FLÜSSE, SCHNITTE UND - TEIL 2 - BIPARTITE GRAPHEN. Vortrag im Seminar Hallo Welt Für Fortgeschrittene Dozenten: Werth, T. & Brinkers, D.
|
|
- Reinhardt Geisler
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 FLÜSSE, SCHNITTE UND BIPARTITE GRAPHEN - TEIL 2 - Vortrag im Seminar Hallo Welt Für Fortgeschrittene Dozenten: Werth, T. & Brinkers, D. Lukas Dresel 17. Juni 215
2 Inhalt Problemstellung Lösungsmethode 1 Optimales Bipartites Matching 2 Minimale MINIMUMCUT oder Reduktion auf ein Flussproblem 3 (Kanten-/Knoten-) Reduktion auf ein Flussproblem 4 Modifizierter Ford-Fulkerson 2
3 Grundlagen Annahmen Schritte des Algorithmus 3
4 Lukas Das Urlaubs-Dilemma Kilian Nick 4
5 Die auch Kuhn-Munkres Algorithmus genannt Zum Lösen gewichteter Zuordnungsprobleme auf bipartiten Graphen ( Optimales Bipartites Matching) 5
6 Die 1955 entwickelt von Harold W. KUHN basierend auf Ideen der ungarischen Mathematiker Dénes Kőnig & Jenő Egerváry 1957 überarbeitet nach Laufzeit- Analyse von James R. MUNKRES 6
7 Algorithmus zur Minimierung der Kosten eines bipartiten Matchings Basierend auf der Idee der augmentierenden Pfade Algorithmus ist greedy Laufzeit des originalen Algorithmus in O(n 4 ) Laufzeit nach Optimierung in O(n 3 ) 7
8 Annahmen zur Ungarischen Methode eine Gewichtungsmatrix, bei der die Zeilen den Arbeitern und die Spalten den Jobs entsprechen Gewichtungsmatrix ist quadratisch, andernfalls muss sie künstlich erweitert werden es gibt keine negativen Gewichte 8
9 1. Uminterpretieren der Kosten als Verlust gegenüber dem Minimum 2. Wähle initial kostenloses Matching 3. Überprüfe aktuelles kostenloses Matching auf Vollständigkeit, wenn JA Ende des Algorithmus 4. Finde augmentierenden Pfad, wenn keiner gefunden goto Schritt 6 5. In Schritt 4 gefundenen Pfad augmentieren goto Schritt 3 6. Passe Matrix an, um kleinstmögliches Übel zu akzeptieren goto Schritt 4 9
10 Beispiel: Schritt 1.1: Spaltenminima abziehen
11 Beispiel: Schritt 1.1: Spaltenminima abziehen
12 Beispiel: Schritt 1.1: Spaltenminima abziehen
13 Beispiel: Schritt 1.1: Spaltenminima abziehen
14 Beispiel: Schritt 1.1: Spaltenminima abziehen
15 Beispiel: Schritt 1.2: Zeilenminima abziehen
16 Beispiel: Schritt 1.2: Zeilenminima abziehen
17 Beispiel: Schritt 1.2: Zeilenminima abziehen
18 Beispiel: Schritt 1.2: Zeilenminima abziehen
19 Beispiel: Schritt 1.2: Zeilenminima abziehen
20 Beispiel: Schritt 2: Initiales Matching finden Wir iterieren über die Matrix und markieren noch nicht überdeckte Nullen mit einem Stern [ ] 2
21 Beispiel: Schritt 2: Initiales Matching finden Wir iterieren über die Matrix und markieren noch nicht überdeckte Nullen mit einem Stern [ 1 ] 1 21
22 Beispiel: Schritt 2: Initiales Matching finden Wir iterieren über die Matrix und markieren noch nicht überdeckte Nullen mit einem Stern [1 1 ]
23 Beispiel: Schritt 2: Initiales Matching finden Wir iterieren über die Matrix und markieren noch nicht überdeckte Nullen mit einem Stern [1 1 ]
24 Beispiel: Schritt 2: Initiales Matching finden Wir iterieren über die Matrix und markieren noch nicht überdeckte Nullen mit einem Stern [1 1 ]
25 Beispiel: Schritt 2: Initiales Matching finden Wir iterieren über die Matrix und markieren noch nicht überdeckte Nullen mit einem Stern [1 1 1]
26 Beispiel: Schritt 3: Ist initiales Matching perfekt? [1 1 1] Es gibt eine unüberdeckte Spalte Kein perfektes Matching, weitermachen 26
27 Beispiel: Schritt 4: Finde augmentierenden Pfad Finde eine noch nicht überdeckte Null, markiere sie [1 1 1] Mit Stern markierte Null in der selben Zeile? Ja, deren Spalte entfernen, Reihe zur Überdeckung hinzufügen 27
28 Beispiel: Schritt 4: Finde augmentierenden Pfad Finde eine noch nicht überdeckte Null [ 1 1] 1 Keine unüberdeckte Null mehr Wir müssen mehr Kosten in Kauf nehmen. goto Schritt 6 28
29 Beispiel: Schritt 6: Matrix Werte anpassen Finde Minimum aller nicht überdeckten Werte [ 1 1] 1 Minimum = 3 29
30 Beispiel: Schritt 6: Matrix Werte anpassen Zeile überdeckt? Spalte nicht überdeckt? val += minimum; val = minimum; [ 1 1] 1 3
31 Beispiel: Schritt 6: Matrix Werte anpassen Zeile überdeckt? Spalte nicht überdeckt? val += minimum; val = minimum; [ 1 1] 1 31
32 Beispiel: Schritt 4: Finde augmentierenden Pfad Finde eine noch nicht überdeckte Null, markiere sie [ 1 1] 1 Mit Stern markierte Null in der selben Zeile? Ja, deren Spalte entfernen, Reihe zur Überdeckung hinzufügen 32
