Übungen zur Theoretischen Physik I: Mechanik

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1 Prof Dr H Friedrich Physik-Departent T30a Technische Universität München Blatt 4 Übungen zur Theoretischen Physik I: Mechanik (Abgabe schriftlich, in der Übungsgruppe in der Woche vo ) Betrachten Sie die Bewegung eines Massenpunktes der Masse i Zentralfeld U(r) = α, α > 0 () r2 (a) Skizzieren Sie das effektive Potential und unterscheiden Sie dabei die folgenden Fälle bezüglich Energie E und Drehipuls : (i) 2 2 > α, E > 0 (ii) 2 2 < α, E > 0 ösung: Man schreibt das effektive Potential als ( ) U eff (r) = U(r) r 2 = 2 α r 2 Es verhält sich also i Fall (i) wie /r 2 und für (ii) wie /r 2 Wenn a eine charakteristische änge ist, sieht die Skizze dait wie folgt aus (U eff in willkürlichen Einheiten): 5 U eff r a Abbildung : Die gestrichelte inie gehört zu (i), die durchgezogene zu (ii)

2 (b) Bestien Sie in den Fällen (i) und (ii) aus (a) die radiale Koordinate r als Funktion des Winkels θ sowie die Zeit t als Funktion von r Welche Bewegung führt der Massenpunkt aus? ösung: Zunächst erhält an aus den Bewegungsgleichungen den Winkel θ als Funktion der radialen Koordinate r (E ist die Energie): r x 2 [2(E + α/x 2 ) 2 /x 2 ] /2dx (2) Mit schreibt sich Gl (2) als a = 2 2α 2E (3) Die Substitution u = /x führt auf r 2E Fall (i): Hier ist a > 0, und an erhält x 2 [ a/x 2 ] /2dx (4) /r 2E [ au 2 ] /2du (5) / 2Ea (arcsin[ a/r] arcsin[ a/ ]) (6) Mit der Wahl = a (dies ist der Ukehrpunkt der Bewegung) ergibt sich 2α 2 arcsin[ a/r] + π/2 (7) Diese Gleichung löst an nach /r auf und verwendet die Identiät sin(x π/2) = cos x: ( ) 2E r = 2 2α cos θ 2α 2 (8) Fall (ii): Hier ist a < 0, und das Integral in Gl (5) wird zu 2E a (arcsinh[ a /r] arcsinh[ a / ]) (9) Hier ist die Wahl sinnvoll, allerdings gilt die Gleichung (2) genaugenoen nur für r >, für r < ist die rechte Seite it zu ultiplizieren Das liegt daran, dass 2

3 sich das Teilchen für r < von großen zu kleinen Werten von r bewegt, und dait ist ṙ < 0 (geht in die Herleitung von Gl (2) ein) Mit dieser Änderung ergibt sich ( ) 2E 2α r = 2α 2 sinh θ 2 (0) Die Zeit t als Funktion der radialen Koordinate r ergibt sich aus de Integral (hier ist keine Unterscheidung zwischen a > 0 und a < 0 notwendig) t = Mit der Definition (3) wird dieser Ausdruck zu t = r r 2E [2(E + α/x 2 )/ 2 /(x) 2 ] /2dx () [ r [ a/x 2 ] /2dx = a/x x] 2E 2 (2) Ist an nur an Zeitdifferenzen zwischen zwei Punkten interessiert, dann kann an setzen t = Er E α (3) Beschreibung der Bewegung: I Fall (i) kann sich das Teilchen de Ursprung nur bis auf r = a nähern und läuft dann nach r I Fall (ii) fällt das Teilchen auf einer Spiralbahn in das Zentru, das es bei θ = erreicht Beginnend i Abstand r braucht es dazu die endliche Zeit t = E 2 ( Er α α ) 2 Nehen Sie an, dass sich Erde und Mond kreisförig u den geeinsaen Schwerpunkt S drehen Ignorieren Sie die Eigenrotation der Erde und den Einfluss der Sonne 3

4 (a) In welche Verhältnis teilt der Schwerpunkt S die Verbindungslinie Erde-Mond? Wie verhält sich der Abstand des Erdittelpunktes M vo Schwerpunkt S zurdradius R E? Angaben: Masse der Erde: = 5, kg Masse des Mondes: M = 7, kg Erdradius: R E = 6370k ösung: Man hat Abstand Erdittelpunkt-Schwerpunkt Abstand Schwerpunkt-Mondittelpunkt = M = Wir bezeichnen den Abstand Erdittelpunkt-Schwerpunkt it R ES und den Abstand zwischen Mond- und Erdittelpunkt it Mit (a) hat an Dait folgt + M = R ES + R ES = R E ES M M R ES = R M EM R E R E + M M R E Die ösung von (b) liefert für den Abstand zwischen Mond- und Erdittelpunkt = Daraus folgt R ES R E = 075 Der Schwerpunkt des Erde-Mond Systes liegt denach innerhalb der Erde (b) Der Mond braucht für einen Ulauf u den geeinsaen Schwerpunkt von Erde und Mond etwa 28 Tage Berechnen Sie it dieser Angabe den Abstand zwischen Mondund Erdittelpunkt ösung: I Schwerpunktsyste uss die Zentrifugalkraft gerade die Anziehungskraft zwischen den beiden Körpern kopensieren (G Gravitationskonstante): M + M ω 2 = G M = [ G ] E + /3 M ω 2 Mit G = /(kgs 2 ) und ω = 2π/(28 Tage) findet an = (c) Betrachten Sie die Gravitationskraft, die der Mond auf eine Testasse an den Punkten A und B ausübt Berechnen Sie die Differenz der beiden Kräfte in erster Ordnung in R E /, sowie die dazugehörige Beschleunigung ösung: Der Betrag der Gravitationskraft auf eine Testasse bei Punkt B ist F B = G M ( M ( R E ) 2 = G M M REM 2 ( R E/ ) 2 GM M + 2 R ) E 4

5 Bei Punkt A ergibt sich F A = G M M ( + R E ) 2 GM M Für die Differenz der beiden Kräfte erhält an die Beschleunigung ist F B F A G M M REM 2 4 R E, ( 2 R ) E (F B F A )/ = G M M REM 2 4 R E = /s 2 5

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