Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt

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1 Aalysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr. Robert Haller-Ditelma David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergez vo Folge) Beweise Sie: (a) Eie Folge (a ) i kovergiert geau da gege a, we lim a a 0. (b) Sei k. Ist die reelle Folge (a ) koverget, da auch (a +k), ud zwar gege de gleiche Grezwert. Lösug: (a) (a ) kovergiert gege a ɛ > a a < ɛ ɛ > a a 0 < ɛ ( a a ) kovergiert gege 0. (b) Ageomme die reelle Folge (a ) kovergiert gege a. Sei ɛ > 0. Nach Defiitio gibt es 0, so dass a a < ɛ für alle 0. Ist 0, da auch + k 0. Also gilt a +k a < ɛ für alle 0. Dies zeigt, dass es zu jedem ɛ > 0 ei 0 gibt, so dass a +k a < ɛ für alle 0. Nach Defiitio kovergiert daher (a +k ) gege a. Aufgabe G2 (Kovergez vo Folge) Utersuche Sie die folgede Folge auf Kovergez ud bestimme Sie gegebeefalls de Grezwert. Lösug: a : Es gilt für alle ach kürze mit 5 : a : (22 )( + ) ( + 2)( ),, b : +,, c :!,, d : a Zur Bestimmug dieses Grezwertes verwede wir die Recheregel für kovergete Folge aus Satz 7.8. Wir habe bereits gesehe, dass lim / 0 ist. Also ist mit Satz 7.8 (d) ii), agewadt auf die Folge (/) ud α auch die Folge ( /) koverget mit Grezwert 0 0. Geauso argumetiert ma, dass die Folge 2/, / 4, (2/), / 2 ud 2/ allesamt Nullfolge sid. Mit Satz 7.8 d) i) gilt da lim (2 /+2/ / 4 ) ud lim (+2/+/ 2 +2/ ) Wede wir u och auf die Folge im Zähler ud Neer Lemma 7.8 d) iii) ud iv) a (ma beachte, dass die Folge im Neer icht gege Null kovergiert!), so bekomme wir lim a 2/ 2.

2 Bemerkug: I dieser Ausführlichkeit macht ma sich diese Argumetatio atürlich ur eimal klar, daach schreibt ma sowas folgedermaße auf: Wege der Recheregel für kovergete Folge gilt: b : Für alle gilt b lim a 2 lim ( + )( + + ) Da dieser Ausdruch immer positiv ist ud + gilt, erhalte wir damit für alle 0 b Nu ist lim 2 Satz 7.8 lim Satz 8. 2 Bsp. 7.4 lim 2 0. Wir erhalte mit dem Sadwichsatz, agewadt auf die kostate Folge (0), die Folge /(2 ) ud die Folge b, dass b koverget ist ud lim b 0 gilt. c : Für alle gilt c! Nehme wir u a die Folge c wäre beschräkt, d.h. es gäbe ei M, so dass c M für alle gilt, so erhalte wir M c c für alle, im Widerspruch zur Ubeschräktheit vo. Also ka c icht beschräkt ud damit auch icht koverget sei. d : Betrachte die Folge d mit d :. + Sei ɛ > 0. Wir wisse aus der Vorlesug, dass lim + e. Es gibt also 0, so dass + e < ɛ für alle 0. Da ist auch d e + e < ɛ für alle 0 (sogar für 0 ). Also kovergiert (d ) gege e. Nu gilt d d. Mit Satz 8. folgt lim d e. Aufgabe G (rekursiv defiierte Folge) Sei a (0, ) ud a + : a (2 a ) für alle. Hat diese Folge eie Grezwert? Es gibt zwei verschiedee Lösugswege, die hier beide gefude werde solle. (a) Leite Sie aus der rekursive Vorschrift Eigeschafte ab, die Aussage über die Kovergez liefer (aalog zu Beispiel 7.2 aus der Vorlesug). (b) Fide Sie eie Darstellug vo a, die vo a ud, aber icht mehr vo a abhägt ud die also isbesodere icht mehr rekursiv ist. Daraus lasse sich die Kovergezeigeschafte gaz leicht ablese. Lösug: Behauptug: Die Folge kovergiert gege. (a) Wir zeige zuächst mit Iduktio: 0 < a < für alle : Iduktiosafag: Nach Voraussetzug ist 0 < a <. Iduktiosvoraussetzug: Für ei gelte 0 < a <. Iduktiosschritt: a + a (2 a ) ( a ) 2 (0<a ) <. Da 0 < a <, ist 0 < ( a ) 2 <, also auch a + > 0. Aus a < folgt 2 a >, somit a + a (2 a ) > a. Die Folge (a ) wächst mooto ud ist beschräkt, hat also ach Mootoie-Kriterium eie Grezwert a. Da ach G(b) auch (a + ) gege a kovergiert, folgt mit de Grezwertsätze (siehe H), dass a a(2 a), also 0 a( a), d.h. a oder a 0. Der Fall a 0 ka icht auftrete, weil die Folge mooto wächst mit a > 0. Also lim a. (b) Wir zeige iduktiv: a ( a ) 2 für alle. Iduktiosafag: a ( a ) ( a ) 2. Iduktiosvoraussetzug: Für ei gelte a ( a ) 2. Iduktiosschritt: a + a (2 a ) ( ( a ) 2 )( + ( a ) 2 ) ( a ) 2. Satz Satz 8.2 Wege a (0, ) ist: lim a lim ( a ). 2