33 Beispiel: Schritt 4: Finde augmentierenden Pfad Finde eine noch nicht überdeckte Null, markiere sie [ 1] 1 1 Mit Stern markierte Null in der selben Reihe? Nein, Markiere sie 33
34 Beispiel: Schritt 4: Finde augmentierenden Pfad Finde eine noch nicht überdeckte Null, markiere sie [ 1] 1 1 Mit Stern markierte Null in der selben Reihe? Nein, Markiere sie, GOTO 5, augmentierender Pfad gefunden 34
35 Beispiel: Schritt 5: Pfad Augmentieren Beginne von der in Schritt 4 entdeckten unüberdeckten Null aus [ 1] 1 1 Von jedem Prime aus finde einen Stern in der selben Spalte Von jedem Stern aus finde einen Prime in der selben Zeile 35
36 Beispiel: Schritt 5: Pfad Augmentieren Wiederhole solange möglich [ 1] 1 1 Von jedem Prime aus finde einen Stern in der selben Spalte Von jedem Stern aus finde einen Prime in der selben Zeile 36
37 Beispiel: Schritt 5: Pfad Augmentieren Wiederhole solange möglich [ 1] 1 1 Von jedem Prime aus finde einen Stern in der selben Spalte Von jedem Stern aus finde einen Prime in der selben Zeile 37
38 Beispiel: Schritt 5: Pfad Augmentieren Der Pfad ist nicht fortsetzbar, in Spalte 1 gibt es keinen Stern mehr [ 1] 1 1 Augmentiere den Pfad: * * Zeilen und Spaltenüberdeckungen, sowie alle übrigen Primes werden gelöscht 38
39 Beispiel: Schritt 5: Pfad Augmentieren Der Pfad ist nicht fortsetzbar, in Spalte 1 gibt es keinen Stern mehr [ ] Augmentiere den Pfad: * * Zeilen und Spaltenüberdeckungen, sowie alle übrigen Primes werden gelöscht GOTO 4 (Finde augmentierenden Pfad) 39
40 Beispiel: Schritt 5: Pfad Augmentieren [ ] In diesem Fall aber bereits am Ende, da jede Spalte einen Eintrag in unserem Matching hat 4
41 Beispiel: Schritt 5: Pfad Augmentieren Konsequenz: Unser finales (optimales) Matching lautet: [ ] Arbeiter 1 Job 2 Arbeiter 2 Job 1 Arbeiter 3 Job 3 Arbeiter 4 Job 4 41
42 Grundlagen zu n Minimale und Maximale Flüsse in Fluss-Netzen in ungerichteten Graphen 42
43 in Fluss-Netzen Definition: Schnitt eines Fluss-Netzes Ein Schnitt teilt ein Fluss-Netz G V, E in zwei Teilgraphen S und T = V S, so dass die Quelle s S und die Senke t T gilt. Eigenschaften Kapazität c S, T = u S v T c(u, v) Fluss f S, T = u S v T f(u, v) - u S v T f(v, u) 43
44 7/13 1/23 Lukas Dresel in Fluss-Netzen Beispiel: v1 11/16 v2 s t v3 12/12 v4 Kapazität: c S, T = = 32 Fluss: f S, T = = 26 44
45 in Fluss-Netzen Definition: Minimaler Schnitt Ein minimaler Schnitt ist ein Schnitt, dessen Kapazität c(s, T) der Kapazität jedes anderen s im Netzwerk ist. 45
46 in Fluss-Netzen Theorem: Max-Flow-Min-Cut Sei f der Fluss in einem Netzwerk G = (V, E) mit Quelle s und Senke t, so sind die folgenden Bedingungen äquivalent: f ist maximaler Fluss in G Residualgraph G f hat keine erweiternden Pfade Es gibt einen Schnitt S, T aus G mit f = c S, T 46
47 in Fluss-Netzen Berechnung eines minimalen Schnitts Wir wissen: Max Flow = Min Cut Lösen durch Finden des maximalen Flusses Ford-Fulkerson Algorithmus auf den Graphen anwenden alle von s aus erreichbaren Knoten im Residualgraphen ergeben S alle übrigen Knoten im Residualgraphen ergeben T 47
48 in Graphen Der MINIMUMCUT Algorithmus arbeitet auf ungerichteten Graphen effizienter als simple flussbasierte Algorithmen leicht verständlich und implementierbar Mit n = Anzahl der Knoten und m = Anzahl der Kanten ergibt sich eine Laufzeit von O(nm + n 2 log n ) 48
49 in Graphen Der MINIMUMCUT Algorithmus Die zwei Komponenten des Algorithmus Reduktionsfunktion - reduziert Anzahl der Knoten im Graphen um eins (durch Knotenverschmelzung) Hauptfunktion - ruft Reduktionsfunktion in einer Schleife auf, solange noch mehr als ein Knoten im Graphen enthalten ist 49
50 in Graphen Die Reduktionsfunktion MINIMUMCUTPHASE (G, w, Startknoten a) A := {a} solange A V: finde x mit y A w x, y maximal füge x zu A hinzu seien z n, z n 1 die zuletzt gefundenen Knoten speichere c( z n, V z n ) vereinige z n, z n 1 gib gespeicherte Kapazität zurück 5
51 in Graphen Die Hauptfunktion MINIMUMCUT (G, w, Startknoten a) minimum := solange V > 1: cut := MINIMUMCUTPHASE (G, w, a) wenn cut < minimum: minimum = result gib minimum zurück 51
52 Definition: Unter der eines Graphen versteht man die minimale Anzahl der Verbindungselemente (Kanten oder Knoten), deren Entfernen aus dem Graphen diesen in mindestens zwei disjunkte Teilgraphen zerfallen lässt. s-t-kanten- Allgemeine Kanten- s-t-knoten- Allgemeine Knoten- 52
