Theoretische Physik 1 Mechanik
|
|
- Ute Winkler
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Theoretische Physik 1 Mechanik Skript zu Vorlesung 1: Grundlagen der Newton schen Mechanik, Zweiteilchensysteme gehalten von: Markus Krottenmüller & Markus Perner
2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Newton schen Mechanik Raum, Zeit und Bewegung Newtonsche Grundgesetzte Zweiteilchensysteme Zentralkräfte Drehimpuls und effektives Potential Das Kepler-Problem Das Streuproblem Abbildungsverzeichnis 1 klassische Streuung
3 1 Grundlagen der Newton schen Mechanik Die Newton sche Mechanik umfasst den schon in der Schule benutzten Formalismus zur Beschreibung der Dynamik von Massepunkten. 1.1 Raum, Zeit und Bewegung Zeit: Die Zeit in der klassischen (nicht relativistischen) Mechanik ist ein unabhängiger, kontinuierlicher Parameter. Raum: Die Position eines Teilchens wird durch einen Vektor r im euklidischen Raum R 3 beschrieben. Es gibt verschiedene Koordinatensysteme in denen dieser Vektor beschrieben ist. Die wichtigsten sind die kartesischen, die Polar- und die Zylinderkoordinaten. Bewegung: Die Bewegung eines Teilchens im Raum ist durch seine Bahnkurve r(t) vollständig beschrieben. Aus ihr ergibt sich die Geschwindigkeit v(t) = d r (t) und die dt Beschleunigung a(t) = d v (t) = d2 r (t) des Teilchens zu allen Zeiten. Bei der Darstellung von Bahnkurven in z.b. Polarkoordinaten ist zu beachten, dass die Einheitsvektoren dt dt 2 dann nicht mehr zeitunabhängig sind (Kettenregel beachten!). Beispiel ebene Polarkoordinaten: r(t) = r(t) e r v(t) = r(t) = r(t) e r + r(t) e r = r(t) e r + r φ e φ (1) a(t) = v(t) = r e r + ṙ φ e φ + ṙ φ e φ + r φ e φ r φ 2 e r = ( r r φ 2 ) e r + (r φ + 2ṙ φ) e φ 1.2 Newtonsche Grundgesetzte 1. Axiom: Es gibt Bezugssysteme (Inertialsysteme) in denen sich ein Massepunkt im Kräftefreien Raum mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (Trägheit). 2. Axiom: Mit der Kraft F, der Masse m und dem Impuls p = m v gilt: F = d p dt = md2 r dt 2 (2) 3.Axiom: actio=reactio F 21 = F 12 Die allgemeine Form der Newton schen Bewegungsgleichung in Anwesenheit eines Kraftfeldes F ( r, r, t) lautet: m d2 r dt 2 = F ( r, r, t) (3) 1 / 6
4 Die Problemstellung besteht nun darin, diese Differentialgleichung zu lösen. Für den eindimensionalen Fall F ( r, r, t) = F (x) und nach Einführung eines Potentials U(x) mit F (x) = du (x) lässt sich die Newton sche Bewegungsgleichung formal durch Trennung dx der Variablen lösen: t t 0 = x x 0 1 m 2 (E U(x )) dx (4) Dabei ist E = T (x) + U(x) die konstante Gesamtenergie, die sich aus der kinetischen Energie T (x) = m 2 ẋ2 und der potentiellen Energie U(x) zusammensetzt. Durch Inversion von t(x) erhält man nun die Bahnkurve x(t). Um die Lösung der Bewegungsgleichungen zu vereinfachen, suchen wir im Folgenden nach sogenannten Erhaltungsgrößen, Größen, die zeitlich konstant sind. 2 Zweiteilchensysteme Newton sche Bewegungsgleichungen für ein abgeschlossenes Zweiteilchensystem: m 1 r1 = F 21 (5) m 2 r2 = F 12 Dieses Problem reduziert sich durch Einführung der Schwerpunktskoordinate R = m 1 r 1 +m 2 r 2, wobei M = m M 1 + m 2 die Gesamtmasse ist, und der Relativkoordinante r = r 1 r 2 auf ein Einteilchenproblem. Es folgt nämlich für den Schwerpunkt unter Ausnutzung des 3. Axioms M R = 0. Das heißt der Gesamtimpuls P = M R ist eine Erhaltungsgröße bzw. Konstante der Bewegung. Bezugssysteme, in denen M R = 0 gilt, heißen Inertialsysteme und es existiert immer ein Inertialsystem in dem der Schwerpunkt ruht (Schwerpunktssystem). Die Bewegungsgleichung für die Relativkoordinate lautet nun µ r = F, (6) was einem Einteilchenproblem mit der reduzierten Masse µ = m 1m 2 M entspricht. 2 / 6
