Fallstudie 1 Diskrete Verteilungen Abgabe: Aufgabentext und Lösungen schriftlich bis zum

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1 Abgabe: Aufgabentext und Lösungen schrftlch bs zum I. Thema: Zehen mt und ohne Zurücklegen Lesen Se sch zunächst folgenden Text durch! Wr haben bsher Stchprobenzehungen aus Grundgesamtheten Mt Zurücklegen jedes gezogenen Teles, bevor das nächste gezogen wrd, betrachtet. De Zehungen können wr dann als stochastsch unabhängg vonenander betrachten. De Zufallsgröße X = Anzahl defekter Tele n der Stchprobe st dann B(n,p) (Bnomal-) vertelt, wobe n der Stchprobenumfang und p der Antel der defekten Tele n der Gundgesamthet snd. Es glt: P n ( X = ) = p (1 p), = 0,1,,n In der Praxs zeht man allerdngs Stchproben Ohne Zurücklegen, d.h. das gezogene und geprüfte Tel wrd ncht weder n de Grundgesamthet zurückgelegt und steht damt ener erneuten Zehung ncht mehr zur Verfügung. Be deser Methode snd de Zehungen ncht mehr unabhängg vonenander, de Grundgesamthet wrd be jeder Zehung geändert, d.h. de nächste Zehung hängt davon ab, was vorher gezogen wurde. Damt st de Bedngung der Unabhänggket, de für ene Bnomalvertelung (BV) vorausgesetzt wurde, ncht mehr gegeben und wr dürften de BV ncht verwenden. Aber: Be großen Grundgesamtheten, we se n Massenproduktonen vorkommen, kann man für klene Stchproben näherungswese annehmen, dass de Grundgesamthet sch durch Zehung der Stchprobe ncht ändert und es sehr unwahrschenlch st, gezogene Tele be erneuter Zehung noch mal zu zehen. In desem Fall verwendet man de BV trotzdem. Als Faustregel glt: De BV darf auch be Zehung ohne Zurücklegen verwendet werden, falls glt: n < N/10 Dabe snd N = de Anzahl der Elemente n der Grundgesamthet und n = der Stchprobenumfang. Was st aber, wenn der Umfang N der Grundgesamthet m Verhältns zum Stchprobenumfang n klen st, d.h. wenn dese Bedngung verletzt st? Lösen Se dazu de folgende Aufgabe 1! Dese Aufgabe sollen Se unter Verwendung folgender Rechenregeln für Wahrschenlchketen lösen: 1

2 n 1 n A ) = 1 (1) P( A A2 A3 A ) = P( falls kene 2 A s gemensam entreten, d.h. alle A s dsjunkt snd: A A = Φ für j. j (2) P( A1 A2 A3 An ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 A2 ) P( An An 1) (wobe P(A/B) de bedngte Wahrschenlchket von A unter der Bedngung B st) falls de A s ncht stochastsch unabhängg vonenander snd, d.h. de Wahrschenlchket von A wrd durch de anderen A j, j, beenflusst. Aufgabe 1 In enem Los von N = 30 Telen befnden sch M=2 defekte Tele. Aus desem wrd ene Stchprobe ohne Zurücklegen vom Umfang n = 4 entnommen. a) Berechnen Se unter Verwendung der Formeln (1) und (2) de Wahrschenlchketsvertelung für X = Anzahl der defekten Tele n der Stchprobe. b) Überzeugen Se sch davon, dass für de Vertelung von X glt: M N n M P ( X = ) =, = 0,1,,M (3) N n c) Skzzeren Se dese Vertelung grafsch und verglechen Se dese mt der Bnomalvertelung B(n, p=m/n), de man für n = 4, M=2 und N=30 bem Zehen mt Zurücklegen für X erhalten würde: P n ( X = ) = p (1 p), = 0,1,,n (4) d) De Vertelung n b) bezechnet man als Hypergeometrsche Vertelung Hyp(N,M,n). De Zufallsgröße X = Anzahl von defekten Telen n ener Stchprobe von n Telen (ohne Zurücklegen) aus ener Grundgesamthet von N Telen, de M defekte enthält, st Hyp(N,M,n) vertelt. Oben wurde erwähnt, dass man für den Fall n < N/10 de Hyp(N,M,n)-Vertelung durch de B(n, p=m/n)- Vertelung ersetzen kann. Verglechen Se nun bede Vertelungen (3) und (4) grafsch und rechnersch für den Fall: N = 100, M= 3, n = 4. Was stellen Se nun fest m Verglech zu c)? 2