53 Die s-t-kanten- Gegeben: ungerichteter Graph G = V, E zwei Knoten s, t aus V Gesucht: Anzahl der Kanten, die mindestens durchtrennt werden müssen, um s von t unerreichbar werden zu lassen 53
54 Die s-t-kanten- Setze alle Kanten-Gewichte in G auf eins Finde minimalen Schnitt Reduktion auf Fluss-Problem MINIMUMCUT Kapazität Min-Cut = 54
55 Die allgemeine Kanten- Gibt Anzahl der Kanten an, die mindestens durchtrennt werden müssen, um den Graphen in mindestens zwei disjunkte Teilgraphen zerfallen zu lassen. Lösung: Bestimme die s-t-kanten- für jedes Knotenpaar s,t V Wähle Minimum 55
56 Knoten- Analog zur Kanten- Statt den Kanten-Gewichten werden die Knoten-Gewichte auf eins gesetzt Achtung: In der Reduktion beachten! 56
57 Problemstellung Annahmen Lösung 57
58 Problemstellung Annahmen Lösung 58
59 Problemstellung Gegeben: Fluss-Netzwerk G = V, E mit Kantenkapazitäten c(e E) Kantenkosten Cost(e E) Quelle und Senke s, t V Gesucht: Maximaler Fluss mit minimalen Kosten 59
60 Cost 2 Cap. 6 Cost 4 Cap. 9 Lukas Dresel Beispiel: v1 Cost 1 Cap. 16 v2 s t v3 Cost 1 Cap. 3 v4 Kosten sind ein konstanter Multiplikator! Der Transport (Fluss) von 5 entlang des roten Weges kostet: 2*5+1*5+5*5 = 175 6
61 Lösung: Variation von Ford-Fulkerson Augmentierende Pfade werden durch eine Kürzeste-Wege-Suche gefunden Distanz Kosten! Negative Gewichte (vor allem Zyklen) stellen ein Problem dar, daher z.b. Bellman-Ford verwenden 61
62 Zusammenfassung Besprochene Lösungsmethoden: Bipartites Matching Reduktion auf Fluss-Problem in Min-Cut Reduktion auf Fluss-Problem MINIMUMCUT (ungerichtet) 62
63 Laufzeiten Besprochene Lösungsmethoden: Reduktion auf Minimalen Schnitt Kanten, Knotengewichte auf 1 Minimaler Schnitt = Variation von Max-Flow Algorithmus kürzeste-wege Suche um augmentierende Pfade zu finden 63
64 Zusammenfassung Es gilt: n=anzahl Knoten, m=anzahl Kanten Algorithmus Lösungsmethode Laufzeit Optimales Bipartites Matching Ungarische Methode O(n 4 ) Minimale MINIMUMCUT O(nm + n 2 log n ) Minimale Reduktion auf ein Flussproblem O(n 2 m) 64
65 Zusammenfassung Algorithmus Lösungsmethode Laufzeit s-t-kanten Allgemein Kanten s-t-knoten Allgemein Knoten O m 2 O n m 2 O nm O n 3 m Min-Cost-Max- Flow Ford-Fulkerson mit kürzeste-wege- Suche O(nm log n ) 65
66 Quellen Cormen, Thomas H., Leiserson, Charles E., Rivest, Ronald L., Stein Clifford, Introduction to Algorithms, Second Edition, MIT Press, Cambridge, Massachusettes, London, England 21 Levitin, Anany, Introduction to The Design and Analysis of Algorithms, Third Edition, 212, Villanova University Vortragsfolien zum Seminar Hallo Welt! Für Fortgeschrittene (21 214) Pilgrim, Robert A., Munkres Assignment, Algorithm, csclab.murraystate.edu/bob.pilgrim/445/munkres.html Preussler, Ernst-Joachim und Klein, Patrick, Datenstrukturen und Algorithmen Minimale in Graphen, www-stud.rbi.informatik.uni-frankfurt.de/~erps/seminar/theoseminar.pdf Schulz Christof, Die für das Assignment Problem von H.W. Kuhn (1955), Talk.pdf Stoer, Mechthild und Wagner, Frank, A simple Min-Cut Algorithm, e-maxx.ru/bookz/files/stoer_wagner_mincut.pdf Prof. Dr. Täubig, Hanjo, Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen, pdf 66
67 Quellen Unknown author, The Hitchhiker s Guide to Programming Contests, home.iitk.ac.in/~abhra/icpc.pdf Unknown author,, Unknown author, Graph Theory: The Hungarian Algorithm Example Unknown author, Graph Theory: The Hungarian Algorithm, (213) Unknown author, Graph Theory: The Hungarian Algorithm - Allocation, Wikipedia Artikel Hungarian algorithm, (25) Wikipedia Artikel, (24) Wikipedia Artikel, Minimum-cost flow problem (26) 67
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
MehrFlüsse, Schnitte, Bipartite Graphen
Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen Sebastian Hahn 4. Juni 2013 Sebastian Hahn Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen 4. Juni 2013 1 / 48 Überblick Flussnetzwerke Ford-Fulkerson-Methode Edmonds-Karp-Strategie
MehrInhalt. 1. Flußprobleme. 2. Matching. 3. Lineares Programmieren. 4. Ganzzahliges Programmieren. 5. NP-Vollständigkeit. 6. Approximationsalgorithmen
Effiziente Algorithmen Einführung 1 Inhalt 1. Flußprobleme 2. Matching. Lineares Programmieren 4. Ganzzahliges Programmieren 5. NP-Vollständigkeit 6. Approximationsalgorithmen 7. Backtracking und Branch-and-Bound
