Dieses Buch darf ohne Genehmigung des Autors in keiner Form, auch nicht teilweise, vervielfältig werden.

Transkript

1

2 Netzwerke berechnen mit der Ersatzspannungsquelle von Wolfgang Bengfort ET-Tutorials.de Elektrotechnik verstehen durch VIDEO-Tutorials zum Impressum Rechtlicher Hinweis: Alle Rechte vorbehalten. Dieses Buch darf ohne Genehmigung des Autors in keiner Form, auch nicht teilweise, vervielfältig werden. Texte und Bilder Copyright 2014 Vorwort Schüler und Studenten der Elektrotechnik werden zur Beginn der Ausbildung mit verschiedenen Berechnungsverfahren linearer Netzwerke konfrontiert. Ein wichtiges Berechnungsverfahren, das häufig auch Gegenstand der Prüfung im Fach Grundlagen der Elektrotechnik ist, ist die Berechnung von Netzwerken mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle. In diesem Buch wird das Konzept der Ersatzspannungsquelle anschaulich erklärt. Ziel des Buches ist es, dem Studierenden bei der Anwendung der Ersatzspannungsquelle punktgenau zu unterstützen ohne Ballast. Der sichere mgang mit der Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen wird dabei in diesem Buch bewusst vorausgesetzt. Mit Hilfe von einfachen Beispielschaltungen wird zunächst das Prinzip der Ersatzspannungsquelle erläutert und anschließend mit komplizierteren Schaltungen vertieft. Einzelne Aspekte der Beispielschaltungen werden in speziellen Online-Videos für die eser dieses Buches veranschaulicht. Münster Wolfgang Bengfort

3 Inhaltsverzeichnis Vorwort Was ist eine Ersatzspannungsquelle Ein einfaches Beispiel Aufbau einer Ersatzspannungsquelle eerlaufspannung 0 Innenwiderstand mwandlung einer Schaltung in eine Ersatzspannungsquelle Prinzipielles Vorgehen Ein einfaches Beispiel Erster Schritt: Entfernen der ast aus der Schaltung Zweiter Schritt: Berechnung der eerlaufspannung 0 Dritter Schritt: Bestimmung des Innenwiderstandes R i Berechnung der Ersatzschaltung aus Ersatzspannungsquelle und ast Zweites Beispiel: Belastete Brückenschaltung Bestimmung der eerlaufspannung 0 Bestimmen des Innenwiderstands R i Berechnung der Klemmenspannung mit Hilfe der Ersatzspannungsquelle Netzwerk mit mehreren Spannungsquellen Bestimmung der eerlaufspannung 0 Bestimmung des Innenwiderstandes R i Berechnung der Ersatzschaltung aus Ersatzspannungsquelle und ast Ein komplizierteres Beispiel Bestimmung der eerlaufspannung 0 Bestimmung des Innenwiderstandes R i Berechnung der Ersatzschaltung aus Ersatzspannungsquelle und ast Zusammenfassung

4 Was ist eine Ersatzspannungsquelle Häufig trifft man bei der Analyse von Netzwerkschaltungen auf Schaltungen, die sich nicht auf direktem Weg oder nur mit sehr großem Aufwand berechnen lassen. Schaltungen mit linearen Bauteilen, wie beispielsweise ohmschen Widerständen, lassen sich jedoch in eine einfache äquivalente Ersatzschaltung umwandeln. Diese Ersatzschaltung ist zur Originalschaltung äquivalent. Das bedeutet, sie verhält sich genau wie die Originalschaltung. Die äquivalente Schaltung besteht nur noch aus einer einzigen Spannungsquelle 0 und einem Widerstand R i. Diese reale Spannungsquelle wird als Ersatzspannungsquelle bezeichnet.

