Modelllösungen. ( x) Schnittpunkte mit der x-achse: Schnittpunkt S. mit der y-achse: S y. = 24x. Damit ergeben sich die Tiefpunkte T

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1 Modelllösungen Der gewählte Lösungsansatz und weg muss nicht identisch mit dem in der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nr. a Schnittpunkte mit der x-achse x 8x + x = 0 x x 8x + ( ) = 0 x = 0 x = Also N ( 0 0 ) und N ( 0 ). Schnittpunkt S y mit der y-achse S y = N b f '( = x x + x = x ( x x + 8) f ''( = x 8x + f '(0) = 0 f ''(0) = > 0, f (0) = 0 f '() = 0 f ''() = < 0, f () = f '() = 0 f ''() = > 0, f () = 0 Damit ergeben sich die Tiefpunkte T ( 0 0 ) und ( 0 ) H ( ). T und der Hochpunkt 8 c An den Extremstellen der Ableitungsfunktion f ' ist die Steigung des Graphen von f extremal, an diesen Stellen liegen Wendestellen der Ausgangsfunktion f vor. f ' hat zwei Extremstellen bei x 0, 8 und x, (Ablesewerte), f hat daher zwei Wendestellen bei x 0, 8 und x,. d Es gilt ( = x 8x + x = x ( x 8x + ) f und damit a =. d ( = x 8x + ax '( = x x + ax ''( = x 8x + a '''( = x 8 Möglichkeit Die notwendige Bedingung ''( = 0 für Wendestellen liefert a x = + und x mit a = 0. Möglichkeit ''(0) = a ''(0) = 0 a = 0 a = 0 a =. Die geforderte Bedingung erfüllt nur x Da zusätzlich g a '''(0) = 8 0 gilt, ist die hinreichende Bedingung erfüllt und damit x = 0 Wendestelle. Summe

2 a '( = 0x + x + k k ''( = 0x + 8 Gesucht ist das Maximum von k. 8 Mit der notwendigen Bedingung k '( = 0 folgt 0x + x + = 0 Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind + x = 0, und x = 0, 0 0 Da x offensichtlich nicht die gesuchte Maximalstelle ist, wird x als Nullstelle von k ' mit k '' überprüft. Wegen k ''(0,) =, < 0 liegt an der Stelle x ein relatives Maximum vor. Für den gegebenen Sachzusammenhang handelt es sich offensichtlich auch um das absolute Maximum. Wegen k ( 0,), beträgt der maximale Kornertrag ungefähr, Tonnen pro Hektar. b Mit der notwendigen Bedingung k ''( = 0 für eine Wendestelle folgt 0x + = 0 x = 0 = 0,0 Da zusätzlich k '''(0,0) = 0 0 gilt, ist 0,0 die Wendestelle von k. Steigunn der Wendestelle k (0,0) = = 0, ' Die maximale Zuwachsrate des Kornertrags bei Erhöhung der Düngermittelmenge liegt bei einer Menge von 0,0 Tonnen Dünger pro Hektar vor. Diese t Raps pro ha t Raps Zuwachsrate beträgt 0, (also 0, ). t Dünger pro ha t Dünger c Die Schüler können auf einen der folgenden Aspekte hinweisen Der Bereich für x < 0 ist nicht sinnvoll, weil die Düngermenge nicht negativ sein kann. Der Funktionsgraph kommt aus dem Positiven und verschwindet im Negativen (negativer Koeffizient vor x ). Da der Kornertrag nicht negativ sein kann, ist der Bereich ab der positiven Nullstelle in diesem Sachzusammenhang ebenfalls nicht sinnvoll. d g( = k( 00 x Summe

3 a Da MA = MB = MC = gilt, ist M der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC. Andere Möglichkeiten Anhand der Koordinaten erkennt man, dass M der Mittelpunkt der Strecke AC ist. Da das Dreieck ABC rechtwinklig ist, ist M nach der Umkehrung des Satzes von Thales der Umkreismittelpunkt. Anhand der Koordinaten erkennt man, dass M der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten AB und BC und damit der Umkreismittelpunkt ist. k ( x ) + y = b Gleichung von g yc y A m = = x x 0 = C A Mit der y-koordinate von A als y-achsenabschnitt erhält man g y = x Gleichung von g m = = m + Mit der y-koordinate von B als y-achsenabschnitt erhält man g y = x Schnittpunkt x + = x x = y 9 = 9 8 = = =, Damit folgt F (,8,),8

4 c Die Gerade g verläuft durch den Mittelpunkt von k und ist damit eine Symmetrieachse des Kreises. Da B auf k liegt, muss dann auch das Spiegelbild D von B auf k liegen. Die Koordinaten von D erhält man, wenn man die Schnittpunkte der Geraden g mit dem Kreis k berechnet. Summe

5 a Berechnung des Datenschwerpunktes , +, +, +, x = = 00 und y = =, 8 S 00,8. Also ist der Datenschwerpunkt ( ) b Schätzwertberechnung y = 0, ,00 =,07 Die Feder sollte demnach um etwa, cm verlängert werden, wenn man ein Gewicht von 0 nhängt.

6 c d Wenn kein Gewicht an der Feder hängt, wird sie nicht verlängert. Somit kann 0 0 als gesichert annehmen. Daraus ergibt sich der Ansatz man den Punkt ( ) y = m x. Der Term stellt die Summe der quadratischen Abweichungen der y-werte der Originaldaten von den y-werten der Schätzgeraden zu y = m x dar. Zur Bestimmung der Steigung m muss diese Summe minimiert werden. e Mit der notwendige Bedingung S '( m) = 0 für eine Minimalstelle folgt m 8 = 0 m = ,08 Da es sich um eine nach oben geöffnete Parabel. Ordnung handelt, liegt an der Stelle m 0, 08 tatsächlich ein Minimum vor. S ( 0,08) = 0,08 Der Tiefpunkt T hat näherungsweise die Koordinaten ( 0,08 0,08) T. Die. Koordinate des Tiefpunktes gibt den Wert der Steigung m an, für den die betrachtete Schätzgerade im Sinne der Methode der kleinsten Abstandsquadrate optimal ist. Die. Koordinate des Tiefpunktes ist die Summe der quadratischen Abweichungen in y-richtung bzgl. dieser Geraden. Summe