MehrFlüsse, Schnitte, bipartite Graphen
Flüsse, chnitte, bipartite Graphen Matthias Hoffmann 5.5.009 Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen 5.5.009 / 48 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel
MehrFlüsse, Schnitte, bipartite Graphen
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Thomas Fersch mail@t-fersch.de 11.06.2010 Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 1 Übersicht Maximale Flüsse in Netzwerken Worum geht s? Lösung nach Ford-Fulkerson
MehrFlüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II
Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II Jonathan Hacker 06.06.2016 Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II 06.06.2016 1 / 42 Gliederung Einführung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite
Mehr1.Aufgabe: Minimal aufspannender Baum
1.Aufgabe: Minimal aufspannender Baum 11+4+8 Punkte v 1 v 2 1 3 4 9 v 3 v 4 v 5 v 7 7 4 3 5 8 1 4 v 7 v 8 v 9 3 2 7 v 10 Abbildung 1: Der Graph G mit Kantengewichten (a) Bestimme mit Hilfe des Algorithmus
MehrLaufzeit. Finden eines Matchings maximaler Kardinalität dauert nur O( E min{ V 1, V 2 }) mit der Ford Fulkerson Methode.
Effiziente Algorithmen Flußprobleme 81 Laufzeit Finden eines Matchings maximaler Kardinalität dauert nur O( E min{ V 1, V 2 }) mit der Ford Fulkerson Methode. Der Fluß ist höchstens f = min{ V 1, V 2 }.
MehrWiederholung zu Flüssen
Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:
MehrDie Ungarische Methode für das Assignment Problem von H. W. Kuhn (1955)
Die Ungarische Methode für das Assignment Problem von H. W. Kuhn (1955) Seminar Kombinatorische Optimierung SS08: Christof Schulz 11.07.2008 1 Harold William Kuhn 2 Das Assignmentproblem Einfaches Assignmentproblem
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 4 Programm des
MehrSatz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,...
Satz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,..., k, so dass gilt M = k c i P i i=1 k c i = r. i=1 Diskrete Strukturen 7.1 Matchings
Mehr11. GRAPHEN 3 FLÜSSE UND SPANNBÄUME
Algorithmen und Datenstrukturen 11. GRAPHEN 3 FLÜSSE UND SPANNBÄUME Algorithmen und Datenstrukturen - Ma5hias Thimm (thimm@uni-koblenz.de) 1 Algorithmen und Datenstrukturen 11.1. BERECHNUNG MAXIMALER FLÜSSE
MehrFlüsse und Schnitte von Graphen
Flüsse und Schnitte von Graphen Christian Koch Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg 2. Juni 27 Christian Koch Flüsse und Schnitte 2. Juni 27 / 29 Gliederung Flüsse Allgemeines Maximaler Fluss
MehrSeminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt;
Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt Referent Matthias Rost 1 Einleitung Definitionen Maximaler Dynamischer Fluss Algorithmus von Ford-Fulkerson Techniken zur
MehrKlausur zum Modul Einführung in die Diskrete Mathematik
Klausur zum Modul Einführung in die Diskrete Mathematik 11.2.2014 Aufgabe 1 [10 Punkte] Sei G ein ungerichteter Graph, k N und x, y, z V (G). Zeigen Sie: Gibt es k paarweise kantendisjunkte x-y-wege und
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 3 Programm des
MehrKapitel 1: Flussalgorithmen
Netzwerke und Flüsse Ein Flussnetzwerk ist ein gerichteter Graph G = (V, E, c) mit zwei ausgewählten Knoten q, s V und einer Kapazitätsfunktion c : E N 0. Die Quelle q hat Eingangsgrad 0 und die Senke
MehrBipartite Graphen. Beispiele
Bipartite Graphen Ein Graph G = (V, E) heiÿt bipartit (oder paar), wenn die Knotenmenge in zwei disjunkte Teilmengen zerfällt (V = S T mit S T = ), sodass jede Kante einen Knoten aus S mit einem Knoten
MehrFlüsse in Netzwerken
Proseminar Theoretische Informatik, Prof. Wolfgang Mulzer, SS 17 Flüsse in Netzwerken Zusammenfassung Gesa Behrends 24.06.2017 1 Einleitung Unterschiedliche technische Phänomene wie der Flüssigkeitsdurchfluss
Mehr1 Matroide. 1.1 Definitionen und Beispiele. Seminar zur ganzzahligen Optimierung Thema: Durchschnitt von Matroiden - Satz von Edmonds von Dany Sattler
Seminar zur ganzzahligen Optimierung Thema: Durchschnitt von Matroiden - Satz von Edmonds von Dany Sattler 1 Matroide 1.1 Definitionen und Beispiele 1. Definition (Unabhängigkeitssystem): Ein Mengensystem
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
MehrOperations Research. Flüsse in Netzwerken. Flüsse in Netzwerken. Unimodularität. Rainer Schrader. 2. Juli Gliederung.