3 Hausübug Aufgabe H (Recheregel für Grezwerte) Es seie (a ), (b ) Folge i mit lim a a ud lim b b. Beweise Sie: (a) lim (a + b ) a + b (b) lim (αa ) αa für alle α (c) lim (a b ) a b Lösug: (a) Sei ɛ > 0. Wähle a, b so, dass a a < ɛ 2 für alle a ud b b < ɛ 2 für alle b. Setze 0 : max{ a, b }. Da gilt für alle 0 : (a + b ) (a+ b) (a a)+(b b) -Ugl. a a + b b < ɛ 2 + ɛ 2 ɛ. Also kovergiert (a + b ) gege a + b. (b) Sei ɛ > 0. Wähle 0 so, dass a a < ɛ ɛ für alle + α 0. Da gilt αa αa α a a < α ɛ + α für alle 0. Also kovergiert (αa ) gege αa. (c) Sei ɛ > 0. Setze ɛ : mi{ɛ, } ud wähle a, b so, dass a a < ɛ (+ b ) für alle a ud b b < ɛ (+ a ) für alle b. Setze 0 : max{ a, b }. Da gilt a b a b a b a b + a b a b -Ugl. a b a b + a b a b a a b + a b b < ɛ ( + b ) b ɛ + a ( + a ) ɛ ( + b ) b + b b + ɛ -Ugl. ɛ ( + b ) b + ɛ ( + b ) b b + ɛ < ɛ + ɛ ɛ ( ) ɛ + ɛ 9 + ɛ ɛ ɛ. Bei ( ) wurde verwedet, dass ɛ 2 ɛ, da 0 ɛ. Also kovergiert (a b ) gege a b. Aufgabe H2 (Kovergez vo Folge) Utersuche Sie auf Kovergez ud bestimme Sie gegebeefalls de Grezwert: Lösug: e : Es gilt e : c + c,, (c wie i G2) f : 2,, g : ( ) +,, h : + 5,. e c + c ( + )+ ( + )! also kovergiert (e ) gege die Eulersche Zahl e. f : Wir betrachte die Folge der Quotiete f + + ( + ) 2 f ( + )! ( + )+ ( + ) +, (2)!!! (2+2)! (+)! (+)! + ( + ) 2 (2 + )(2 + 2). f Nach de Recheregel für Grezwerte (Satz 7.8 d) gilt lim + <. Wähle f so, dass f + f 4 < ist für alle 8 0. Da gilt f + < + 7 < für alle f Nu ist für 0, da alle f ud somit f + positiv sid, f 0 f f 0 f 0 + f 0 +2 f... f 0 7 f 0 f 0 + f f 0 f Nach Satz 8.2 kovergiert die Folge ((7/8) ) gege 0, also gilt das auch für (f 0 (8/7) 0 (7/8) ). Nach dem Sadwich-Theorem, agewadt auf die Folge (0), (f ) ud (f 0 (8/7) 0 (7/8) ), ist damit (f ) eie Nullfolge.