5 2.1 Zentralkräfte Zentralkräfte sind Kräfte, die von einem bestimmten Punkt aus nur radial wirken. Für uns relevant sind nur spezielle Zentralkräfte der Form F ( r) = f(r) r = f(r) e r r. Für integrable Funktionen kann man wieder ein Potential U(r) definieren mit F ( r) = U(r) = du(r) d r = du(r) dr r e r, U(r) U(r 0 ) = r 0 f(r ) dr (7) Aus der Differentialgleichung für die Relativkoordinate mit der Zentralkraft durch das Potential ausgedrückt, folgt mit einem oft verwendeten Trick, dass die Energie der Relativbewegung E = 1µ r 2 + U(r) eine Erhaltungsgröße ist. Beweis: Multiplikation der 2 Bewegungsgleichung mit r. µ r r = r U(r) bzw. d ( ) 1 dt 2 µ r 2 = d r dt e du(r) r = d dr dt (r e du r) e r (8) dr ( dr = dt + r d e ) r du dt e r dr d [ ] 1 dt 2 µ r 2 + U(r(t)) = 0 (9) 2.2 Drehimpuls und effektives Potential Definition des Drehimpulses l i : yp z zp y li = r i p i = zp x xp z = m i r i r i (10) xp y yp x Eine zeitliche Änderung des Drehimpulses ist ein Drehmoment m i = d l i. Im Zweikörpersystem kann der Gesamtdrehimpuls L = R M R + r µ r = LS + l wieder in dt Schwerpunkts- und Relativkomponente getrennt werden. Aus den Bewegungsgleichungen folgt, dass L S in jedem Inertialsystem eine Erhaltungsgröße ist und l, falls eine Zentralkraft vorliegt. Beweis: d l dt = µ d dt ( r r) = µ( r r + r r) = f(r) r r = 0 (11) r Daraus folgt, dass der Orts- und Geschwindigkeitsvektor in einer Ebene senktrecht zu l stehen. Das heißt man kann die Bewegung durch ebene Polarkoordinaten beschreiben (eigentlich Zylinderkoordinaten mit z = const. und l = l e z ) ausdrücken. Für den Betrag des Drehimpulses l ergibt sich 3 / 6
6 l = µr 2 Φ = const., bzw. Φ = l µr 2 (12) Die Energie kann man in ebenen Polarkoordinaten nun E = 1 2 µṙ µṙ2 + V (r) schreiben, mit dem effektiven Potential V (r) = U(r) + l2 + U(r) = 2µr 2 l2 2µr 2. (13) Für gegebene Energie E sind durch die Bedingung E V (r i ) = 0 die sogenannten Umkehrpunkte definiert. Klassische Teilchen können sich nur in Bereichen E V (r) bewegen. Die Bewegungsgleichung für das effektive Potential können wir mit Gleichung 4 nach r(t) auflösen und daraus Φ(t) mithilfe von Gleichung 12 durch Integration bestimmen. Man kann auch direkt dt aus Gleichung 4 mit Hilfe von Gleichung 12 eliminieren und erhält so Φ(r), bzw. r(φ) durch Inversion. Φ Φ 0 = r r 0 l r 2 2µ(E U(r)) l2 r 2 dr (14) 2.3 Das Kepler-Problem Den Planetenbahnen liegt das Newton sche Gravitationsgesetz zugrunde. Daraus ergibt sich das Potential zu U(r) G m 1m 2 t = k r (15) Da es sich bei der Gravitationskraft um eine Zentralkraft handelt, können wir das effektive Potential (Gleichung 13) aufstellen und die Bewegungsgleichung mit Hilfe von Gleichung 14 lösen. Es ergibt sich ( ) p/r 1 Φ Φ 0 = arccos C, (16) ɛ wobei p = l2 der sogenannte Bahn-Parameter und ɛ = 1 + 2El2 die Exzentrität ist. kµ µk 2 Für Φ 0 = C folgt 4 / 6