Operations Research Rainer Schrader Flüsse in Netzwerken Zentrum für Angewandte Informatik Köln 2. Juli 2007 1 / 53 2 / 53 Flüsse in Netzwerken Unimodularität Gliederung Netzwerke und Flüsse bipartite
MehrDie Ungarische Methode für das Assignmentproblem
Die Ungarische Methode für das Assignmentproblem Seminar: Kombinatorische Optimierung SS08, Christof Schulz 11.07.2008 Hauptquellen: The Hungarian Method for the Assignment Problem von H.W. Kuhn (1955)
MehrKAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN
KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Definitionen Notation 1.1. Ähnlich wie im vorangegangenen Kapitel zunächst etwas Notation. Wir beschäftigen uns jetzt mit ungerichteten
MehrName:... Vorname:... Matr.-Nr.:... Studiengang:...
Technische Universität Braunschweig Sommersemester 2013 IBR - Abteilung Algorithmik Prof. Dr. Sándor P. Fekete Dr. Christiane Schmidt Stephan Friedrichs Klausur Netzwerkalgorithmen 16.07.2013 Name:.....................................
MehrOptimierung. Optimierung. Vorlesung 9 Lineare Programmierung & Kombinatorische Optimierung Fabian Kuhn
Optimierung Vorlesung 9 Lineare Programmierung & Kombinatorische Optimierung 1 Assignment Problem (Zuordnungsproblem) Gewichtetes Perfektes Bipartites Matching agents Costs tasks Weise jedem Agenten genau
Mehr4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss
4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss Wir kennen bereits den Algorithmus von Ford Fulkerson zur Suche nach einem maximalen Fluss in einem Graphen. Wir lernen nun einen Algorithmus für maximalen
Mehrij. , d (k 1) + d (k 1)
Dabei war ja die Idee, dass wir unser k Schritt für Schritt erhöhen bis wir bei n angekommen sind, denn dann haben wir das Problem gelöst. Dies ist im Grunde unser Algorithmus. Wir müssen diesen nur noch
MehrGraphentheorie. Kardinalitätsmatchings. Kardinalitätsmatchings. Kardinalitätsmatchings. Rainer Schrader. 11. Dezember 2007
Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 11. Dezember 2007 1 / 47 2 / 47 wir wenden uns jetzt einem weiteren Optimierungsproblem zu Gliederung Matchings in bipartiten Graphen
Mehr1 Kürzeste Pfade in Graphen
Praktikum Algorithmen-Entwurf (Teil 3) 03.11.2011 1 1 Kürzeste Pfade in Graphen Es sei ein gerichteter Graph G = (V, E) mit V = n Knoten, E = m Kanten und Kantengewichten c : E R gegeben. Ein Pfad in G
MehrAnwendungen von Netzwerkfluss. Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin
Anwendungen von Netzwerkfluss Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin 13. 01. 2009 Gliederung Einführung Netzwerk, Fluss und Schnitt Max-Flow-Min-Cut Theorem Algorithmen zum Bestimmen vom
MehrDurchschnitt von Matroiden
Durchschnitt von Matroiden Satz von Edmonds Dany Sattler 18. Januar 2007/ Seminar zur ganzzahligen Optimierung / Wallenfels Definition: Unabhängigkeitssystem Definition: Ein Mengensystem (S, J ) nennt
MehrEinführung in die Mathematik des Operations Research
Universität zu Köln Mathematisches Institut Prof. Dr. F. Vallentin Einführung in die Mathematik des Operations Research Sommersemester 3 en zur Klausur (7. Oktober 3) Aufgabe ( + 3 + 5 = Punkte). Es sei
MehrMaximaler Fluß und minimaler Schnitt. Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de
Maximaler Fluß und minimaler Schnitt Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de Maximaler Fluß und minimaler Schnitt Wasist das? Maximaler Fluss Minimaler Schnitt Warumtut man das? Logistische
MehrGraphalgorithmen 2. Dominik Paulus Dominik Paulus Graphalgorithmen / 47
Graphalgorithmen Dominik Paulus.0.01 Dominik Paulus Graphalgorithmen.0.01 1 / 7 1 Spannbäume Kruskal Prim Edmonds/Chu-Liu Datenstrukturen Fibonacci-Heap Union/Find Kürzeste Pfade Dijkstra Bellman-Ford
MehrKapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Minimale spannende Bäume 5. Färbungen und Cliquen 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken
MehrKapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Pfade. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken
MehrMatching. Organisatorisches. VL-18: Matching. (Datenstrukturen und Algorithmen, SS 2017) Gerhard Woeginger. Tanzabend
Organisatorisches VL-18: Matching (Datenstrukturen und Algorithmen, SS 2017) Gerhard Woeginger Vorlesung: Gerhard Woeginger (Zimmer 4024 im E1) Sprechstunde: Mittwoch 11:15 12:00 Übungen: Tim Hartmann,
MehrGraphalgorithmen Netzwerkalgorithmen. Laufzeit
Netzwerkalgorithmen Laufzeit (Folie 390, Seite 78 im Skript) Finden eines Matchings maximaler Kardinalität dauert nur O( E min{ V, V 2 }) mit der Ford Fulkerson Methode. Der Fluß ist höchstens f = min{
MehrAlgorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum
MehrFlüsse in Netzwerken. Seminar über Algorithmen SoSe 2005. Mike Rohland & Julia Schenk
Flüsse in Netzwerken Seminar über Algorithmen SoSe 2005 Mike Rohland & Julia Schenk Inhalt Einführung Definition Maximale Flüsse Schnitte Restgraphen Zunehmende Wege Max-Fluss Min-Schnitt Theorem Ford-Fulkerson
MehrTrennender Schnitt. Wie groß kann der Fluss in dem folgenden Flussnetzwerk höchstens sein?
