y (t) Wie berechnet sich die Ableitung von F aus den Ableitungen von x (t) und y (t)? Die Antwort gibt die erste Kettenregel

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2 103 Differenzialrechnung Kettenregeln Die Kettenregel bei Funktionen einer Variablen erlaubt die Berechnung der Ableitung von verketteten Funktionen Je nach Verkettung gibt es bei Funktionen von zwei Variablen entsprechende Differenziationsregeln 1 Kettenregel Die Bewegung eines Massenpunktes in der (x, y)-ebene lässt sich durch zwei Funktionen der Zeit t beschreiben: x(t) gibt die x-koordinate und y(t) die y-koordinate des Punktes an Beide Koordinaten liefern den Ortsvektor ( ) x (t) t r(t) = y (t) Zum Zeitpunkt t 0 befinde sich der Massenpunkt an der Stelle mit den Koordinaten (x (t 0 ), y (t 0 )) Da der bewegte Massenpunkt eine Kurve in der Ebene durchläuft, nennt man diese Zuordnung eine ebene Kurve, im dreidimensionalen Fall eine Raumkurve Ferner liege eine Funktion f (x, y) vor, deren Definitionsbereich alle Kurvenpunkte enthält Dann lässt sich die Funktion F von einer Variablen bilden F : t F (t) := f (x (t), y (t)) Wie berechnet sich die Ableitung von F aus den Ableitungen von x (t) und y (t)? Die Antwort gibt die erste Kettenregel 1 Kettenregel: Sind x (t) und y (t) differenzierbare Funktionen einer Variablen und f (x, y) eine stetig partiell differenzierbare Funktion, welche (x (t), y (t)) im Definitionsbereich enthält Dann ist die verkettete Funktion F : IR IR t F (t) := f (x (t), y (t)) differenzierbar und es gilt F (t) = f x (x (t), y (t)) x (t) + f y (x (t), y (t)) y (t) kurz: df dt = x dx dt + y dy dt

3 Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen Anwendungsbeispiel CD11 (Waagrechter Wurf) Beim waagrechten Wurf aus der Höhe y 0 sind die Koordinaten des Massenpunktes x (t) = v x t y (t) = y 0 1 g t Der Abstand d zum Ursprung beträgt Abb 104 Waagrechter Wurf d (x, y) = x + y Gesucht ist der Zeitpunkt t, bei dem dieser Abstand minimal wird Zur Bestimmung des Zeitpunktes gehen wir zur Funktion D (t) über D : t D (t) := d (x (t), y (t)) und bilden dd dt = d x dx dt + d y dy dt = x D v x + y D ( g t) Aus dd dt = 0 folgt x v x+y ( g t) = 0 Setzt man nun die Bewegungsgleichungen und ein, so gilt vx t g t (y 0 1 ) g t = 0 t 3 + g ( v x g y 0 ) t = 0 t = 0 oder t = y 0 g v x g ( ) x (t) Beispiel CD1 r (t) = ist eine ebene Raumkurve und f (x, y) eine differenzierbare y (t) Funktion F (t) := f (x (t), y (t)) beschreibt den Funktionsverlauf von f entlang der Kurve r(t) und F (t) = f x ẋ + f y ẏ = r (t) grad (f) die Änderung der Funktion f entlang der Kurve r Ist die Kurve r eine Niveaulinie von f (=Äquipotentiallinie, Höhenlinie), dann ändert sich der Funktions-

4 103 Differenzialrechnung 555 wert entlang dieser Niveaulinie nicht Daher ist F (t) = const F (t) = 0 r (t) grad (f) Hieraus ergibt sich folgende wichtige Folgerung: Satz: Der Tangentenvektor r (t) steht senkrecht auf dem Gradienten grad (f) Kettenregel Problemstellung: Das elektrische Feld E einer Punktladung q in der Ebene ist eine Funktion des Abstandes r = (x, y) zur Punktladung Der Betrag des elektrischen Feldes ist E = E1 (x, y) + E (x, y) Wie ändert sich dieser Betrag, wenn man den Ort x variiert? Gesucht ist die partielle Ableitung von E nach x E entspricht der Verkettung von f mit Funktionen von zwei Variablen Kettenregel: Seien u (x, y), v (x, y) partiell differenzierbare Funktionen in x und y, f (u, v) eine stetig partiell differenzierbare Funktion in u und v Dann ist die verkettete Funktion F : IR IR (x, y) F (x, y) := f (u (x, y), v (x, y)) nach x und y partiell differenzierbar und für die partiellen Ableitungen gilt F x (x, y) = f u (u, v) u x (x, y) + f v (u, v) v x (x, y) F y (x, y) = f u (u, v) u y (x, y) + f v (u, v) v y (x, y) kurz: F x = u u x + v v x F y = u u y + v v y ( )

5 Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen Bemerkung: Führt man die sog Funktionalmatrix ( ) u v ux v J := x = x x u y v y u v y y ein, erhält man in der Matrizenschreibweise eine besonders kurze Form von Gleichung ( ) ( ) ( ) ( ) Fx ux v = x fu F y u y v y f v Beispiel CD13 Wie ändert sich der Betrag E = E1 (x, y) + E (x, y), wenn man x variiert? E x = E 1 (x, y) + E (x, y) E 1 (x, y) 1 E 1 (x, y) + E (x, y) E (x, y) x E 1 (x, y) + x E (x, y) Anwendung: Koordinatentransformation Die zweite Kettenregel wendet man häufig in der Situation an, dass die Punkte der Ebene durch zwei Koordinatensysteme (ein (x, y)-system und ein (u, v)- System) beschrieben werden Ein Punkt mit Koordinaten x und y hat im (u, v)-system die Koordinaten u (x, y) und v (x, y) Eine auf der Ebene definierte Funktion f (u, v) besitzt auf (x, y) bezogen, die Form g (x, y) = f (u (x, y), v (x, y)) Beispiel CD14(Polarkoordinaten) Durch die Gleichungen x = r cos ϕ y = r sin ϕ ist die Transformation zwischen Polar- und kartesischen Koordinaten festgelegt Ist f (x, y) differenzierbar, dann gilt für Abb 105 die Ableitung der Funktion im Polarkoordinatensystem g (r, ϕ) = f (x (r, ϕ), y (r, ϕ)) g r (r, ϕ) = f x x r + f y y r = f x cos ϕ + f y sin ϕ g ϕ (r, ϕ) = f x x ϕ + f y y ϕ = f x r sin ϕ + f y r cos ϕ

6 103 Differenzialrechnung 557 Zusammenstellung der Kettenregeln (1) Kettenregel für Funktionen mit einer Variablen IR IR IR x g (x) f (g (x)) d df f (g (x)) = dx dg (g (x)) dg dx (x) () Kettenregel 1 für Funktionen mit n Variablen IR IR n IR t (x 1 (t),, x n (t)) f (x 1 (t),, x n (t)) d dt f (x 1 (t),, x n (t)) = x 1 dx 1 dt + + x n dx n dt (3) Kettenregel IR m IR n IR x 1 u 1 (x 1,, x m ) x m u n (x 1,, x m ) f (u 1 ( ),, u n ( )) = u u n x 1 u 1 x 1 u n x 1 = u u n x m u 1 x m u n x m wobei bei u k das Argument (u 1 (x 1,, x m ),, u n (x 1,, x m )) u und bei x k das Argument (x 1,, x m ) zu setzen ist (4) Spezialfall der Kettenregel : IR m IR IR x 1 x m u (x 1,, x m ) f (u (x 1,, x m )) = df x 1 du u x 1,, = df x m du u x m

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