3. Kreisbewegung. Punkte auf einem Rad Zahnräder, Getriebe Drehkran Turbinen, Hubschrauberrotor

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1 3. Kreisbewegung Ein wichtiger technischer Sonderfall ist die Bewegung auf einer Kreisbahn. Dabei hat der Punkt zu jedem Zeitpunkt den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt. Beispiele: Punkte auf einem Rad Zahnräder, Getriebe Drehkran Turbinen, Hubschrauberrotor Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

2 3. Kreisbewegung 3.1 Kreisbewegung als eindimensionale Bewegung 3.2 Kreisbewegung als räumliche Bewegung 3.3 Gleichförmige Kreisbewegung 3.4 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

3 3.1 Kreisbewegung als eindimensionale Bewegung Die Kreisbewegung kann als Bewegung auf einer gegebenen Kreisbahn betrachtet werden. Bei einer Bewegung auf einer Kreisbahn kann als Ortskoordinate anstelle der Bogenlänge auch der Winkel gewählt werden. Wird der Winkel gewählt, so lässt sich anstelle der Bahngeschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit und anstelle der Bahnbeschleunigung die Winkelbeschleunigung einführen. Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

4 3.1 Kreisbewegung als eindimensionale Bewegung Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit: Für den auf der Kreisbahn zurückgelegten Weg gilt: P s (t )=r ϕ(t ) Dabei muss der Winkel im Bogenmaß angegeben werden. Die Bahngeschwindigkeit berechnet sich zu v(t )= ds dt (t )=ṡ (t )=r ϕ(t ) r ϕ s Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

5 3.1 Kreisbewegung als eindimensionale Bewegung Die zeitliche Ableitung des Winkels wird als Winkelgeschwindigkeit bezeichnet: ω(t )= ϕ(t ) Zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit besteht die Beziehung v(t )=ω(t )r Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist 1 pro Zeiteinheit. Geläufige Einheiten: 1 s = 60 min, 1 min = s Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

6 3.1 Kreisbewegung als eindimensionale Bewegung Bahnbeschleunigung und Winkelbeschleunigung: Die Bahnbeschleunigung ist die zeitliche Ableitung der Bahngeschwindigkeit: a t (t )= v(t )= s(t )=r ϕ(t ) Die zeitliche Ableitung der Winkelgeschwindigkeit wird als Winkelbeschleunigung bezeichnet: ω(t )= ϕ(t ) Zwischen Bahnbeschleunigung und Winkelbeschleunigung besteht die Beziehung a t (t )=r ω(t ) Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

7 3.1 Kreisbewegung als eindimensionale Bewegung Die Einheit der Winkelbeschleunigung ist 1 pro Zeit zum Quadrat. Eine gängige Einheit ist 1/s 2. Starre rotierende Scheibe: Auf einer starren rotierenden Scheibe haben alle Punkte die gleiche Winkelgeschwindigkeit und die gleiche Winkelbeschleunigung. Bahngeschwindigkeit und Bahnbeschleunigung sind für Punkte mit unterschiedlichem Radius verschieden. Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

8 3.2 Kreisbewegung als räumliche Bewegung Kreisbewegung als räumliche Bewegung: Die Kreisbewegung lässt sich als räumliche Bewegung auch durch kartesische Koordinaten beschreiben. Dadurch lässt sich neben der Bahnbeschleunigung auch die Normalbeschleunigung angeben. Das Koordinatensystem kann so gewählt werden, dass die Bewegung in der xy-ebene stattfindet. Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

9 3.2 Kreisbewegung als räumliche Bewegung Ortsvektor: y Für die Ortskoordinaten eines Punktes auf der Kreisbahn gilt: x (t )=r cos(ϕ(t )) y (t )=r sin(ϕ(t )) y(t) r ϕ x(t) x Die Ortskoordinaten sind die Komponenten des Ortsvektors: r (t )=r cos (ϕ(t )) e x +r sin (ϕ(t )) e y oder [ r (t ) ]=[ Für den Betrag gilt: r cos (ϕ(t )) r sin (ϕ(t )) ] r (t ) = r 2 sin 2 ϕ(t )+r 2 cos 2 ϕ(t )=r sin 2 ϕ(t )+cos 2 ϕ(t )=r Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

10 3.2 Kreisbewegung als räumliche Bewegung Geschwindigkeitsvektor: v(t )=ṙ (t )= r ϕ(t )sin (ϕ(t )) e x +r ϕ(t )cos (ϕ(t )) e y =r ϕ(t )( sin (ϕ(t )) e x +cos (ϕ(t )) e y ) =v(t )( sin (ϕ(t ) ) e x +cos (ϕ(t )) e y )=v (t )e t (t ) Der Geschwindigkeitsvektor ist tangential zur Kreisbahn und steht daher senkrecht auf dem Ortsvektor: [ cos (ϕ(t )) [ r (t )]=r sin (ϕ(t )) ], [v(t )]=v(t )[ sin (ϕ(t )) cos (ϕ(t )) ] r (t ) v(t )=r v(t ) [ cos (ϕ(t )) sin (ϕ(t ))+sin (ϕ(t )) cos (ϕ(t )) ]=0 Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