6. Flüsse und Zuordnungen max-flow min-cut Trennender Schnitt Wie groß kann der Fluss in dem folgenden Flussnetzwerk höchstens sein? a e s c d t b f Der Fluss kann nicht größer als die Kapazität der der
MehrADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2
ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University
MehrVorlesung Datenstrukturen
Vorlesung Datenstrukturen Minimale Spannbäume Maike Buchin 18.7., 20.7.2017 Einführung Motivation: Verbinde Inseln mit Fähren oder Städte mit Schienen und verbrauche dabei möglichst wenig Länge. Problem:
MehrKapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Minimale spannende Bäume 5. Färbungen und Cliquen 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken
MehrDiskrete Mathematik Graphentheorie (Übersicht)
Diskrete Mathematik Graphentheorie (Übersicht) Dr. C. Löh 2. Februar 2010 0 Graphentheorie Grundlagen Definition (Graph, gerichteter Graph). Ein Graph ist ein Paar G = (V, E), wobei V eine Menge ist (die
MehrFlüsse, Schnitte, bipartite Graphen. Martin Oettinger
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Martin Oettinger Übersicht Einführung Algorithmen für maximalen Fluss Preflow-Push Ford-Fulkerson Spezialfall: Maximaler Fluss bei minimalen Kosten Reduktionen Bipartites
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Eziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester 2007/08
Mehr9 Minimum Spanning Trees
Im Folgenden wollen wir uns genauer mit dem Minimum Spanning Tree -Problem auseinandersetzen. 9.1 MST-Problem Gegeben ein ungerichteter Graph G = (V,E) und eine Gewichtsfunktion w w : E R Man berechne
MehrProgrammierkurs Python II
Programmierkurs Python II Stefan Thater & Michaela Regneri Universität des Saarlandes FR 4.7 Allgemeine Linguistik (Computerlinguistik) Übersicht Topologische Sortierung (einfach) Kürzeste Wege finden
MehrFormale Grundlagen der Informatik
Formale Grundlagen der Informatik / 2015 1 Die Elemente einer (endlichen) Menge sollen den Elementen einer zweiten, gleichmächtigen Menge zugeordnet werden Problemstellung Bipartite Graphen Zuordnungsprobleme
MehrGrundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen
Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Sommersemester 00
MehrFlüsse, Schnitte, bipartite Graphen
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Vlad Popa 08.06.2010 Inhaltsverzeihnis 1. Flussnetzwerke und Flüsse 1.1 Ford- Fulkerson 1.2 Edmond Karp 1.3 Dinic 2. Schnitte 3. Maximaler Fluss bei minimalen Kosten
MehrFelix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09
Felix Brandt, Jan Johannsen Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Übersicht Übersicht Definition Ein Matching in G = (V, E) ist eine Menge M E mit e 1 e 2 = für e 1, e 2 M, e 1 e 2 Ein Matching M ist perfekt,
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 5. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Wdhlg.: Dijkstra-Algorithmus I Bestimmung der
MehrDatenstrukturen & Algorithmen
Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Graphenalgorithmen Maximaler Fluss Einleitung Flussnetzwerke Ford-Fulkerson Fulkerson Methode Maximales bipartites Matching
MehrEffiziente Algorithmen und Datenstrukturen II
Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen II Prof. Dr. Christian Scheideler Technische Universität München, 25. April 2006 1 Algorithmen für maximale Flüsse 1.1 Flüsse Ein Flussnetzwerk G = (V, E) ist
MehrFerienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 4: Flüsse
Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 4: Flüsse Dipl-Math. Wolfgang Kinzner 3.4.2012 Kapitel 4: Flüsse Flüsse Netzwerk, Fluss, s,t-schnitt, Kapazität MaxFlow-MinCut-Theorem Restnetzwerk
MehrProseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein
Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Vortrag von Michael Daumen am 13.12.2000 Thema : Minimum Spanning Tree und 2-Approximation der TSP-Tour Inhalt des Vortrags : 1. genaue Vorstellung des
MehrEffiziente Algorithmen I
H 10. Präsenzaufgabenblatt, Wintersemester 2015/16 Übungstunde am 18.01.2015 Aufgabe Q Ein Reiseveranstalter besitzt ein Flugzeug, das maximal p Personen aufnehmen kann. Der Veranstalter bietet einen Flug