5 Ein einfaches Beispiel Das folgende einfache Beispiel stellt das Konzept der Ersatzspannungsquelle vor. Die beiden Schaltungen in folgender Abbildung sind äquivalent. Der Spannungsteiler auf der linken Seite verhält sich bei jeder Belastung zwischen den Klemmen A und B wie die Ersatzspannungsquelle auf der rechten Seite. Das lässt sich beispielhaft überprüfen, indem die Spannung an und die Stromstärke durch verschiedene astwiderstände für beide Fälle berechnet wird. Beispielhaft werden im folgenden drei Belastungsfälle für beide Schaltungen berechnet. 1. Kurzschlussfall (R = 0) Die Ausgangsspannung beträgt im Kurzschlussfall AB =0V. Die Stromstärke durch den astwiderstand mit R =0 beträgt B 12V in der Originalschaltung I 1, 2A R 10 in der Ersatzschaltung 2. nbelastet (R = ) I R 1 6V 5 0 1, 2 i A Die Stromstärke durch den unendlich hohen astwiderstand beträgt in beiden Fällen I =0. Die Ausgangsspannung beträgt bei R = R2 10 in der Originalschaltung B 12V 6V R R in der Ersatzschaltung 6V, da am Innenwiderstand R i keine Spannung abfällt. (Da kein Strom fließt ist 0 Ri I 5 0A V und somit 0 Ri 0 3. Belastung mit R = 10Ω Zur Berechnung der Ausgangsspannung der Originalschaltung wird zunächst der

6 Ersatzwiderstand der Parallelschaltung aus R 2 und R berechnet. R2 R 1010 R 2 5 R R Die Ausgangsspannung ergibt sich aus R 5 B 12V R R Die Stromstärke durch R =10Ω beträgt somit V I R 4V 0, 10 4 A Die Ausgangsspannung der Ersatzspannungsquelle errechnet sich über den Spannungsteiler: R 10 6V 4V 0 R R 5 10 i 2 Die Stromstärke durch R =10Ω beträgt somit auch hier I R 4V 0, 10 4 A In der folgenden Tabelle sind die Ergebnisse für weitere astwiderstände aufgelistet. R 0 5Ω 10Ω 20Ω 25Ω AB (Originalschaltung) 0 3 V 4 V 4,8 V 5 V 6 V I (Originalschaltung) 1,2 A 0,6 A 0,4 A 0,24 A 0,2 A 0 AB (Ersatzspannungsquelle) 0 3 V 4 V 4,8 V 5 V 6 V I (Ersatzspannungsquelle) 1,2 A 0,6 A 0,4 A 0,24 A 0,2 A 0 Beim Nachrechnen der Ergebnisse fällt auf, dass die Berechnung der Werte mit Hilfe der Ersatzspannungsquelle schon bei diesem einfachen Beispiel erheblich einfacher ist als die Berechnung der Originalschaltung auf der linken Seite. Bei komplizierteren Schaltungen ist der nterschied noch größer.

7 Aufbau einer Ersatzspannungsquelle Wie im Beispiel gezeigt, besteht eine Ersatzspannungsquelle aus einer idealen Spannungsquelle 0 (der eerlaufspannung) und einem Innenwiderstand R i. eerlaufspannung 0 Wird die Ersatzspannungsquelle im eerlauf, also ohne astwiderstand, betrieben, fließt über den Innenwiderstand R i kein Strom. Es fällt an R i dann keine Spannung ab. Die Klemmenspannung zwischen Klemme A und Klemme B ist dann also gleich der Spannung 0. Die Spannung 0 wird daher auch als eerlaufspannung bezeichnet. Innenwiderstand Wird die Ersatzspannungsquelle belastet fließt ein Strom durch den Innenwiderstand R i. Folglich fällt an diesem Innenwiderstand eine Spannung ab. Die Klemmenspannung AB sinkt also und ist um den Betrag der Spannung Ri am Widerstand R i kleiner als die eerlaufspannung 0. AB 0 Ri Der Innenwiderstand R i ist gleich dem Widerstand zwischen den Klemmen A und B, denn die ideale Spannungsquelle hat den Widerstandswert 0. Die Ersatzspannungsquelle soll sich wie die Originalschaltung verhalten. Somit muss auch der Widerstand zwischen den Klemmen A und B gleich sein. Zur Bestimmung des Innenwiderstands R i muss also der Widerstand zwischen den Klemmen A und B in der Originalschaltung bestimmt werden.

