Da die Fragen unabhängig voneinander und zufällig ausgewählt werden, ist die Wahrscheinlichkeit für eine Frage aus dem Gebiet Sport 1/10.

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1 htw saar 1 Aufgabe 1 Für ein Fernsehquiz sollen Fragen zufällig und unabhängig voneinander aus zehn Wissensgebieten ausgewählt werden, darunter die Gebiete Sport und Politik. In jedem Gebiet stehen ausreichend viele gleichwertige Fragen zur Verfügung. Wie viele Fragen müssen mindestens ausgewählt werden, so dass man darauf wetten kann, dass wenigstens eine Frage aus dem Gebiet Sport dabei ist? Da die Fragen unabhängig voneinander und zufällig ausgewählt werden, ist die Wahrscheinlichkeit für eine Frage aus dem Gebiet Sport 1/10. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die n-te Frage die erste Frage aus dem Gebiet Sport ist, berechnet sich als (9/10) n-1 * (1/10). (Geometrische Verteilung) Man kann also nur bei unendlich vielen Fragen sicher sein, dass eine Sport-Frage dabei ist.

2 htw saar 2 Aufgabe 2 Schwester Hannelore verteilt sehr oft Placebos, denn sie weiß, dass 40% der Patienten, die Beruhigungsmittel nehmen, auch auf diese ansprechen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit (in %) befindet sich unter vier von diesen Personen mindestens eine, die auf Placebos anspricht? Binomialverteilung mit p = 0,4. Zu berechnen sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass 1, 2, 3 oder 4 Personen auf Placebos ansprechen. Wahrscheinlichkeit 87,0% Alternativ und einfacher: Komplementärwahrscheinlichkeit (1 P(Es spricht keine Person auf Placebos an)) Mit welcher Wahrscheinlichkeit (in %) befinden sich unter zehn Personen genau vier, die auf Placebos ansprechen? Bin(4; 10, 0.4) = 0,251 => Wahrscheinlichkeit 25,1%

3 htw saar 3 Aufgabe 2 Fortsetzung Wie vielen Personen muss Krankenschwester Hannelore mindestens Placebos verteilen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99,9 % wenigstens eine zu finden, die auf darauf anspricht? Komplementärwahrscheinlichkeit: P(mindestens eine Person spricht an) = 1 P(keine Person spricht an) > 0,999 => 0,001 > P(keine Person spricht an) = * 0,6n = 0,6 n Logarithmieren => n > 13,52

4 htw saar 4 Aufgabe 3 Laut einer aktuellen Umfrage liegt der Anteil der Männer mit häufig wechselnden Sexualkontakten, die keine Kondome benutzen (Kondommuffel), bei 40 %. In einer AIDS-Beratungsstelle rufen in zufälliger Reihenfolge Männer aus der beschriebenen Bevölkerungsgruppe an. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit (in %) ist frühestens der vierte der erste Kondommuffel? Geometrische Verteilung G(4, 0.4) = 0,6 3 * 0,4 = 0,0864 => Wahrscheinlichkeit 8,64% b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit (in %) ist der zehnte Anrufer bereits der vierte Kondommuffel? Negative Binomialverteilung Bin - (10; 4, 0.4) = * 0,44 * 0,6 6 = 0,1003 => Wahrscheinlichkeit 10,03%

5 htw saar 5 Aufgabe 3 Fortsetzung c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit (in %) ist die zweite Person der erste und die zwölfte der fünfte Kondommuffel? Gesucht sind die 12-Tupel mit 5 Einsen, wobei die erste Eins an der zweiten und die fünfte Eins an der zwölften Stelle steht. (1) Erste Stelle 0, zweite Stelle 1: Wahrscheinlichkeit 0,6 * 0,4 = 0,24 (2) Betrachte jetzt die nächsten 10 Anrufe: Der zehnte ist der 4. Kondommuffel => Neg. Binomialverteilung mit n=10, k=4 => Bin - (10; 4, 0.4) = 0,1003 Gesamtwahrscheinlichkeit: 0,24 * 0,1003 = 0,02407 (2,41%) d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit (in %) ist spätestens der achte Anrufer der erste Kondommuffel? Unter den ersten 8 Anrufern befindet sich mindestens ein Kondommuffel. Komplementärereignis: Unter den ersten 8 Anrufern befindet sich kein Kondommuffel. Bin(0; 8, 0.4) = 0,0168 P(Mind. ein Kondommuffel unter ersten 8) = 1 0,0168 = 0,9832

6 htw saar 6 Aufgabe 3 Fortsetzung e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit (in %) befindet sich unter den ersten fünf Anrufern genau ein Kondommuffel? Bin(1; 5, 0.4) = * 0,4 * 0.64 = 0,2592 => Wahrscheinlichkeit 25,92%

7 htw saar 7 Aufgabe 4 Nach geologischen Untersuchungen werden reichhaltige Erdölvorkommen in einem bestimmten Gebiet vermutet. Eine größere Anzahl von Probebohrungen führt in 12% aller Fälle zum Erfolg. Weitere Bohrungen sind vorgesehen. Wie viele Bohrungen sind notwendig, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine erfolgreiche Bohrung über 90 % liegt? P(mindestens eine Bohrung erfolgreich) = 1 P(keine Bohrung erfolgreich) > 0,9 0,1 > P(keine Bohrung erfolgreich) = * 0,88n = 0,88 n Logarithmieren => n > 18,01