7 r(φ) = p 1 + ɛ cos Φ, (17) die Polarkoordinaten-Darstellung eines Kegelschnitts. Für E > 0 ergeben sich offene Bahnen und für E < 0 gebundene Bahnen. Es gibt folgende mögliche Bahnen und Spezialfälle: p 1 ɛ 2 = k ɛ < 1 (E < 0): Die Bahn ist eine Ellipse mit der großen Halbachse a = und 2 E der kleinen Halbachse b = p 1 ɛ 2 = pa = l. Für ɛ = 0 ergibt sich der Spezialfall 2µ E eines Kreises (a = b = p). ɛ > 1 (E > 0): Die Bahn ist eine Hyperbel mit dem kleinsten Abstand zum Brennpunkt r min =. Für ɛ = 1 (E = 0) ergibt sich der Spezialfall einer Parabel. p 1+ɛ Aus diesem Ergebnis folgen die drei Kepler schen Gesetze. 2.4 Das Streuproblem Streuexperimente sind wichtig um Informationen über Teilchen und ihre Wechselwirkungen zu erhalten. Bei diesen Experimenten misst man den sogenannten differentiellen Wirkungsquerschnitt dσ = in dω gestreute Teilchen einfallendeteilchen df = dn n, (18) dabei ist dn die Zahl der in den Winkelbereich [θ, θ + dθ] pro Zeit gestreuten Teilchen, n die Zahl der pro Zeit und pro Fläche df einfallenden Teilchen und dω das Raumwinkelelement. In unserem Fall gilt dω = 2π sin θ dθ. Der Streuwinkel θ ist der Winkel um b db. Φ 0 Φ 0 θ dθ df dω Abb. 1: klassische Streuung 5 / 6
8 den das Teilchen von seiner ursprünglichen Bahn abgelenkt wurde. Der Streuparameter b ist die Strecke des Lotes vom Streuzentrum auf die ursprüngliche Bahn des Teilchens. Falls b = b(θ) eindeutig ist folgt dn = n2πb db und mit dω dσ dω = b sin θ db dθ (19) Im Folgenden betrachten wir elastische Streuung, bei der Impuls- und Energieerhaltung gilt. Wir betrachten die Streuung als Zweiteilchenproblem in dem für das Streupotential U(r ) 0 gilt. Für die Energie ergibt sich E = 1 2 mv2 (v = v r ) und für den Drehimpuls l = mbv. Mit Gleichung 14 folgt Φ 0 = r 0 b r 2 1 (b/r) 2 2U(r) mv 2 dr = π θ. (20) 2 Verwenden wir nun das Potential U(r) = α r 17 und dem Ausdruck für ɛ herleiten kann man unter Verwendung von Gleichung b(θ) = α cot(θ/2). (21) 2E Daraus ergibt sich mit Gleichung 19 der Rutherford-Wirkungsquerschnitt dσ ( α ) dω = 1 4E sin 4 (θ/2). (22) 6 / 6
Ferienkurs Theoretische Mechanik Sommer 2010 Newton/Koordinaten/Dgl s
Fakultät für Physik Friedrich Wulschner Technische Universität München Vorlesung Montag Ferienkurs Theoretische Mechanik Sommer 2010 Newton/Koordinaten/Dgl s Inhaltsverzeichnis 1 Newtons 3 Axiome 2 2 Lösungsverfahren
MehrI.6.3 Kepler-Problem. V ( x ) = G Nm 1 m 2. (I.91a) mit dem Potential. . (I.91b)
38 Newton sche Mechanik I.6.3 Kepler-Problem Die Newton sche Gravitationskraft zwischen zwei Massenpunkten mit Massen m 1, m 2 ist eine konservative Zentralkraft, gegeben durch mit dem Potential F ( x
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 2017 Vorlesung 1 (mit freundlicher Genehmigung von Merlin Mitschek und Verena Walbrecht) Technische Universität München 1 Fakultät für Physik Inhaltsverzeichnis
MehrÜbungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 7 vom Abgabe:
Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 03 Blatt 7 vom 0.06.3 Abgabe: 7.06.3 Aufgabe 9 3 Punkte Keplers 3. Gesetz Das 3. Keplersche Gesetz für die Planetenbewegung besagt, dass das
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 2016 Vorlesung 1 (mit freundlicher Genehmigung von Verena Walbrecht) Technische Universität München 1 Fakultät für Physik Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische
MehrTheoretische Physik I bei Prof. A. Rosch
Vorlesungsmitschrift Theoretische Physik I bei Prof. A. Rosch von M. & O. Filla 8. November 206 Zur Erinnerung: Das Zweikörperproblem wurde auf zwei Differenzialgleichungen heruntergebrochen. Diese können
MehrÜbungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06
Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 223 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 25/6 http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html 25. Janua6 Übungsblatt Lösungsvorschlag 3 Aufgaben,
MehrTheoretische Physik 1 Mechanik
Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Theoretische Physik 1 Mechanik Skript zu Vorlesung 2: konservative Kräfte, Vielteilchensysteme und ausgedehnte Körper gehalten von: Markus
MehrBlatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag
Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik T) im SoSe 20 Blatt 0. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Aufgabe 0.. Hamilton-Formalismus
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 213 Übung 1 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Relaxation Geben Sie die Lösung der Differentialgleichung für die Relaxation
MehrT1: Theoretische Mechanik, SoSe 2016
T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2016 Jan von Delft http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_16/t1_theor_mechanik Newtonsche Sätze (Originalformulierung) 1. Jeder Körper verharrt in seinem
MehrExperimentalphysik 1
Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Experimentalphysik 1 WS 16/17 Lösung 1 Ronja Berg (ronja.berg@tum.de) Katharina Scheidt (katharina.scheidt@tum.de) Aufgabe 1: Superposition
MehrI.10.6 Drehbewegung mit senkrecht zu, Kreiseltheorie
I.10.6 Drehbewegung mit senkrecht zu, Kreiseltheorie Versuch: Kreisel mit äußerer Kraft L T zur Dieser Vorgang heißt Präzession, Bewegung in der horizontalen Ebene (Kreisel weicht senkrecht zur Kraft aus).
MehrZentralpotential. Zweikörperproblem. Symmetrie Erhaltungsgröße Vereinfachung. Transformation zu Schwerpunkts- und Relativkoordinaten
Zentralpotential Zweikörperproblem Symmetrie Erhaltungsgröße Vereinfachung 1. Translation Schwerpunktsimpuls Einteilchenproblem 2. Zeittransl. Energie Dgl. 1. Ordnung 3. Rotation Drehimpuls Radialgl. Transformation
MehrLösung 12 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16
Karlsruher Institut für Technologie Institut für theoretische Festkörperphysik www.tfp.kit.edu ösung 1 Klassische Theoretische Physik I WS 1/16 Prof. Dr. G. Schön + Punkte Sebastian Zanker, Daniel Mendler
Mehr2. Klausur zur Vorlesung Theoretische Physik A Universität Karlsruhe WS 2004/05
. Klausur zur Vorlesung Theoretische Physik A Universität Karlsruhe WS 004/05 Prof. Dr. Gerd Schön Dr. Matthias Eschrig Dauer: Stunden Gesamtpunktzahl: 30 Punkte + 5 Zusatzpunkte Hinweise: Beginnen Sie
MehrTheoretische Physik 4 - Blatt 1
Theoretische Physik 4 - Blatt 1 Christopher Bronner, Frank Essenberger FU Berlin 21.Oktober.2006 Inhaltsverzeichnis 1 Compton-Effekt 1 2 Bohrsches Atommodell 2 2.1 Effektives Potential..........................
Mehr2. Klausur zur Theoretischen Physik I (Mechanik)
2. Klausur zur Theoretischen Physik I (echanik) 09.07.2004 Aufgabe 1 Physikalisches Pendel 4 Punkte Eine homogene, kreisförmige, dünne Platte mit Radius R und asse ist am Punkt P so aufgehängt, daß sie
MehrFerienkurs Theoretische Mechanik 2009
Ferienkurs Theoretische Mechanik 2009 Newtonsche Mechanik und Keplerproblem Vorlesungskript für den 9. Februar 2009 Sebastian Konopka Inhaltsverzeichnis 1 Kinematik eines Massepunktes 2 1.1 Koordinaten-
MehrVorlesung Theoretische Mechanik
Julius-Maximilians-Universität Würzburg Vorlesung Theoretische Mechanik Wintersemester 17/18 Prof. Dr. Johanna Erdmenger Vorläufiges Skript 1 (Zweite Vorlesung, aufgeschrieben von Manuel Kunkel, 23. 10.
