Numerische Methoden. Thomas Huckle Stefan Schneider. Eine Einführung für Informatiker, Naturwissenschaftler, Ingenieure und Mathematiker.

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1 Thomas Huckle Stefan Schneider Numerische Methoden Eine Einführung für Informatiker, Naturwissenschaftler, Ingenieure und Mathematiker 2. Auflage Mit 103 Abbildungen und 9 Tabellen 4Q Springer

2 Inhaltsverzeichnis Teil I Motivation und Einordnung 1 Die Entwicklung des Rechnens 3 2 Numerische Mathematik, Reine Mathematik und Informatik Informatik als die Wissenschaft vom Computer Informatik und Numerik im Wissenschaftlichen Rechnen Numerische Methoden in der Informatik 9 3 Benötigtes Grundwissen aus Informatik und Mathematik Informatik Einordnung in die Mathematik Beziehung zu anderen natur- und ingenieurwissenschaftlichen Fachgebieten 12 Teil II Rechnerarithmetik und Rundungsfehler 4 Rundungs- und Rechenfehler Rundungsfehler Rechenfehler Gesamtfehler Analyse weiterer Fehlerquellen Sicherheitsrelevante Entwicklungsprozesse und Standards Zahldarstellung Binärzahlen Addition und Subtraktion von Binärzahlen Multiplikation und Division von Binärzahlen Integer-Zahlen Darstellung reeller Zahlen Festkommazahlen Intervallarithmetik Gleitpunktzahlen 56

3 X Inhaltsverzeichnis Rundung von Gleitpunktzahlen 62 6 Gleitpunktarithmetik und Fehlerfortpflanzung Realisierung einer Maschinenoperation Rundungsfehleranalyse Auslöschung Zusammenfassung 79 7 Kondition und Stabilität 81 8 Aufgaben.: 93 Teil III Lineare Gleichungssyteme 9 Lösung Linearer Gleichungssysteme Einleitung Auflösen von Dreiecksgleichungssystemen Gauß-Elimination Gauß-Elimination und Lt/'-Zerlegung Kondition eines linearen Gleichungssystems Kosten der Gauß-Elimination Lineare Ausgleichsrechnung Methode der kleinsten Quadrate Q/?-Zerlegung Regularisierung Effiziente Lösung linearer Gleichungssysteme Dünnbesetzte Gleichungssysteme Gleichungssysteme und Computer-Architektur Anwendungsbeispiele Computertomographie Neuronale Netze Leontief'sches Weltmodell Aufgaben 149 Teil IV Interpolation und Integration

4 Inhaltsverzeichnis 14 Interpolation Interpolationsaufgabe Interpolation mit Polynomen Fehler bei der Polynom-Interpolation Newton-Form des Interpolationspolynoms Weitere Interpolationsansätze Quadratur Einleitung Quadraturregeln aus Flächenbestimmung Regeln aus der Interpolation Gauß-Quadratur Extrapolationsverfahren Adaptive Verfahren Weitere Verfahren Beispiele Interpolation von Bilddaten Registrierung und Kalibrierung von Bilddaten Gauß'scher Weichzeichner Fuzzy-Steuerung Aufgaben 193 XI Teil V Die schnelle Fourier-Transformation 18 Eigenschaften und Algorithmen Diskrete Fourier-Transformation Schnelle Fourier-Transformation am Beispiel der IDFT FFT-Algorithmus am Beispiel der IDFT Anwendungen Schnelle Multiplikation von Polynomen Fourier-Analyse der Sonnenfleckenaktivität Bildkompression Mathematische Modellierung von Graustufenbildern JPEG-Verfahren zur Komprimierung von Bildern Cosinus Transformation Reduktion auf die bekannte FFT Filter und Bildverarbeitung Wavelets Aufgaben 229

5 XII Inhaltsverzeichnis Teil VI Iterative Verfahren 21 Fixpunktgleichungen Problemstellung Banach'scher Fixpunktsatz Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung Beschreibung des Newton-Verfahrens Weitere Methoden zur Nullstellenbestimmung Sekantenverfahren Bisektionsverfahren Newton-Verfahren für Polynome Newton-Verfahren zur Berechnung eines Minimums Iterative Lösung Linearer Gleichungssysteme Stationäre Methoden Gradientenverfahren Vektoriteration Anwendungsbeispiele Iteration und Chaos Logistische Parabel Komplexe Iteration Newton-Iteration und Chaos Iterative Verfahren in Anwendungen Neuronale Netze und iterative Verfahren Markov-Ketten und stochastische Automaten Data Mining und Information Retrieval Aufgaben 273 Teil VII Numerische Behandlung von Differentialgleichungen 26 Gewöhnliche Differentialgleichungen Numerische Lösungsverfahren Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung Fehleruntersuchung Anwendungsbeispiele Räuber-Beute-Modell Lorenz-Attraktor Algebraische Differentialgleichungen und Chip-Design. 297

6 Inhaltsverzeichnis XIII 27 Partielle Differentialgleichungen Einleitung Diskretisierungsmethoden Finite Differenzen Iterative Lösungsverfahren Finite-Element-Diskretisierungen Weitere Beschleunigungsmethoden Adaptivität Parallelität Beispiele Wetter Tsunami Bildverarbeitung und PDE Aufgaben 339 Teil VIII Anhang A Werkzeuge aus der Analysis 347 A.l Taylor-Entwicklung 347 A.2 Landau-Notation 351 B Werkzeuge aus der Linearen Algebra 353 B.l Vektoren und Matrizen 353 B.2 Normen 355 B.3 Orthogonale Matrizen 358 B.4 Eigenwerte und Singulärwerte 359 B.5 Bestapproximation in der. 2-Norm 360 C Komplexe Zahlen 363 D Fourier-Entwicklung 367 E Praktische Hinweise 369 E.l Hinweise zu Übungs- und Programmieraufgaben 369 E.2 Überblick zu Software für numerische Anwendungen 370 E.3 Literaturhinweise 371 Literaturverzeichnis 375 Index 381