4 g : Wie bei der Behadlug vo b i (G2), erhält ma für alle Mit Satz 7.8 (d) ud Satz 8. folgt g ( ) + + ( ) ( ) lim g + lim + Wäre (g ) koverget mit Grezwert g, da wäre ach Satz 7.8 (c) g lim g. Für de Limes 2 käme also ur ud i Frage. Wäre lim 2 2 g, da gäbe es 2 0 so, dass g < für alle Da wäre aber g > 0 für alle 0, ei Widerspruch! Gaz aalog im Fall lim g. 2 Also muss die Folge diverget sei. h : Wege + 5 ist + 5. Wege für fast alle (d.h. hier: für ) habe wir für fast alle. Laut Vorlesug gilt lim, ach Satz 7.8 (d) ist auch lim. Mit dem Sadwich-Theorem (Satz 7.8 f) folgt lim + 5. Aufgabe H (Cesàro-Mittel) Es sei (a ) eie reelle Folge. Wir defiiere b : k a k. (a) Beweise Sie: Falls (a ) kovergiert, da auch (b ), ud zwar gege de gleiche Grezwert. Hiweis: Wähle Sie zuächst (geschickt) ud zerlege Sie für die Summe b k + a k. (b) Zeige Sie: Die Umkehrug ist falsch, d.h. we (b ) kovergiert, da icht otwedig auch (a ). 2. (c) Kovergiert stets (b ), we (a ) beschräkt ist? Beweis oder Gegebeispiel. Bemerkug: Die Folge (b ) heißt Cesàro-Mittel vo (a ). Lösug: k a k + (a) Es sei a der Grezwert vo (a ). Sei ɛ > 0 gegebe. Da (a ) gege a kovergiert, gibt es so, dass a a < ɛ 2 für alle. Wähle 0 so, dass 0 2 ɛ k a k a (das gibt es ach dem Satz vo Archimedes, Satz.4 b). Ist u 0, da b a a k a -Ugl. (a k a) a k a a k a + a k a k < ɛ 2 + k k k k + a k a ɛ 2 + a k a ɛ ɛ 2 ɛ. Also kovergiert (b ) gege a. (b) Gegebeispiel: Setze a : ( ),. Da ist b k a k, falls ugerade. Wie i der Vorlesug 0, falls gerade k gezeigt, divergiert (a ) (Beispiel 7.4 c). Da aber b 0, kovergiert (b ) ach dem Sadwich-Theorem (Satz 7.8 f) gege 0. (c) Behauptug: (b ) kovergiert icht immer, we (a ) beschräkt ist. Gegebeispiel: Setze a : ( ) k, falls k < k für k, ud a :. (da die Folge ( k ) k0 mooto wächst ud ubeschräkt ist, gibt es zu jedem, 2, geau ei solches k) Da gilt b k ( ) k 2 für alle k : b k ( ) k k a k ( ) k -Ugl. k a ( ) k k k a ( ) k + k a k 2 + k k k k + k k k a ( ) k k 4

5 Das bedeutet aber, dass (b ) icht kovergiere ka. Asoste hätte (b ) eie Grezwert b. Es gäbe 0 so, dass b b < für alle 0. Wähle k so, dass k 0. Da ist b ( ) k b b k + b k ( ) k b b k + b k ( ) k < + 2 ud b ( ) k+ b b k+ + b k+ ( ) k+ b b k+ + b k+ ( ) k+ < + 2. Es würde folge 2 ( ) k ( ) k+ ( ) k b + b ( ) k+ ( ) k b + b ( ) k+ < + 2, ei Widerspruch. 5