8 mwandlung einer Schaltung in eine Ersatzspannungsquelle Das Konzept bei der mwandlung einer komplexeren Schaltung in eine Ersatzspannungsquelle funktioniert nun in folgenden Schritten. Prinzipielles Vorgehen Man entfernt zuerst den astwiderstand aus der rsprungsschaltung. Die nun offene Schaltung mit den Klemmen A und B wird anschließend in eine Ersatzspannungsquelle umgewandelt. Hierzu wird die eerlaufspannung und der Innenwiderstand der Originalschaltung bestimmt. Dabei werden zwei Übereinstimmungen betrachtet. 1. Die eerlaufspannung der Ersatzspannungsquelle entspricht der eerlaufspannung der Originalschaltung. 2. Der Innenwiderstand der Ersatzspannungsquelle entspricht dem Widerstand zwischen den Klemmen A und B der Originalschaltung. Der astwiderstand, den man gedanklich im ersten Schritt aus der Originalschaltung entfernt hat, wird nach der mwandlung gedanklich an die Ersatzspannungsquelle angeschlossen. Diese Schaltung besteht dann aus einer Reihenschaltung aus Innenwiderstand R i und astwiderstand R, angeschlossen an die eerlaufspannung 0. Die Berechnung der Originalschaltung ist so auf eine einfache Reihenschaltung zurückgeführt.

9 Ein einfaches Beispiel Die mwandlung einer Schaltung wird zunächst anhand des einfachen Beispiels von oben durchgeführt. Die Originalschaltung auf der linken Seite soll also in die äquivalente Ersatzspannungsquelle (rechts) überführt werden. Erster Schritt: Entfernen der ast aus der Schaltung Im ersten Schritt wird der astwiderstand aus der Schaltung genommen. Es ergibt sich eine Reihenschaltung aus zwei Widerständen mit den Klemmen A und B. Zweiter Schritt: Berechnung der eerlaufspannung 0 Im nächsten Schritt wird die eerlaufspannung zwischen den Klemmen A und B rechnerisch ermittelt. Die Spannung lässt sich beispielsweise mit der Formel für den unbelasteten Spannungsteiler AB B berechnen. R2 R R In unserem Beispiel ist das. 2 12V 6V Die Spannung zwischen den Klemmen 2 beträgt also 6V. Dies ist die eerlaufspannung der Ersatzspannungsquelle.

10 0 6V Dritter Schritt: Bestimmung des Innenwiderstandes R i Zur Bestimmung des Innenwiderstands R i der Ersatzspannungsquelle werden lediglich die Widerstandswerte der Originalschaltung betrachtet. Da der Widerstandswert der Spannungsquelle B gleich Null ist, sieht die Schaltung nun folgendermaßen aus: Zur Bestimmung des Innenwiderstands R i muss der Widerstand zwischen den Klemmen A und B bestimmt werden. Den Widerstand zwischen den Klemmen A und B erkennt man am leichtesten, wenn man den Widerstand R 1 über die eitung nach links schiebt. Man erkennt die Parallelschaltung aus R1 und R2. Der Widerstand zwischen den Klemmen A und B und somit auch der Innenwiderstand der Ersatzspannungsquelle ergibt sich somit aus

11 R i R1 R R R Berechnung der Ersatzschaltung aus Ersatzspannungsquelle und ast Mit den errechneten Werten setzt man nun die Ersatzspannungsquelle zusammen und schließt den astwiderstand (hier beispielhaft für R =25Ω) zwischen die Klemmen A und B an. Für die Klemmenspannung mit angeschlossenem astwiderstand ergibt sich somit: R 25 AB 0 6V 5V R R 5 25 i Das Ergebnis lässt sich durch die Berechnung der Originalschaltung, also dem belasteten Spannungsteiler überprüfen (siehe oben). Die Berechnung der Ersatzspannungsquelle für dieses Beispiel und die ösung der Aufgabe wird in diesem Video noch einmal gezeigt: Dieses erste, einfache Beispiel dient der Erläuterung des Konzeptes einer Ersatzspannungsquelle. Das Beispiel des belasteten Spannungsteilers lässt sich wie gezeigt mit etwas Mehraufwand auch ohne die Verwendung einer Ersatzspannungsquelle berechnen. Wie sieht es aber bei komplizierteren Schaltungen aus, die sich nicht durch das Zusammenfassen von Widerständen berechnen lassen? m diese Frage geht es im zweiten Beispiel, der belasteten Brückenschaltung.