MehrTheoretische Informatik 1
Theoretische Informatik 1 Approximierbarkeit David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung Technische Universität Graz 10.06.2016 Übersicht Das Problem des Handelsreisenden TSP EUCLIDEAN-TSP
MehrGraphalgorithmen 2. Oleksiy Rybakov. 3. Juni Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers
Graphalgorithmen 2 Oleksiy Rybakov 3. Juni 2015 Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers 1 / 40 Inhaltsverzeichnis 1 Minimale Spannbäume und Datenstrukturen 2 Kürzeste Wege 3 Spezielle Graphen 2 / 40 Minimale
Mehr4.2 Minimale Spannbäume: Der Algorithmus von Jarník/Prim Definition 4.2.1
Allgemeines. Minimale Spannbäume: Der Algorithmus von Jarník/Prim Definition.. (a) Ein Graph G =(V, E) heißt kreisfrei, wenn er keinen Kreis besitzt. Beispiel: Ein kreisfreier Graph: FG KTuEA, TU Ilmenau
MehrFerienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem
Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Dipl-Math. Wolfgang Kinzner 4.4.2012 Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Matching und Matchingproblem Flussalgorithmus
MehrAusarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König
Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König Myriam Ezzedine, 0326943 Anton Ksernofontov, 0327064 Jürgen Platzer, 0025360 Nataliya Sokolovska, 0326991 1. Beweis des Satzes von Menger Bevor
Mehr5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt.
Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 05/06 ITI Wagner 5. Musterlösung Problem : Vitale Kanten * In einem Netzwerk (D = (V, E); s, t; c) mit Maximalfluß f heißen Kanten e
Mehr6. Flüsse und Zuordnungen
6. Flüsse und Zuordnungen Flußnetzwerke 6. Flüsse und Zuordnungen In diesem Kapitel werden Bewertungen von Kanten als maximale Kapazitäten interpretiert, die über diese Kante pro Zeiteinheit transportiert
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10
Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10 Flüsse Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. Januar 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/8 Flüsse Graphen Grundlagen Definition
MehrÜberblick. Kap. 1.4: Minimum Weight Perfect Matching. 1.3 Blüten-Schrumpf Algorithmus für Maximum Matching
Kap. 1.4: Minimum Weight Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 4. VO 6. November 2006 Überblick kurze Wiederholung: 1.2 Blüten-Schrumpf-Algorithmus für Perfektes Matching
MehrVorlesung Datenstrukturen
Vorlesung Datenstrukturen Graphen (1) Darstellung Traversierung Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 441 Generalisierung von Bäumen Verallgemeinerung (von Listen zu Graphen)
MehrGlobalübungsaufgabe1 (All Pair Shortest Path):
Prof. aa r. Ir. G. Woeginger atenstrukturen und lgorithmen SS7 Tutoriumslösung - Übung 0 (bgabe 2.07.207) T. Hartmann,. Korzeniewski,. Tauer Globalübungsaufgabe (ll Pair Shortest Path): etrachten Sie den
MehrVU Algorithmen auf Graphen Übungsblatt 2 - Aufgabe 2 Transformation einer MaxFlow- in eine MinCost Circulation Instanz
VU Algorithmen auf Graphen Übungsblatt 2 - Aufgabe 2 Transformation einer MaxFlow- in eine MinCost Circulation Instanz Gruppe A: Bernhard Stader, Georg Ziegler, Andreas Zugaj 10. November 2004 Inhaltsverzeichnis
Mehr2. November Gradfolgen Zusammenhang Kürzeste Wege. H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 37
2. November 2011 Gradfolgen Zusammenhang Kürzeste Wege H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 37 Satz von Erdős und Gallai Eine Partition einer natürlichen Zahl ist genau dann die Gradfolge
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen 13. Übung minimale Spannbäume, topologische Sortierung, AVL-Bäume Clemens Lang Übungen zu AuD 4. Februar 2010 Clemens Lang (Übungen zu AuD) Algorithmen und Datenstrukturen
MehrBäume und Wälder. Definition 1
Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt
Mehr8.4 Digraphen mit negativen Kantengewichten Grundsätzliches Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtlänge < 0.