11 3.2 Kreisbewegung als räumliche Bewegung y v v sin(ϕ) ϕ ψ v cos(ϕ) r sin(ϕ) r ϕ ϕ x ϕ+ψ=90 r cos(ϕ) Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

12 3.2 Kreisbewegung als räumliche Bewegung Bahngeschwindigkeit: Für den Betrag des Geschwindigkeitsvektors gilt: v = v x 2 +v y 2 = v (t ) sin 2 (ϕ)+cos 2 (ϕ)= v(t ) =r ω Für den Einheitstangentenvektor gilt e t (t )= v(t ) v(t ) = sin(ϕ)e x +cos(ϕ)e y oder [e t ]=[ sin(ϕ) cos(ϕ) ] Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

13 3.2 Kreisbewegung als räumliche Bewegung Beschleunigungsvektor: Die zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsvektors führt auf a(t )= v(t )= d dt ( v (t )e t (t ))= v (t )e t (t )+v(t )ė t (t ) =a t (t )+v(t ) ϕ(t )( cos (ϕ(t )) e x sin (ϕ(t )) e y ) =a t (t ) ϕ 2 (t )r (cos (ϕ(t )) e x +sin (ϕ(t )) e y ) =a t (t ) ω 2 (t ) r (t )=a t (t )+a n (t ) a t a n Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

14 3.2 Kreisbewegung als räumliche Bewegung Normalbeschleunigung: Die Normalbeschleunigung an ist entgegen dem Ortsvektor r gerichtet. Sie wird daher als Zentripetalbeschleunigung bezeichnet. Für den Betrag der Normalbeschleunigung gilt: Bahnbeschleunigung: a n = ω 2 r a n = a n =ω 2 r = v2 v2 2 r= r r a t = v e t Für den Betrag der Bahnbeschleunigung gilt: a t = a t = v =r ω =r ϕ Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

15 3.2 Kreisbewegung als räumliche Bewegung Drehachse: Die Gerade durch den Mittelpunkt des Kreises, die senkrecht auf der Kreisebene steht, wird als Drehachse bezeichnet. M r v P Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

16 3.2 Kreisbewegung als räumliche Bewegung Vektor der Winkelgeschwindigkeit: Der Betrag stimmt mit der Winkelgeschwindigkeit überein: ω M r v ω = ω P Die Richtung stimmt mit der Drehachse überein. Die Orientierung wird durch die Rechthandregel festgelegt. Dann gilt: v=ω r Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

17 3.2 Kreisbewegung als räumliche Bewegung Nachweis: Der Vektor r zeigt in Richtung von v. Für den Betrag gilt: ω r = ω r sin (ω, r )= ω r sin(90 )= ω r= v Für den Beschleunigungsvektor folgt: a= v= ω r+ω ṙ= ω r+ω v=a t + a n Bahnbeschleunigung: a t = ω r Zentripetalbeschleunigung: a n =ω v=ω (ω r ) Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

18 3.3 Gleichförmige Kreisbewegung Definition: Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist die Winkelgeschwindigkeit ω konstant: ω(t )=ω 0 =const. Überstrichener Winkel: Der Punkt bewegt sich mit der konstanten Bahngeschwindigkeit v 0 =ω 0 r auf der Kreisbahn. Für die Ortskoordinate gilt: s (t ) s 0 =v 0 (t t 0 ) r (ϕ(t ) ϕ 0 )=ω 0 r (t t 0 ) Daraus folgt für den Winkel: ϕ(t )=ϕ 0 +ω 0 (t t 0 ) Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

19 3.3 Gleichförmige Kreisbewegung Umlaufzeit und Drehzahl: Während einer Umdrehung wird ein Winkel von 2π überstrichen. Die dafür benötigte Umlaufzeit T berechnet sich aus 2 π=ϕ(t +T ) ϕ(t )=ω 0 T T = 2 π ω 0 Die Drehzahl n gibt die Anzahl der Umdrehungen pro Zeit an: n= 1 T = ω 0 2 π Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

20 3.3 Gleichförmige Kreisbewegung Die Drehzahl wird in Umdrehungen pro Minute angegeben. Der Zusammenhang zwischen Drehzahl n in 1/ min und Winkelgeschwindigkeit in 1/ s ist gegeben durch ω 0 = 2 π n 60 s/ min = π n 30 s/ min Geschwindigkeit und Beschleunigung: Bahngeschwindigkeit: Zentripetalbeschleunigung: Bahnbeschleunigung: v=ṡ=ω 0 r=const. a n =ω 2 0 r= v 2 r =const. a t = ω r=0 Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