3 II. Thema: De Possonvertelung für de Anzahl seltener Eregnsse be enem Objekt Lesen Se sch zunächst folgenden Text durch! Bsher war unsere Zufallsgröße X de folgende: X = Anzahl der Objekte ener Stchprobe vom Umfang n, de ene Egenschaft A bestzen, wobe de Egenschaft A n der Grundgesamthet, aus der de Stchprobe gezogen wurde, mt der Wahrschenlchket p vorkommt. X bestzt (für n < N/10) ene B(n,p)-Vertelung. Häufg snd aber be ener solchen Zufallsgröße X n und/ oder p gar ncht bekannt, sondern nur hr Erwartungswert EX = np (den man durch das arthmetsche Mttel x von Beobachtungen von X gut schätzen kann: EX x ). Man kann dann de Bnomalwahrschenlchketen (4), de de Kenntns von n und p erfordern, ncht berechnen. Bespele: X = Anzahl der an ener Stelle S vorbefahrenden Autos pro Mnute n = Anzahl der potentell n Frage kommenden Autos, de an der Stelle S vorbefahren könnten, z.b. alle Autos ener Stadt oder enes Gebetes. p = Wahrschenlchket, mt der enes der n Autos an der Stelle S n enem vorgegebenen Mnutenntervall vorbefährt. (n und p snd unbekannt, aber de durchschnttlch pro Mnute vorbefahrenden Autos, d.h. x np st, z.b. durch Verkehrsmessungen, bekannt). X = Anzahl der Kratzer auf ener Motorhaube n = Anzahl der potentell n Frage kommenden Stellen für enen Kratzer p = Wahrschenlchket, mt der ene Stelle auf der Motorhaube enen Kratzer hat X = Anzahl der Isolatonsfehler be enem Draht der Länge von 250 m n = Anzahl der Stellen auf dem Draht, de enen Isolatonsfehler haben können p = Wahrschenlchket dafür, mt der ene Stelle enen Fehler aufwest. Allen Bespelen gemensam st, n und p zwar unbekannt aber n sehr groß und p sehr klen snd. Das Produkt EX=np lässt sch durch das arthmetsche Mttel x von Beobachtungen von X schätzen. In desem Fall kann man de Bnomalwahrschenlchketen durch de sogenannten Possonwahrschenlchketen ersetzen, es glt: p k n ( 1 p) e = 0,1,2,... k! mt λ=np x (5) 3

4 (Dese Näherung glt als gut genug, z.b. für n > 200 und p < 0,05) k n (Mathematsch glt folgender Grenzwert: lm p (1 p) = e = 0,1,2,...) n > k! p > 0 np= λ= kons tan t Defnton: Ene Zufallsgröße X mt dem Werteberech X {0,1,2,3, } heßt Possonvertelt mt dem Parameter λ - wr schreben X~P(λ) - falls glt: P( X = ) = e (6)! Für den Erwartungswert ener possonvertelten Zufallsgröße erhält man EX =λ. Wr schreben X~P(λ) Als Possonvertelt betrachtet man folgende Zufallsgrößen: X = Anzahl des Auftretens enes seltenen Eregnsses (vorbefahrendes Auto, Fehler an enem Produkt, Feueralarm usw. ) beobachtet an enem Objekt (bestmmtes Zetntervall, Draht ener bestmmten Länge, Motorhaube, usw.) Lösen Se nun de folgenden Aufgaben unter Verwendung der Possonvertelung! Aufgabe 2 En Draht mt ener Länge von 100 m west durchschnttlch 0,8 Isolatonsfehler auf. a) We vel Isolatonsfehler west dann en Draht der Länge 250 Meter durchschnttlch auf? (Dresatz anwenden) b) We groß st de Wahrschenlchket dafür, dass be enem Draht der Länge 150 Meter mehr als en Isolatonsfehler auftrtt? Aufgabe 3 Be Verkehrsmessungen wurde festgestellt, dass m Durchschntt pro Mnute 10 Autos an der Mess-Stelle vorbegefahren snd. a) We groß st de Wahrschenlchket dafür, dass mehr als 10 Autos n enem Mnutenntervall an der Stelle vorbefahren? b) We groß st de Wahrschenlchket dafür, dass n enem Mnutenntervall ken Auto vorbekommt? 4

5 Aufgabe 4 De Bltzhäufgket n Deutschland beträgt m Durchschntt jährlch 10 Enschläge pro km 2, was 0,1 Enschläge pro Hektar und Jahr entsprcht. We groß st de Wahrschenlchket dafür, dass en Bltz n ene Parzelle von 1 ha mehrfach, d.h. mehr als 1 mal enschlägt? Aufgabe 5 ( Experment) Angeblch glt dass de Anzahl X der an ener Stelle S vorbefahrenden Autos pro Zetenhet possonvertelt st mt dem Parameter λ = Ε X. Führen Se dazu folgendes Experment durch: a) Erfassen Se de Anzahl X der pro Mnute an der Ecke Hohenzollernstraße/Goebenstraße auf der Hohenzollernstraße vorbefahrenden Autos für mndestens 45 Mnuten, (alternatv können Se auch enen anderen Ort wählen, Se können de Datenerfassung auch zu mehreren Personen durchführen). b) Stellen Se ene Häufgketsvertelung für X auf. c) Berechnen Se de Wahrschenlchketen für X=, =0,1,2,. unter Verwendung von (6) mt λ= x d) Verglechen Se b) und c) rechnersch und grafsch. 5