8.4 Digraphen mit negativen Kantengewichten 8.4.1 Grundsätzliches Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtlänge < 0. k 4 5 1 s 1 3 2 C k 0 k 3 1 1 1 k 1 k 2 v Sollte ein Pfad von s nach C und
MehrVery simple methods for all pairs network flow analysis
Very simple methods for all pairs network flow analysis Tobias Ludes 02.07.07 Inhalt Einführung Algorithmen Modifikation der Gomory-Hu Methode Einführung Nach Gomory-Hu nur n-1 Netzwerk-Fluss- Berechnungen
MehrAufgaben zur Klausurvorbereitung
Vorlesung Graphen und Optimierung Sommersemester 2013/14 Prof. S. Lange Aufgaben zur Klausurvorbereitung Hier finden Sie eine Reihe von Übungsaufgaben, die wir an den beiden Vorlesungsterminen am 29.01.2014
MehrAlgorithmen & Komplexität
Algorithmen & Komplexität Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch Kürzeste Pfade Problem Gegeben Netzwerk: Graph G = (V, E), Gewichtsfunktion w: E N Zwei Knoten: s, t Kantenzug/Weg
MehrVery simple methods for all pairs network flow analysis
Very simple methods for all pairs network flow analysis obias Ludes 0.0.0. Einführung Um den maximalen Flusswert zwischen allen Knoten eines ungerichteten Graphen zu berechnen sind nach Gomory und Hu nur
MehrStudientag zur Algorithmischen Mathematik
Studientag zur Algorithmischen Mathematik Minimale aufspannende Bäume und Matchings Winfried Hochstättler Diskrete Mathematik und Optimierung FernUniversität in Hagen 22. Mai 2011 Outline Minimale aufspannende
MehrSeminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn
Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Ein 5.55-Approximationsalgorithmus für das VPND-Problem Lars Schäfers Inhalt Einführung:
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen, FS17 Prof Dr Christian Tschudin
Departement Mathematik und Informatik Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 Prof Dr Christian Tschudin 20. April 2017 Graphenalgorithmen III Robert Floyd Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 20. April
MehrKapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe 3. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 4. Minimal spannende Bäume 5. Kürzeste Pfade 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse
MehrSeminar: Einladung in die Mathematik
Seminar: Einladung in die Mathematik Marius Kling 11.11.2013 Übersicht 1. Königsberger Brückenproblem 2. Diskrete Optimierung 3. Graphentheorie in der Informatik 4. Zufällige Graphen 5. Anwendungen von
MehrLösungsskizzen zu den Klausuraufgaben zum Kurs 1142 Algorithmische Mathematik. a 0 = 0 =
Lösungsskizzen zu den Klausuraufgaben zum Kurs 4 Algorithmische Mathematik 4KSL3 6 Punkte Aufgabe. Die Folge (a n ) n N natürlicher Zahlen a n sei rekursiv definiert durch a 0 = 0, a n = a n + n falls
MehrHelmut Schauer Educational Engineering Lab Department for Information Technology University of Zurich. Graphen (2)
Graphen (2) 1 Topologisches Sortieren (1) Die Kanten eines gerichteten zyklenfreien Graphen bilden eine Halbordnung (die Ordnungsrelation ist nur für solche Knoten definiert die am gleichen Pfad liegen).
MehrDas Heiratsproblem. Definition Matching
Das Heiratsproblem Szenario: Gegeben: n Frauen und m > n Männer. Bekanntschaftsbeziehungen zwischen allen Männern und Frauen. Fragestellung: Wann gibt es für jede der Frauen einen Heiratspartner? Modellierung
MehrGraphdurchmusterung, Breiten- und Tiefensuche
Prof. Thomas Richter 18. Mai 2017 Institut für Analysis und Numerik Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg thomas.richter@ovgu.de Material zur Vorlesung Algorithmische Mathematik II am 18.05.2017 Graphdurchmusterung,
MehrMatching markets Seminar maschinelles Lernen WS 10/11
Matching markets Seminar maschinelles Lernen WS 10/11 08.12.2010 Matching markets Rebekka Gohla 1 Einführung Matching markets ist das erste Kapitel des Themenkomplexes Märkte und strategische Interaktionen
Mehrlässt sich auch ableiten, dass es einen augmentierenden Pfad der Länge höchstens
Praktikum Algorithmen-Entwurf (Teil 5)..5 Matchings in Graphen Es sei ein ungerichteter Graph G = (V, E) gegeben. Ein Matching in G ist eine Teilmenge M E, so dass keine zwei Kanten aus M einen Endpunkt
MehrDefinition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.
Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Martin Lercher Institut für Informatik Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Teil 10 Suche in Graphen Version vom 13. Dezember 2016 1 / 2 Vorlesung 2016 / 2017 2 /
MehrSystems of Distinct Representatives
Systems of Distinct Representatives Seminar: Extremal Combinatorics Peter Fritz Lehr- und Forschungsgebiet Theoretische Informatik RWTH Aachen Systems of Distinct Representatives p. 1/41 Gliederung Einführung
Mehr3.6 Branch-and-Bound-Verfahren
36 Branch-and-Bound-Verfahren Die Branch-and-Bound -Methode beruht darauf, auf eine intelligente Weise alle zulässigen Lösungen eines kombinatorischen Optimierungsproblems aufzulisten und mit Hilfe von
MehrMinimal spannende Bäume
http://www.uni-magdeburg.de/harbich/ Minimal spannende Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke-Universität 2 Inhalt Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Minimal spannende Algorithmen
MehrMaximale s t-flüsse in Planaren Graphen
Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen Vorlesung Algorithmen für planare Graphen 6. Juni 2017 Guido Brückner INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg
MehrAnhang: Ungarische Methode
Ungarische Methode 107 Anhang: Ungarische Methode Zum Schluss des Kurses soll noch der Algorithmus der Ungarischen Methode beschrieben werden. Wir lehnen uns hierbei eng an der Darstellung von DOMSCHKE
Mehr