12 Zweites Beispiel: Belastete Brückenschaltung Im nächsten Beispiel wird es schon ein wenig komplizierter. Es handelt es sich um eine belastete Brückenschaltung, die nicht durch das einfache Zusammenfassen von Widerständen lösbar ist. Die belastete Brückenschaltung lässt sich nicht weiter vereinfachen, denn es gibt keine Widerstände, die in Reihe oder parallel zu einander geschaltet sind. Gesucht ist die Spannung am astwiderstand R. Auch hier hilft wieder die Ersatzspannungsquelle. Bestimmung der eerlaufspannung 0 Nachdem der astwiderstand R entfernt worden ist, erhält man eine Brückenschaltung, also eine Parallelschaltung von zwei Reihenschaltungen. Die eerlaufspannung berechnet sich aus dem Potential am Punkt A (das ist die Spannung an R 2 ) minus dem Potential an Punkt B (das ist die Spannung an R 4 ). R2 6 Mit 2 B 24V 16V R R 3 6 und 1 2 R4 3 4 B 24V 8V R R

13 ergibt sich für AB 16V 8V 8V 2 4 Bestimmen des Innenwiderstands R i Zur Bestimmung des Innenwiderstandes betrachtet man den Widerstand zwischen den Klemmen A und B. Die (ideale) Spannungsquelle B hat den Widerstandswert 0, wirkt also zur Widerstandsberechnung kurzgeschlossen Es ergibt sich folgende Schaltung: Der Knoten oberhalb von R 1 und R 3 und der Knoten unterhalb von R 2 und R 4 sind also miteinander verbunden. Der Widerstand zwischen Klemme A und Klemme B lässt sich wie folgt bestimmen. Beginnend von Klemme A sieht ist zu erkennen, dass R 1 und R 2 mit Klemme A einen gemeinsamen Anschluss haben. Über den Kurzschluss links haben die Widerstände R 1 und R 2 einen zweiten gemeinsamen Anschluss. R 1 liegt also parallel zu R 2. Mit diesem Knoten ist sowohl R 3 als auch R 4 verbunden. Die Widerstände R 3 und R 4 haben also diesen gemeinsamen Anschluss. Weiterhin haben R 3 und R 4 einen gemeinsamen Anschluss gemeinsam mit Klemme B. R 3 liegt also parallel zu R 4. Von Klemme A gelangt man über die Parallelschaltung von R 1 und R 2 und anschließend (dazu in Reihe) über die Parallelschaltung von R 3 und R 4 zu Klemme B. Es ergibt sich also folgendes Schaltbild:

14 Der Widerstand zwischen den Klemmen A und B, der ebenfalls der Innenwiderstand Ri ist berechnet sich also aus: R i R1 R2 R3 R R R R R Folgendes Video erläutert noch einmal die Berechnung des Innenwiderstandes in der Brückenschaltung. Berechnung der Klemmenspannung mit Hilfe der Ersatzspannungsquelle Zur Berechnung der Gesamtschaltung wird nun der astwiderstand R an die Ersatzspannungsquelle angeschlossen. Es ergibt sich also folgende Ersatzspannungsquelle: Für die Klemmenspannung mit angeschlossenem astwiderstand ergibt sich somit: R 4 0 8V 4V R R 4 4 i An diesem Beispiel lässt sich erkennen, dass auch kompliziertere Schaltungen durch die mwandlung in eine Ersatzspannungsquelle berechnet werden können. Aber wie sieht es aus, wenn die Originalschaltung aus mehreren Spannungsquellen besteht? m diese Frage geht es im nächsten Beispiel.

