9.4 Integration rationaler Funktionen

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1 9.4 Integrtion rtionler Funktionen Ziel: Integrtion rtionler Funktionen R(x) = p(x) q(x) wobei p(x) = n k x k, q(x) = k=0 m b k x k. k=0 Methode: Prtilbruch-Zerlegung von rtionler Funktion R(x). Anstz: R(x) = p (x) + + n 2 j=n + n j= [ α j (x x j ) + α j2 (x x j ) α jkj (x x j ) k j γ j x + δ j ( (x j ) 2 + b 2 j ) ] γ jkj x + δ jkj ( (x j ) 2 + b 2 j ) kj Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 09

2 Erläuterungen. Ohne Einschränkung: p(x) und q(x) hben keine gemeinsmen Nullstellen. Ds Polynom p (x) tritt nur uf, flls deg(p) deg(q). In diesem Fll berechnet mn p (x) mit Polynomdivision, und es gilt p 2 (x) q(x) = R(x) p (x) p(x) = p (x) q(x) + p 2 (x), mit deg(p 2 ) < deg(q). Ds Nennerpolynom q(x) besitze die reellen Nullstellen x j mit Vielfchheit k j ; die komplexen Nullstellen z j = j + ib j mit Vielfchheit k j und dmit komplex konjugierte Nullstellen z j = j ib j. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 0

3 Anstz der Prtilbruch-Zerlegung. R(x) = p (x) + + n 2 j=n + n j= [ α j (x x j ) + α j2 (x x j ) α jkj (x x j ) k j γ j x + δ j ( (x j ) 2 + b 2 j ) ] γ jkj x + δ jkj ( (x j ) 2 + b 2 j ) kj Unbeknnte Prmeter, die bestimmt werden müssen: α jl, j =,..., n, l =,..., k j ; γ jl, j = n +,..., n 2, l =,..., k j ; δ jl, j = n +,..., n 2, l =,..., k j. Diese Prmeter werden durch Koeffizientenvergleich berechnet, die rechte Seite wird dbei uf den Huptnenner gebrcht. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske

4 Beispiel. Betrchten die rtionle Funktion Anstz: Ausmultiplizieren: R(x) = x x 2 (x 2 + ) R(x) = α x + α 2 x 2 + γ x + δ x 2 + x = x(x 2 + )α + (x 2 + )α 2 + x 2 (γ x + δ ) Koeffizientenvergleich: x = (α + γ )x 3 + (α 2 + δ )x 2 + α x + α 2 α + γ = 0, α 2 + δ = 0, α =, α 2 = Prtilbruchzerlegung: R(x) = x + x 2 + x x 2 +. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 2

5 Grundtypen der Integrtion rtionler Funktionen. Bei der Integrtion rtionler Funktionen gibt es 4 Grundtypen: Typ I: Polynome: Typ II: Inverse Potenzen: dx (x x 0 ) l = s c k x k dx = k=0 s k=0 c k k + xk+ + C log( x x 0 ) + C für l = l + C für l = 2, 3,... (x x 0 ) l Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 3

6 Grundtypen der Integrtion rtionler Funktionen. Typ III: Für l = gilt I l := I = (x 2 dx für l N + ) l x 2 + dx = rctn(x) + C Für l > knn mn I l wie folgt rekursiv berechnen. [ ] x I l = (3 2l)I l 2( l) (x 2 + ) l für l = 2, 3,.... Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 4

7 Herleitung der Rekursion. Substitution: Setze u = x 2 + in 2x (x 2 + ) l dx = Prtielle Integrtion: I l = (x 2 dx = + ) l Somit: I l = = 2( l) = du u l = l l x 2 + (x 2 + ) l dx = u l + C (x 2 + ) l + C x 2 x 2( l)(x 2 + ) l 2( l) I l + I l [ (3 2l)I l ] x (x 2 + ) l 2x (x 2 + ) l dx + I l für l = 2, 3,.... Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 5

8 Grundtypen der Integrtion rtionler Funktionen. Typ IV: cx + d ((x ) 2 + b 2 ) l dx = c 2 2(x ) ((x ) 2 + b 2 ) l dx+(d+c) dx ((x ) 2 + b 2 ) l Erstes Integrl: 2(x ) ((x ) 2 + b 2 ) l dx = = du u l mit u = (x ) 2 + b 2. log ( (x ) 2 + b 2 ) + C für l = l + C für l = 2, 3,.... ((x ) 2 + b 2 l ) Zweites Integrl: dx ((x ) 2 + b 2 ) l = b 2l dt (t 2 + ) l mit t = x b. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 6

9 Beispiel. Betrchten erneut die rtionle Funktion R(x) = x x 2 (x 2 + ) = x + x 2 + x x 2 + Somit bekommt mn dx R(x) dx = x + dx x x x 2 + dx x 2 + = log( x ) x + 2 log(x2 + ) rctn(x) + C Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 7

