Allgemeine Relativitätstheorie und Schwarze Löcher

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Elke Maurer
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1 1 Allgemeine Relativitätstheorie und Schwarze Löcher Christian Haderer

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3 KAPITEL 1 GRUNDLAGEN DER ALLGEMEINEN RELATIVITÄTSTHEORIE Die allgemeine Relativitätstheorie (kurz ART) ist immer noch die fundamentale Theorie von Raum, Zeit und Materie. Die ihr zugrundeliegenden Feldgleichungen, die Einsteingleichungen, stellen einen Zusammenhang her zwischen der Krümmung der Raumzeit und der Materieverteilung im Universum. Mathematisch wird die Allgemeine Relativitätstheorie im Rahmen der abstrakten Dierentialgeometrie formuliert, wobei hier eine Raumzeit selbst als vierdimensionale orientierte und zeitorientierte Lorentz-Mannigfaltigkeit aufgefasst wird. Aus Zeitmangel können wir hier den eigentlich notwendigen mathematischen Hintergrund nicht entwickeln, wir beginnen daher mit einer sehr anschaulichen Denition der Raumzeit. Denition 1. Die Raumzeit (das Universum) ist die Menge aller Ereignisse (t, x). Remark 2. Gravitation wird in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht als Kraftfeld (wie in der klassischen Physik) gedeutet, sondern ist ein Ausdruck der Krümmung der Raumzeit. Die Masse- bzw. Energieverteilung wird durch den so genannten Energie-Impuls-Tensor beschrieben. Fundamentalpostulat 3. Ist (M, g) eine Raumzeit, die Materie mit Energie- Impuls-Tensor T enthält, dann gilt wobei G der Einstein-Tensor ist. G = 8πT, Remark for Experts ;) 4. Mathematisch deniert man den Einstein-Tensor G einer Raumzeit als G := Ric 1 2 Sg, wobei wir mir Ric die ( 1 3) -Kontraktion des Riemannschen Krümmungstensorfeldes R bezeichnen und mit S die metrische Kontraktion ihres Ricci-Tensorfeldes 3

4 4KAPITEL 1. GRUNDLAGEN DER ALLGEMEINEN RELATIVITÄTSTHEORIE deuten. g ist das übliche Lorentzsche ( 0 2) -Tensorfeld, das in jedem Tangentialraum ein nicht degeneriertes und symmetrisches Skalarprodukt mit Zentralindex 1 in der Signator deniert.

5 KAPITEL 2 MATHEMATISCHER BACKGROUND Unser Ziel ist es nun die (Dierential)Geometrie Schwarzer Löcher zu untersuchen. Die Schwarzschild-Raumzeit ist dabei das primitivste relativistische Modell eines Universums, das nur einen einzigen Stern enthält und wurde 1916 von Karl Schwarzschild gefunden; kurz nachdem die Allgemeine Relativitätstheorie formuliert wurde. Während man die Schwarzschild-Metrik bequem aus einer Warped-Product-Konstruktion ableiten kann (einer Produktmannigfaltigkeitsdarstellung), begnügen wir uns hier lediglich mit ihrer Formulierung. Das Wichtige dabei ist, dass die Schwarzschildmetrik eine Lösung der obigen Einsteingleichungen ist, d.h. sie ist eine zulässige Deutung in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Um die Metrik zu formulieren, brauchen wir den Begri der abstrakten Tensoren und der Tensorfelder. Dazu die folgende Denition 5. Ein ( r s) -Tensor ist eine multilineare Abbildung g((t, x)) : T (t,x) M... T (t,x) M T (t,x) M... T (t,x) M R, wobei wir mit T (t,x) M den Tangentialraum am Ereignis (t, x) meinen und das kartesische Produkt r-mal über den Dualraum des Tangentialraums und s-mal über T (t,x) M selbst geht. Denition 6. Ein ( r s) -Tensorfeld ordnet nun jedem Ereignis (t, x) einen ( r s) - Tensor zu, ist also eine Abbildung g : (t, x) g((t, x)). Zur Denition des "Linienelements"brauchen wir noch den Begri der Tensorierung zweier Tensoren bzw. derer Tensorfelder, dieser ist aber sehr einfach (nämlich punktal) deniert. Denition 7. Sind g 1 ((t, x)) und g 2 ((t, x)) zwei Tensoren der Stufe ( r 1 s 1 ) bzw. 5

6 6 KAPITEL 2. MATHEMATISCHER BACKGROUND ( r2 s 2 ), dann ist ihr Tensorprodukt deniert als g 1 ((t, x)) g 2 ((t, x))(β 1,..., β r1, γ 1,..., γ r2, f 1,..., f s1, g 1,..., g s2 ) := g 1 ((t, x))(β 1,..., β r1, f 1,..., f s1 )g 2 ((t, x))(γ 1,..., γ r2, g 1,..., g s2 ) So weit, so unanschaulich! Unsere Metrik deniert sich jetzt allerdings sehr einfach, nämlich wenn wir in der obigen Denition des Tensorfeldes r = 0 und s = 2 setzen und verlangen, dass der in jedem Punkt angeheftete Tensor eine symmetrische und nicht ausgeartete Bilinearform ist. Die Geometrie reduziert sich hier also auf eine einfache Konstruktion in der Linearen Algebra. Fassen wir die Zeit t und den Radiusvektor r als (glatte) Funktionen auf und ordnen ihnen eine Ableitung zu (das kovariante Dierential), so schreibt sich die Schwarzschildmetrik als folgende Gleichung g = (1 2GM c 2 r )dt2 + dr2 1 2GM c 2 r + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ), wobei dt 2 := dt dt, dr 2 := dr dr, dθ 2 := dθ dθ und dφ 2 := dφ dφ ist. Das ist die Schwarzschildmetrik. Im Folgenden setzen wir G = c = 1. Sehr häug (und wir werden uns auch daran halten) ndet sich in der Literatur die Abkürzung dω 2 2 := dθ 2 + sin 2 θdφ 2, die Metrik schreibt sich also als g = (1 2M r )dt2 + dr2 1 2M r + r 2 dω 2 2.

