6 Dynamik der Translation

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1 6 Dynamik der Translation

2 Die Newton sche Axiome besagen, nach welchen Geseten sich Massenpunkte im Raum bewegen Erstes Newton sches Axiom (Trägheitsgeset = law of inertia) Das erste Newton sche Axiom lautet: Ein Ein Körper Körper verharrt im im Zustand der der Ruhe Ruhe oder oder der der gleichförmig geradlinigen Bewegung, falls falls keine keine äußeren Kräfte Kräfte auf auf ihn ihn einwirken. Mathematisch können wir dies ausdrücken als v = const., wenn F = 0 wobei die Kräfte nach dem englischen Begriff ("force") mit F beeichnet werden und Vektorcharakter haben. Nach unserer Definition der Beschleunigung a = dv d t bedeutet dies, dass sie Null sein muss, da sie die Änderung einer konstanten Größe darstellt. dv d a = (const.) 0, wenn F 0 dt = dt = =

3 3 Wirkt also keine Kraft auf einen Körper, so bewegt er sich nicht oder, falls er schon in Bewegung ist, bewegt sich, ohne schneller oder langsamer u werden, geradeaus weiter. Um eine Bewegungsänderung u erreichen, muss deshalb auf den Körper eine Kraft wirken. Frage: Wie ändert sich die Bewegung, wenn es eine Kraft gibt? Darauf gibt das. Newton sche Axiom Antwort Zweites Newton sches Axiom Das weite Newton sche Axiom lautet: Die Die eitliche Änderung des des Impulses eines eines Körpers ist ist proportional ur ur äußeren Kraft, Kraft, die die auf auf den den Körper Körper wirkt. wirkt. Dau müssen wir sagen, wie der Impuls ("momentum") definiert ist. Er wird mit p beeichnet und ist ebenfalls ein Vektor. p : = m v Impuls

4 4 Der Impuls eines Massenpunktes hat also die gleiche Richtung wie dessen Geschwindigkeit und ist betragsmäßig gleich dem Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. Dabei ist m die Masse des Körpers (träge Masse). Die Masse ist die 3. Basisgröße in der Physik mit der Einheit [m] = 1 kg (Basiseinheit = Urkilogramm). Die Einheit des Impulses wird damit [ p] = kg m s Das weite Axiom besagt also dp F dt Die Proportionalitätskonstante ist in diesem Fall Eins, d. h. dp dt = F. Newton sche Axiom

5 5 Zusammenhang mit dem dynamischen Grundgeset F = m a: dp d dm dv dm F = = [ m v] = v + m = v + m a dt dt dt dt dt eitl. Änderung der Masse Ist ferner die Masse eitlich konstant, was oft der Fall ist, dann gilt, da F = m a dm dt = 0 ist, Beispiele, bei denen m nicht konstant ist, sind a) aufsteigende Rakete, die durch die Verbrennung von Treibstoff kontinuierlich leichter wird, oder b) Fälle von sehr hohen Geschwindigkeiten, bei denen aufgrund der Relativitätstheorie die Masse bis ins Unendliche unehmen kann. m = m 1 v 0 c

6 6 Die Kraft schließlich hat die Einheit kg m F = = :N(ewton) s veraltete Krafteinheit: 1 kp = 9,81 N = Kraft, die auf 11 g auf der Erde wirkt Das weite Newton sche Axiom sagt uns also, dass wir, wenn wir die Kräfte, die an einer Masse angreifen, kennen, deren resultierende Bewegung über die Impulsänderung berechnen können.. Newton sche Axiom in integraler Form Kraftstoß und Impulsänderung dp F = dp = F dt dt Integration: p t t p 0 d p = Ft ( )d t p p = Ft ( )dt 0 0 0

7 7 t p = p + F ()d t t 0 0 Anfangsimpuls Kraftstoß (Zeitintegral über die Kraft)

8 Drittes Newton sches Axiom Das dritte Newton sche Axiom lautet: Bei der Wechselwirkung weier Körper 1 und ist die Kraft F1, die Körper 1 auf Körper ausübt, betragsmäßig gleich groß und entgegengesett gerichtet wie die Kraft F von Körper auf Körper 1. 1 Mathematisch formuliert heißt das F = F 1 1 und wird lateinisch so ausgedrückt: actio actioest estreactio

9 9 Typische Beispiele für dieses Geset sind a) wei Boote, die mit einer Leine verbunden sind. Eine Person in einem Boot versucht, das andere Boot an der Leine u sich heranuiehen. Es bewegen sich aber immer beide Boote auf den gemeinsamen Mittelpunkt u. b) Rückstoß bei einem Gewehr: Die explodierenden Pulverdämpfe ereugen eine Kraft F 1 nach vorne auf das Geschoss und eine gleichgroße Gegenkraft F auf das Gewehr nach hinten (Rückstoß). Frage: Warum soll man das Gewehr festhalten?