21 3.3 Gleichförmige Kreisbewegung Beispiel: Die beiden Rollen sind durch einen dehnstarren Riemen verbunden. Punkt P hängt an einem dehnstarren Seil, das auf Rolle 2 aufgewickelt wird. Gesucht: Winkelgeschwindigkeit ω 2 von Rolle 2 und Geschwindigkeit v P von Punkt P ω 1 r r 3 1 r 2 Gegeben: ω 2 v P Winkelgeschwindigkeit ω 1 von Rolle 1 P Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

22 3.3 Gleichförmige Kreisbewegung Punkt A bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω 1 auf einer Kreisbahn mit Radius r 1. Daher gilt: v A =ω 1 r 1 v A v B v C A r r 3 1 r 2 ω 1 ω 2 B C Die Punkte A und B sind durch einen dehnstarren Riemen verbunden. Daher gilt: v B =v A v P P Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

23 3.3 Gleichförmige Kreisbewegung Punkt B bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω 2 auf einer Kreisbahn mit Radius r 3. Daher gilt: v A =v B =ω 2 r 3 ω 1 r 1 =ω 2 r 3 ω 2 =ω 1 r 1 r 3 Punkt C bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω 2 auf einer Kreisbahn mit Radius r 2. Daher gilt: v C =ω 2 r 2 =ω 1 r 1 r 2 r 3 Punkt P ist über ein dehnstarres Seil mit Punkt C verbunden. Daher gilt: v P =v C =ω 1 r 1 r 2 r 3 Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

24 3.4 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Definition: Bei einer gleichmäßig beschleunigten Kreisbewegung ist die Winkelbeschleunigung konstant: ω(t )= ω 0 =const. Winkelgeschwindigkeit und Winkel: Der Punkt führt auf der Kreisbahn eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der konstanten Bahnbeschleunigung a t = ω 0 r aus. Für die Bahngeschwindigkeit gilt: v(t ) v 0 =a t (t t 0 ) r (ω(t ) ω 0 )= ω 0 r (t t 0 ) Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

25 3.4 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Daraus folgt für die Winkelgeschwindigkeit: ω(t )=ω 0 + ω 0 (t t 0 ) Für die Ortskoordinate gilt: s (t ) s 0 =v 0 (t t 0 )+ 1 2 a t (t t 0 ) 2 r (ϕ(t ) ϕ 0 )=ω 0 r (t t 0 )+ 1 2 ω 0 r (t t 0 ) 2 Daraus folgt für den Winkel: ϕ(t )=ϕ 0 +ω 0 (t t 0 )+ 1 2 ω 0 (t t 0 ) 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

26 3.4 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Beispiel: Ein Schwungrad (Durchmesser d = 60 cm) wird aus der Ruhelage gleichmäßig beschleunigt und hat nach t 2 = 20 s eine Drehzahl von n = 1000 min -1 erreicht. Gesucht: Winkelbeschleunigung Anzahl der Umdrehungen in der Zeit t2 Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes auf dem Umfang zur Zeit t 1 = 1 s nach dem Anlaufen Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

27 3.4 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Anfangsbedingungen: Die Zeit wird ab Beginn des Anlaufens gemessen: t0 = 0 Der Winkel wird ab der Ruhelage gemessen: ϕ0 = 0 Die Bewegung startet aus der Ruhelage: ω0 = 0 Winkelbeschleunigung: Mit den gegebenen Anfangsbedingungen gilt: ω 2 =ω(t 2 )= ω 0 t 2 ω 0 = ω 2 Für die Winkelgeschwindigkeit gilt: ω 2 = n π 30 s/min =1000 π 30 t 2 1 s =104,7 1 s Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

28 3.4 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Damit berechnet sich die Winkelbeschleunigung zu ω 0 = 104,7 s 1 20 s Anzahl der Umdrehungen: =5,235 1 s 2 Für den überstrichenen Winkel gilt: ϕ 2 =ϕ(t 2 )= 1 2 ω 0 t 2 2 = 1 2 ω 2 t 2 Zahlenwert: ϕ 2 = , s=1047 s Bei einer Umdrehung wird ein Winkel von 2π überstrichen. Damit gilt für die Anzahl der Umdrehungen: N 2 = ϕ 2 2 π = π =166,6 Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

29 3.4 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes auf dem Umfang: Die Winkelgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t1 = 1 s beträgt ω 1 =ω(t 1 )= ω 0 t 1 =5,235 1 s 2 1s=5,235 1 s Ein Punkt auf dem Umfang hat den Radius r=d /2=30 cm=0,3 m Seine Geschwindigkeit beträgt v 1 =ω 1 r=5, ,3 m=1,571 m/s s Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM

30 3.4 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Seine Normalbeschleunigung (Zentripetalbeschleunigung) beträgt a n 1 =ω 2 1 r=5, s 2 0,3 m=8,221 m/s2 =0,8380 g Seine Bahnbeschleunigung beträgt a t 1 = ω 0 r=5,235 1 s 2 0,3 m=1,571 m/s2 =0,1601 g Der Betrag der Gesamtbeschleunigung ist a 1 = a 2 n 1 +a 2 t 1 =8,370 m/s 2 =0,8532 g Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM