieren, da Addieren. Die höhere Rechenart kommt immer vor der niedrigeren: Potenzieren vor Punktrechnung; Punktrechnung vor Strichrechnung! Einen ähnliche Regel gilt für das Potenzieren: Die Aufgabe 2 wird so gerechnet: (erst potenzieren) Werden Potenzen addiert, so gilt (erst potenzieren) IQ Technikum 20 von 9

2 Ziffernschreibweise Leseart Zehnerpotenz Abkürzung Vorsilbe Eins Zehn 0 da Deka 00 Hundert 0 2 h Hekto.000 Tausend 0 k Kilo Zehntausend Hunderttausend Million 0 6 M Mega Milliarde 0 9 G Giga Billion 0 2 T Tera Ein Zehntel 0 d Dezi Ein Hundertstel 0 2 c Zenti Ein Tausendstel 0 m Milli Ein Millionstel 0 6 μμ Mikro Ein Milliardstel 0 9 n Nano Ein Billionstel 0 2 p Piko siehe auch Tabellenbuch Metall S.6 IQ Technikum 20 2 von 9

3 Rechenregeln Berechnen Sie aa 2 aa aa 2 aa aa aa aa aa aa aa Erstes Potenzgesetz: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die gemeinsame Basis beibehält. aa mm aa aa mm+ Allgemein gilt: aa 2 aa m Faktoren m-n Faktoren aa mm aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aamm n Faktoren Zweites Potenzgesetz: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die gemeinsame Basis beibehält. aa mm aamm aa Berechnen Sie: a) 0 : 0 0 : 0 0 : b) aa8 aa 8 aa aa aa8 aa c) 2xx+2 2xx d) xx+ 2xx+2 2xx 2xx+2 2xx 2 xx+ xx+ xx IQ Technikum 20 von 9

4 Berechnen Sie aa 2xx+2 aa 2xx 2 Lösung aa 2xx+2 aa 2xx 2 aa2xx+2 (2xx 2) aa 2xx+2 2xx+2 aa (Klammern setzen) Potenzen mit Exponenten Null entstehen, we Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten dividiert werden. Beispiel: aa 6 aa 6 Es gilt: aa6 aa aa aa aa aa aa aa6 aa aa aa aa aa aa Jede Potenz mit dem Exponenten Null hat den Wert. Beispiel: aa 0 aa 0 aa aa 6 aa 6 aa 2 (Zweites Potenzgesetz) Während Sie sich unter der Potenz aa 2 etwas vorstellen köen (die Potenz aa 2 ist eine andere Schreibweise von aa aa), ist dies bei der Potenz aa 2 nicht mehr möglich. Eine Erklärung erhalten Sie, we Sie die beiden Potenzen aa uuuuuu aa 6 in Faktoren zerlegt schreiben. Einerseits ist andererseits ist aa aa 6 aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa 2 aa aa 6 aa 2 aa aa 6 aa 2 aa für aa 0 aa a darf nicht 0 sein, da eine Division mit 0 nicht definiert ist. Wechselt eine Potenz vom Zähler in den Neer oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten, z.b. aa aa aa IQ Technikum 20 von 9

5 Bringen Sie die Potenz in den Zähler! Es ist: Beispiel Allgemein gilt: aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa (aa ) (aa ) (aa ) (aaaa) n Faktoren a n Faktoren b aa aa aa aa n Faktoren aa (aa ) (aa ) (aa ) (aaaa) Drittes Potenzgesetz: Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man das Produkt der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. aa (aa ) Allgemein gilt: n Faktoren a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa n Faktoren b n Faktoren aa IQ Technikum 20 von 9

6 Viertes Potenzgesetz: Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. aa aa für 0 Zuerst soll hier von einem Zahlenbeispiel ausgegangen werden: Das Problem soll noch durch die beiden Zahlenbeispiele verdeutlicht werden ( 2 ) n Faktoren aa mm n Summanden m (aa mm ) aa mm aa mm aa mm aa mm + mm + mm + + mm aa mm Fünftes Potenzgesetz: Eine Potenz wird mit einer Zahl potenziert, indem man ihren Exponenten mit dieser Zahl multipliziert und die Basis beibehält. (aa mm ) aa mm Beispiele: a. (2 ) 2 b. (2xx 2 ) 2 a. (2 ) b. (2xx 2 ) (xx 2 ) 2 xx (Wenden Sie zuerst das dritte und da das fünfte Potenzgesetz an.) IQ Technikum 20 6 von 9

7 Potenzen mit gebrochenem Exponenten Beachte bei Potenzen mit gebrochenen Exponenten darf die Basis nicht negativ sein. Unter aa verstehen wir die nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist: aa a aa 0 aa aa n-te Wurzel aus a (aa 0) aa 2 koten wir als Quadratwurzel aus aa identifizieren. In gleicher Weise bezeichnet man jetzt aa als die n-te Wurzel aus a und schreibt statt aa auch aa. Die Basis a wird da Radikand genat. In Berechnungen braucht man manchmal die Kubikwurzel, das ist die. Wurzel: Schreibweise aa oder aa pp Unter aaqq versteht man die nichtnegative Zahl, deren q-te Potenz gleich aa pp ist. (aa 0) pp qq aaqq aa pp aa 0 Berechnen Sie! a. aa 2 aa aa 2 aa aa aa 6 6 aa b Die Potenzgesetze behalten ihre Gültigkeit auch für Potenzen mit negativen Bruchexponenten. Erstes Wurzelgesetz: Gleichnamige Wurzeln werden multipliziert, indem man ihre Radikanten multipliziert und den gemeinsamen Wurzelexponenten beibehält: aa aa aa 0; 0 Das erste Wurzelgesetz ka auch umgekehrt betrachtet werden. Da gilt: aa aa aa 0; 0 Beachte: Potenzieren und Radizieren sind Umkehrungen voneinander, d.h. Also aa aa aa aa aa aa aa 0; 0 IQ Technikum 20 7 von 9

8 Zweites Wurzelgesetz: Gleichnamige Wurzeln werden dividiert, indem man ihre Radikanten dividiert und den gemeinsamen Wurzelexponenten beibehält. aa aa aa 0; 0 Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke unter Anwendung des 2. Wurzelgesetzes! a b. aa aa aa aa Beseitigen Sie die Wurzel im Neer: a. xx xx xx xx xx xx xx xx xx b. aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa Eine Wurzel wird mit einer Zahl potenziert, indem man den Radikanden mit dieser Zahl potenziert und den Wurzelexponenten beibehält. aa mm aa mm aa 0 Merke die Reihenfolge Potenzieren Radizieren ist beliebig. Berechnen Sie: Lösung a. aa 2 2 aa 2 2 (aa 2 ) 2 aa aa b (2 6 ) (2 ) 2 6 mm aa mm aa aa 0 IQ Technikum 20 8 von 9

9 Berechnen Sie! (Beachten Sie: Quadratwurzel ist die 2.Wurzel) a. 6 Lösung aa b. xx aaaa aa xx aaaa aa xx aa xx Die Wurzel aus einer Potenz behält ihren Wert, we man Wurzelexponent und Exponent des Radikanten mit derselben Zahl multipliziert. aa mm kk aakk mm aa 0 Die Wurzel aus einer Potenz behält ihren Wert, we man Wurzelexponent und Exponent des Radikanten durch dieselbe Zahl dividiert. IQ Technikum 20 9 von 9

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