15 Netzwerk mit mehreren Spannungsquellen Mit Hilfe der Ersatzspannungsquelle lassen sich nur Netzwerke mit einer Spannungsquelle berechnen, wie das nächste Beispiel zeigt. Bestimmung der eerlaufspannung 0 Nachdem der astwiderstand R entfernt worden ist, erhält man einen Stromkreis, in dem zwei Spannungsquellen vorhanden sind. Der Strom in diesem Stromkreis lässt sich über einen Spannungsumlauf berechnen. Es gilt: 12V 8V I R1 I R I 1A 2 2 Die Spannung AB, die gleichzeitig die eerlaufspannung 0 ist, berechnet sich aus: R I 8V 21A 10V ( bzw. R I 12V 21A 10V ) 0 1 1

16 Folgendes Video erläutert noch einmal die Berechnung der eerlaufspannung für diese Schaltung. Bestimmung des Innenwiderstandes R i Da die Widerstände der idealen Spannungsquellen gleich Null sind, errechnet sich der Innenwiderstand, zwischen den Klemmen A und B aus der Parallelschaltung der Widerstände R 1 und R 2. R i R1 R R R Berechnung der Ersatzschaltung aus Ersatzspannungsquelle und ast Für die Klemmenspannung mit angeschlossenem astwiderstand ergibt sich somit: R V 5V R R 1 1 i

17 Ein komplizierteres Beispiel Auch für kompliziertere Netzwerke lässt das Verfahren der Ersatzspannungsquelle anwenden, wie eine Erweiterung des vorherigen Beispiels zeigt. Bestimmung der eerlaufspannung 0 Nachdem der astwiderstand R 3 entfernt worden ist, erhält man folgende Schaltung, in der drei Spannungsquellen vorhanden sind. Die Spannung an den Klemmen A und B lässt sich nun in zwei Schritten berechnen. Da im oberen Zweig kein Strom fließt - der Zweig ist ja auf rechten Seite offen - entspricht der erste Schritt der Berechnung aus der vorherigen Aufgabe.

18 Man erhält wie oben: X 10V Die Spannung zwischen denn Klemmen A und B, also 0, setzt sich aus der Spannung X, der Spannung am Widerstand R 3 und der Spannungsquelle 3 zusammen. X R3 3 0 also 0 X R3 3 Da die Klemmen A B offen sind, fließt durch den Widerstand R 3 kein Strom. Es fällt am Widerstand folglich auch keine Spannung ab. Es gilt also: 3 0. nd somit: x 10V 4V 6V 0 3 Bestimmung des Innenwiderstandes R i Entfernt man die Spannungsquellen erhält man folgendes Schaltbild: Der Widerstand zwischen den Klemmen A und B ist also eine Reihenschaltung aus R 3 und der Parallelschaltung von R 1 und R 2. R i R1 R2 2 2 R3 1 2 R R

19 Berechnung der Ersatzschaltung aus Ersatzspannungsquelle und ast Für die Klemmenspannung mit angeschlossenem astwiderstand ergibt sich somit: R 2 0 6V 3V R R 2 2 i In diesem Video wird die Berechnung dieses Beispiels weiter erläutert: Zusammenfassung Mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle lassen sich auch komplizierte Schaltung aus linearen Bauteilen in eine einfache Reihenschaltung überführen. Die Berechnung dieser Reihenschaltung lässt sich problemlos durchführen. Die mwandlung der Originalschaltung in die gewünschte Ersatzschaltung erfolgt durch folgende Schritte. -Entfernen des astwiderstandes aus der Originalschaltung -Bestimmung der eerlaufspannung an den nun offenen Klemmen -Bestimmung des Innenwiderstandes zwischen den offenen Klemmen -Einbau des astwiderstandes in die ermittelte Ersatzspannungsquelle -Berechnung der Klemmenspannung mit Hilfe der Ersatzspannungsquelle