10 Substitution bei verwndten Integrlen. Sei R(x) eine rtionle Funktion. Dnn lssen sich die folgenden Integrle durch Substitution vereinfchen. Setze t = e x in R(e x )dx = Mit t = tn(x/2) bekommt mn R(t) t dt cos(x) = t2 + t 2 und sin(x) = 2t + t 2 und somit durch Substitution in R(cos x,sin x)dx = R ( ) t 2 + t 2, 2t 2 + t 2 + t 2 dt Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 8

11 9.5 Uneigentliche Integrle Ziel: Berechne uneigentliche Integrle, d.h. Integrle über unbeschränkten Bereichen f(x) dx b f(x) dx f(x) dx. Integrle über unbeschränkten Funktionen mit Singulritäten m Rnd b f(x)dx wobei f : (, b] R stetig oder f : [, b) R stetig Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 9

12 Lokle Integrierbrkeit und uneigentliche Integrle. Definition: Eine Funktion f : D R mit D R heißt lokl integrierbr, flls f über jedem kompkten Teilintervll [, b] D integrierbr ist. Definition: Ist eine Funktion f(x) lokl integrierbr über [, ) bzw. (, b] bzw. (, ), so definiert mn f(x) dx := lim y y f(x) dx b f(x) dx := lim y b y f(x) dx f(x) dx := f(x)dx + f(x)dx für R. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 20

13 Lokle Integrierbrkeit und uneigentliche Integrle. Definition: Ist eine Funktion f(x) lokl integrierbr über (, b] bzw. [, b) bzw. (, b), so definiert mn b b b f(x) dx := lim f(x) dx y + y y f(x) dx := lim f(x) dx y b b c b f(x) dx := f(x)dx + f(x)dx für c (, b). c Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 2

14 Ein Beispiel. Betrchte ds uneigentliche Integrl x α dx. Wegen x α dx = α konvergiert ds uneigentliche Integrl für α > und divergiert für α =. + C für α > xα log( x ) + C für α = x α dx Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 22

15 Ein weiteres Beispiel. Betrchte ds uneigentliche Integrl Es gilt und weiterhin y x e x2 dx = 0 0 xe x2 dx = 2 = 2 x e x2 dx. xe x2 dx + y xe x2 dx = 2 e u du mit u = x 2 ( e y2) 2 0 für y. xe x2 dx, Somit gilt x e x2 dx = Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 23

16 Konvergenzkriterien. Stz: Sei f : [, ) R lokl integrierbr. Dnn gilt: () Ds uneigentliche Integrl f(x)dx existiert genu dnn, wenn gilt z2 ε > 0 : C > : z, z 2 > C : f(x)dx < ε z (b) Ist ds uneigentliche Integrl bsolut konvergent, d.h. f(x) dx konvergiert, so konvergiert uch ds uneigentliche Integrl f(x) dx. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 24

17 Mjorntenkriterium. Stz: Sei f : [, ) R lokl integrierbr. Dnn gilt: (c) x : f(x) g(x) und g(x) dx konvergent = f(x)dx (d) Weiterhin gilt folgende Umkehrung: x : 0 g(x) f(x) und bsolut konvergent g(x) dx divergent = f(x) dx divergent. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 25

18 Beispiel: Ds Dirichlet-Integrl Betrchte ds Dirichlet-Integrl I = 0 sin(x) x dx. Ds Dirichlet-Integrl ist konvergent, denn es gilt y2 sin(x) dx = cos(x) y 2 y x x und somit y2 sin(x) dx y x + + y y 2 Bemerkungen: y2 y y2 cos(x) y x 2 Ds Dirichlet-Integrl ist nicht bsolut konvergent; Ds Dirichlet-Integrl besitzt den Wert I = π/2. dx y x 2 dx = 2 y 0 für y. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 26

19 Beispiel: Ds Exponentilintegrl Betrchte ds Exponentilintegrl Ei(x) := x e t t dt für x < 0. Wegen lim t te t = 0 gibt es ein C > 0 mit te t C für lle t (, x], und somit gilt e t t = tet t 2 C t 2. Mit der Konvergenz des Integrls x t 2 dt folgt die bsolute Konvergenz des Exponentilintegrls Ei(x) für lle x < 0 us dem Mjorntenkriterium. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 27

20 Beispiel: Die Gmm-Funktion. Die Gmm-Funktion Γ : (0, ) R ist definiert durch Γ(x) := 0 e t t x dt für x > 0. Bechte: Für 0 < x < ist der Integrnd von Γ(x) singulär. Mit e t t x t x für 0 < t folgt jedoch in diesem Fll ε t x dt = x tx t= t=ε = x ( εx ) x für ε 0 +. Die Konvergenz bei t = zeigt mn wie beim Exponentilintegrl: e t t x e t t x+ = t 2 C t 2 für t. Mit dem Mjorntenkriterium folgt die bsolute Konvergenz von Γ(x) für x > 0. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 28

21 Weitere Bemerkungen zur Gmm-Funktion. Die Gmm-Funktion erfüllt die Funktionlgleichung Γ(x + ) = x Γ(x) x > 0 und es gilt Γ() =. Folgerung: Es gilt Γ(n) = (n )! für lle n N. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 29