8 htw saar 8 Aufgabe 5 In einer Großbank kommen 80% der männlichen Kreditkunden ihren Kreditverpflichtungen pünktlich nach, 15% schleppend nach, und bei 5% muss die Bank den Kredit abschreiben. Bei den weiblichen Kreditkunden sind die entsprechenden Zahlen 85 %, 10% und 5 %. Von den Kreditkunden der Bank sind 70% männlich. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus dem Kreis aller Kreditkunden ausgewählte Person ihren Kreditverpflichtungen pünktlich nachkommt? M Kunde ist männlich W Kunde ist weiblich VP Kunde kommt Verpflichtungen pünktlich nach VS Kunde kommt Verpflichtungen schleppend nach VN Kunde kommt Verpflichtungen nicht nach (Bank muss Kredit abschreiben) Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit mit M W = Ω. P(VP) = P(VP M) * P(M) + P(VP W) * P(W) = 0,8 * 0,7 + 0,85 * 0,3 = 0,56 + 0,255 = 0,815

9 htw saar 9 Aufgabe 5 Fortsetzung b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus dem Kreis aller Kreditkunden ausgewählte Person weiblich ist, falls die Person ihren Kreditverpflichtungen nur schleppend nachkommt? Multiplikationssatz: P(VS W) = P(VS W) * P(W) = 0,1 * 0.3 = 0,03. c) Sind die Ereignisse Kunde ist männlich und Kunde zahlt pünktlich stochastisch unabhängig? (1) Multiplikationssatz: P(VP M) = P(VP M) * P(M) = 0,8 * 0,7 = 0,56. (2) Nach a): P(VP) = 0,815, also P(VP) * P(M) = 0,815 * 0,7 = 0,5705 => Nicht unabhängig

10 htw saar 10 Aufgabe 6 Die drei Töchter Mariah, Britney und Christina haben es übernommen, jeden Abend das Geschirr zu spülen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Mariah, die älteste, abwäscht, ist 0,6, dass Britney spült, 0,3 und dass Christina, die jüngste, spült, 0,1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stück zu Bruch geht, ist bei Mariah 0,05, bei Britney 0,2 und bei Christina 0,1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stück zu Bruch geht? M Mariah spült B Britney spült C Christina spült Br Bruch Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: P(Br) = P(Br M) * P(M) + P(Br B) * P(B) + P(Br C) * P(C) = 0,05 * 0,6 + 0,2 * 0,3 + 0,1 * 0,1 = 0,1

11 htw saar 11 Aufgabe 6 Fortsetzung b) Man hört Scherben klirren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mariah gerade abspült? P(M Br) = P(M Br) / P(Br) = (Multiplikationssatz) P(Br M) * P(M) / P(Br) = 0,05 * 0,6 / 0,1 = 0,03 / 0,1 = 0,3 c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mariah abspült und ein Stück zu Bruch geht? Multiplikationssatz: P(M Br) = P(Br M) * P(M) = 0,05 * 0,6 = 0,03 d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mariah nicht abspült? 1 P(M) = 0,4

12 htw saar 12 Aufgabe 7 Zur Früherkennung einer Hörstörung bei Neugeborenen wird ein Test angeboten. Bei 98,9 % der schwerhörigen Kinder wird die Schwerhörigkeit auch erkannt. Man sagt auch, die Sensitivität des Testes beträgt 0,989. Bei 10 % der gesunden Kinder wird fälschlicherweise eine Schwerhörigkeit angezeigt. Man sagt auch, die Spezifität des Testes beträgt 1 0,1, also 0,9. Die relative Häufigkeit der Erkrankung unter allen Neugeborenen beträgt 0,002. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getestetes Neugeborenes tatsächlich schwerhörig ist? Satz von Bayes Spezialfall n = 2. Anwendung der Formel aus Vorlesung mit B schwerhörig und A positives Testergebnis P(A B) P(B) P(B A) = P(A B) P(B) P(A B = (0,989 * 0,002) / (0,989 * 0, ,1 * 0,998) = 0,0194 ) (1 P(B)) b) Wie groß ist bei Getesteten die Anzahl derjenigen, die als gesund getestet werden, aber eine Hörstörung haben? Bei 1,1% der Kinder mit Hörstörung wird diese nicht erkannt. Bei sind 200 Kinder mit Hörstörung zu erwarten. Also wird sie bei rund 2 (2,2) nicht erkannt.

13 htw saar 13 Aufgabe 8 Eine Schule wird von 476 Schülerinnen und 560 Schülern besucht. 105 Schülerinnen und 125 Schüler tragen eine Brille. Hängt das Brillentragen der Jugendlichen vom Geschlecht ab? A weiblich B Brille tragen P(A B) = 105 / 1036 = 0,101 P(A) = 476 / 1036 = 0,459 P(B) = 230 / 1036 = 0,222 P(A) * P(B) = 0,459 * 0,222 = 0,101 Damit hängt das Tragen einer Brille nicht vom Geschlecht ab.