10 6. Das Superpositionsprinip 10 Ähnlich wichtig ist das Superpositionsprinip. Es lautet: Greifen Greifen an an einem einem Punkt Punkt mehrere Kräfte Kräfte an, an, so so ist ist die die Gesamtkraft (resultierende Kraft) Kraft) die die Vektorsumme der der Einelkräfte. F = Fi i Für jede der Komponenten F x, F y, F gilt dann eine entsprechende Relation. F = F, F = F, F = F x x y y i i i i i i Gilt 0, so ist die Gesamtkraft Null und ein anfangs ruhender Körper bleibt i F i = in Ruhe. Man sagt, die Kräfte sind im Gleichgewicht.

11 6. Das Superpositionsprinip 11 Bemerkung: Dieses Prinip erweist sich als ausgesprochen nütlich, und wir müssen es dann u Hilfe nehmen, wenn gleicheitig mehrere Kräfte an einem Massenpunkt angreifen. Dann soll gelten, dass mehrere Kräfte auf einem Massenpunkt sich immer in ihrer Wirkung u einer Gesamtkraft addieren. Umgekehrt gilt, dass sich beliebige Kräfte immer in ihre Komponenten erlegen lassen. Dies nutt man aus, um. B. vertikale und horiontale Anteile einer Kraft voneinander u trennen.

12 6.3 Anwendung der Axiome 1 Wou haben wir die Axiome vorgestellt? Um die Bewegung eines Massenpunktes vorherusagen oder u beschreiben, wenn die auf ihn wirkenden Kräfte bekannt sind. Nehmen wir die Schwerkraft ("gravity") als Beispiel einer Kraft, die aufgrund der Erdbeschleunigung g an der Erdoberfläche an eine Masse m angreift. Auf eine Masse m im Gravitationsfeld nur eine Kraft entlang der -Achse, es gibt keine Kräfte in x- und y-richtung. Damit gilt nach dem 1. Newton schen Axiom, dass die Masse in diesen Richtungen (x, y) in Ruhe oder in gleichförmig geradliniger Bewegung bleibt, d. h. v x = const. und v y = const.. Für die -Richtung gilt hingegen Fx 0 F = m g F = F y 0 = F F

13 6.3 Anwendung der Axiome 13 Das. Newton sche Axiom sagt uns m a = F bw. m a = F, da m = const. Damit wird F = m g = m a oder mit d dt d dt = = g oder allgemein: x = g = a Bewegungsgl. in -Richtung Bewegungsgleichung Das ist die Bewegungsgleichung in der die physikalische Problematik steckt.

14 6.3 Anwendung der Axiome 14 Die Lösung dieser gleichmäßig beschleunigten Bewegung kennen wir schon von früher und ist für die Anfangsbedingung v 0 (t) = 0 und (t = 0) = 0. 1 t () = 0 g t 1 x() t = x0 g t Bemerkenswert an diesem einfachen Beispiel ist, dass die Masse in dem Problem gar keine Rolle spielt, was unserem täglichen Erfahrungsschat u widersprechen scheint. Dies ist auf den Luftwiderstand (bw. Luftreibung) urückuführen, wie wir in unserem Experiment in einer evakuierten Röhre gesehen haben.

15 6.3 Anwendung der Axiome Anwendung des. Newton schen Axioms Kraftstoß mittlere Kraft Ein Pkw fährt mit v0 = 50km h = 13,88m s vor eine Mauer und verkürt sich dabei um 0,7 m ( m = 1000 kg). Pkw p = p p = m v m v = m ( v v ) = = 1000kg (0 50km h) = 1000 ( 13,88)kg m s = 13880Ns Impulsverlust des Pkw v(t) v 0 v s ds s = = = t dt dt vt () = v (1 t t) 0 t st () s = vt ()d t = v (1 )dt= v t v t 0 t t t t