70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen

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1 70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen 70. Motivation Zufallsvariablen sind nicht immer diskret, sie können oft auch jede beliebige reelle Zahl in einem Intervall [c, d] einnehmen. Beispiele für solche kontinuierlichen Zufallsvariablen sind Größe, Gewicht oder Zeit. In diesen Fällen macht es wenig Sinn, die Wahrscheinlichkeit anzugeben, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt (diese Wahrscheinlichkeit ist 0). Wir müssen Wahrscheinlichkeiten für Intervalle betrachten. Hierzu sind Begriffe wie Dichten notwendig Definition: (Dichte) Sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable. Existiert eine Funktion f : R R mit a) f(x) 0 x R b) und f(x) dx = P (a X b) = b a f(x) dx, so nennt man f die Dichte von X. Erwartungswert und Varianz von X sind definiert durch µ = E(X) = σ 2 = V (X) = x f(x) dx, (x µ) 2 f(x) dx Veranschaulichung Abbildung 7: 70.4 Definition: (Verteilungsfunktion) Sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable mit Dichte f. Dann nennt man ihre Stammfunktion F (x) = P (X x) = die Verteilungsfunktion von X. 89 x f(u) du

2 70.5 Beispiel: Kontinuierliche Gleichverteilung Eine kontinuierliche Zufallsvariable, die auf [a, b] gleich verteilt ist, hat die Dichte (a x b) f(x) = b a 0 (sonst) und die Verteilungsfunktion 0 (x < a) x a F (x) = (a x b) b a (x > b) Wir kommen nun zur wichtigsten kontinuierlichen Verteilung: 70.6 Die Standardnormalverteilung Ist X eine kontinuierliche Zufallsvariable mit der Dichte ϕ(x) = e x2 2 2π so kann man P (a < X b) mit der Stammfunktion berechnen: F (x) = x 2π e u2 2 du P (a < X b) = Φ(b) Φ(a). ϕ nennt man normale Dichte, und Φ ist die Standardnormalverteilung (N(0, )-Verteilung). Abbildung 8: normale Dichte Abbildung 9: Standardnormalverteilung Φ(x) ist nicht analytisch auswertbar, liegt aber tabelliert vor. Eine standardnormalverteilte Zufallsvariable hat Erwartungswert 0 und Varianz. Daher heißt sie N(0, )- verteilt. 90

3 70.7 Die allgemeine Normalverteilung Eine kontinuierliche Zufallsvariable X genügt einer allgemeinen Normalverteilung (N(µ, σ 2 )-Verteilung, Gauß-Verteilung) mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2, wenn ihre Dichte gegeben ist durch ϕ(x) = e (x µ)2 2σ 2 2π σ Abbildung 20: Es gilt: P (µ σ X µ + σ) 68% P (µ 2σ X µ + 2σ) 95, 5% P (µ 3σ X µ + 3σ) 99, 7% Ist X N(µ, σ 2 )-verteilt, so ist Z := X µ N(0, )-verteilt. Somit ist die Tabelle der σ Standardnormalverteilung ausreichend Beispiel Das mittlere Gewicht der 5000 männlichen Studenten einer Uni beträgt 70 kg bei eine Standardabweichung von kg. Angenommen das Gewicht X ist eine normalverteilte Zufallsvariable, a) wieviele Studenten wiegen zwischen 80 kg und 96 kg, b) wieviele Studenten wiegen genau 80 kg? Zu a): P (80 X 96) = P ( X ) = P ( 6 X 70 = Φ(0, 43333) Φ(0, 6667) = 0, , 5662 = 0, ) Unter den gemachten Annahmen beträgt damit die gesuchte Anzahl an Studenten , 04 = 507. Zu b): Man hat P (X = 80) = P (80 X 80) = P ( 6 X )

4 = Φ(0, 6667) Φ(0, 6667) = 0. Unter der Annahme der Normalverteilung des Gewichts gibt es keinen Studenten der genau 80 kg wiegt! Diskrete Verteilengen haben keine Dichte im oben genannten Sinne. Als Modellannahmen unetrscheiden sich diskrete und kontinuierliche Verteilungen prinzipiell Approximation der Binomialverteilung durch die Gaußverteilung Eine Binomialverteilung mit n Einzelexperimenten mit Wahrscheinlichkeit p kann man durch eine allgemeine Normalverteilung mit Erwartungswert np und Standardabweichung σ = np( p) approximieren. Mit Blick auf eine Histogrammdarstellung der Binomialverteilung gilt: b n,p (k) = ( ) n p k ( p) n k Φ k ( k + np ) ( 2 k Φ np ) 2 np( p) np( p) } {{ } Fläche über dem Intervall [k 2,k+ 2 ] Diese Approximation ist gut für np > 5 und n( p) > 5, d.h. insbesondere für große n oder p 0, Beispiel Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 00 Würfen eines fairen Würfels die Sechs mindestens 00 Mal auftritt? n = 00, p = 6 Wegen np = 000 > 5 und n( p) = 5000 > 5 ist die Approximation durch die Gaußverteilung sinnvoll: µ = n p = 000 σ = np( p) = 00 2 = }{{} , 45 28, 87 }{{} µ σ , 87 Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 00 Sechsen zu würfeln, beträgt Φ(3, 45) 0, }{{} in Tabelle nachschlagen Der wichtigste Grund für die Bedeutung der Gaußverteilung ist der folgende Satz: 92

5 Abbildung 2: 70. Satz: (Zentraler Grenzwertsatz) Seien X, X 2,... unabhängige Zufallsvariablen, die alle die gleiche Verteilung und somit auch den selben Erwartungswert µ und die selbe Varianz σ 2 besitzen. Ferner sei Y n := X X n und Z n := Y n nµ σ n bezeichne die Standardisierte von Y n (vgl. 67.5). Dann konvergiert die Verteilungsfunktion F n (x) von Z n für n gegen die Standardnormalverteilung Φ(x) Bemerkungen a) Der Beweis von Satz 70. ist aufwändig. Siehe z.b. R. Nelson: Probability, Stochastic Processes and Queueing Theory, Springer, New York, 995, Abschnitt b) Beachte, dass die einzelnen Zufallsvariablen nicht normalverteilt sein müssen. Ihre Verteilung kann beliebig sein! c) Die Normalverteilung ist also eine sinnvolle Approximation in allen Fällen, in denen sich eine Zufallsvariable aus vielen gleichartigen Einzeleinflüssen zusammensetzt. Beispiel: Eine Messung wird oft wiederholt. Dann approximieren die Ergebnisse eine Gaußverteilung. 93