7 KAPITEL 3 SCHWARZSCHILDGEOMETRY IN A NUTSHELL Remark 8. Wir betrachten jetzt die Schwarzschildmetrik mit r := r 0, θ := θ 0 und φ := φ 0, d.h. nur die Zeit t lassen wir variabel. Die Ableitungen dr, dθ und dφ verschwinden daher in unserer Metrik und es bleibt der Ausdruck Hier können nun zwei Fälle eintreten. (ZA) Wir setzen r > 2M und erhalten g = (1 2M r )dt2. (1 2M r )dt2 < 0, d.h. unsere Metrik wird zeitartig (ZA). (RA) Wir setzen r < 2M und erhalten (1 2M r )dt2 > 0, d.h. unsere Metrik wird raumartig (RA). Die Fläche r := r 0, θ := θ 0, φ := φ 0 und r = 2M heisst Horizont (oder Schwarzschildhorizont). Wenn wir uns die Schwarzschildmetrik noch einmal ansehen, stossen wir auf ein mathematisches Problem, wenn 1 2M r = 0 wird. In diesem Fall wird der Ableitungsterm mit dt 2 verschwinden und der Ableitungsterm mit dr 2 divergieren. An diesem Punkt besitzt die Metrik oensichtlich eine Singularität, aber keine geometrische, sondern eine Koordinatensingularität, d.h. eine undenierte Stelle, die nur durch eine schlechte Wahl der Koordinaten hervorgerufen wird. Um dieses Problem zu umgehen schreibt man die Metrik ein wenig um. Eine sehr akzeptable Lösung dafür ist die Kruskallösung. Formal schreibt sich unsere Metrik jetzt als g = 32M 3 e r 2M dudv + r 2 dω 2 r 2. 7

8 8 KAPITEL 3. SCHWARZSCHILDGEOMETRY IN A NUTSHELL Dabei sind die neuen (Kruskal)Koordinaten U und V jetzt gegeben durch und U := ( r 2M 1) 1 2 e r 4M e t 4M V := ( r 2M 1) 1 2 e r 4M e t 4M.

9 KAPITEL 4 PENROSE-DIAGRAMME Penrose-Diagramme (Carter-Penrose-Diagramme) sind unerlässliche Werkzeuge, um in der Allgemeinen Relativitätstheorie die Struktur einer Raumzeit im Unendlichen, insbesondere ihre kausale Struktur, zu untersuchen. Dabei dient eine spezielle mathematische Operation, die konforme Transformation, dazu, um sich eine konforme Metrik aus der zu untersuchenden Raumzeit zu beschaen. Die Eigenschaften der Metriken sind aufgrund der Konformität übertragbar. Das Penrose-Diagramm ist ein Raumzeit-Diagramm der konform kompaktizierten Raumzeit. Kompaktizierung bedeutet in diesem Zusammenhang, dass eine unendlich ausgedehnte, physikalische Raumzeit auf eine 'unphysikalische' Raumzeit in ein endliches Gebiet transformiert wird. Bei der Transformation bildet man vereinfacht gesagt unendliche Intervalle auf endliche Intervalle ab. Wir beginnen damit das Penrose-Diagramm für die Minkowski-Raumzeit, also die ache Raumzeit aufzustellen. Die Nomenklatur in Penrose-Diagrammen ordnet bestimmten Punkten und Flächen im Diagramm ein Symbol zu. Sie sind assoziiert mit unterschiedlichen Typen von Unendlichkeiten (VZU) Die vergangene zeitartige Unendlichkeit ist ein Gebiet, wo die Zeitkoordinate gegen negativ unendlich geht, während die Raumkoordinate endlich bleibt. Hier beginnen zeitartige Geodäten. In der Symbolik wird dies mit einem grossen oder kleinen Buchstaben i mit Index gekennzeichnet. (ZZU) Die zukünftige zeitartige Unendlichkeit ist ein Gebiet, wo die Zeitkoordinate gegen positiv unendlich geht, während die Raumkoordinate endlich bleibt. Hier enden zeitartige Geodäten. In der Symbolik wird dies mit einem grossen oder kleinen Buchstaben i mit Index + gekennzeichnet. (RU) Die raumartige Unendlichkeit ist ein Gebiet, wo die Raumkoordinate gegen positiv unendlich geht, während die Zeitkoordinate endlich bleibt. Bis hier erstrecken sich raumartige Flächen. In der Symbolik wird dies mit einem grossen oder kleinen Buchstaben i mit Index 0 gekennzeichnet. 9

10 10 KAPITEL 4. PENROSE-DIAGRAMME

11 KAPITEL 5 LITERATUR (i) Samir D. Mathur - The black hole geometry, (ii) Barrett O'Neill - Semi Riemannian geometry (with applications to general relativity), (iii) Stephen Hawking & George Ellis - The large scale structure of space-time. 11

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