MehrExperimentalphysik E1
Experimentalphysik E1 Keplersche Gesetze Gravitationsgesetz Alle Informationen zur Vorlesung unter : http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html 15. Nov. 2016 Der Drehimpuls m v v r v ω ω v r
MehrSpezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0
Spezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0 Impulserhaltung: Quadrieren ergibt Energieerhaltung: Deshalb muss gelten m v 1 = m ( u 1 + u 2 ) m 2 v 1 2 = m 2 ( u 2 1 + 2 u 1 u 2 + u 2 ) 2 m 2 v2 1 = m 2 ( u 2 1 +
MehrFerienkurs Theoretische Mechanik 2010 Lagrange Formalismus
Fakultät für Physik Michael Schrapp Technische Universität München Vorlesung Ferienkurs Theoretische Mechanik 2010 Lagrange Formalismus Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 2 Generalisierte Koordinaten und
Mehr(a) Transformation auf die generalisierten Koordinaten (= Kugelkoordinaten): ẏ = l cos(θ) θ sin(ϕ) + l sin(θ) cos(ϕ) ϕ.
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Theoretische Physik B - Lösungen SS 10 Prof. Dr. Aleander Shnirman Blatt 5 Dr. Boris Narozhny, Dr. Holger Schmidt 11.05.010
Mehr3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome
Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe13 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45 Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de 3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übung 3.1:
MehrD = Lösung der Aufgabe 1
Klassische Theoretische Physik I, WiSe 7/8 Aufgabe : Verständnisfragen und kleine Aufgaben 3P Beantworten Sie die Fragen kurz, aber vollständig. (a) 4P Formulieren Sie zwei der drei Kepler schen Gesetze
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10
TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 2, Montag nachmittag Differentiation und Integration von Vektorfunktionen Der Ortsvektor: Man kann
MehrAndreas Brenneis; Rebecca Saive; Felicitas Thorne. Mechanik 28./
TU München Experimentalphysik 1 DVP Vorbereitungskurs Andreas Brenneis; Rebecca Saive; Felicitas Thorne Mechanik 28./29.07.2008 Inhaltsverzeichnis 1 Kinematik 2 1.1 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung....................
Mehr5. Raum-Zeit-Symmetrien: Erhaltungssätze
5. Raum-Zeit-Symmetrien: Erhaltungssätze Unter Symmetrie versteht man die Invarianz unter einer bestimmten Operation. Ein Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es gegenüber Symmetrieoperationen
MehrExperimentalphysik E1
Experimentalphysik E1 9. Nov. Keplergleichungen, Gravitation u. Scheinkräfte Alle Informationen zur Vorlesung unter : http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html Planetenbahnen http://www.astro.uni-bonn.de/~deboer/pdm/planet/sonnenap2/
Mehr1 Lagrange sche Gleichung 1. Art
1 Lagrange sche Gleichung 1. Art 1.1 Einführung und Beispiel Bewege sich ein Massepunkt auf einer Geraden (G) im Raum, so hat dieser einen Freiheitsgrad, d.h. es müssen 2 Zwangsbedingungen für ihn gelten.
MehrBlatt 4. Stoß und Streuung - Lösungsvorschlag
Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik (T1) im SoSe 211 Blatt 4. Stoß und Streuung - Lösungsvorschlag Aufgabe 4.1. Stoß Zwei
MehrSpezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0
Spezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0 Impulserhaltung: Quadrieren ergibt Energieerhaltung: Deshalb muss gelten m v 1 = m( u 1 + u 2 ) m 2 v 1 2 = m 2 ( u 2 1 + 2 u 1 u 2 + u 2 ) 2 m 2 v2 1 = m 2 ( u 2 1 +
MehrMusterlösungen. Theoretische Physik I: Klassische Mechanik
Blatt 1 4.01.013 Musterlösungen Theoretische Physik I: Klassische Mechanik Prof. Dr. G. Alber MSc Nenad Balanesković Hamilton-Funktion 1. Betrachten Sie zwei Massenpunktem 1 undm die sich gemäß dem Newtonschen
MehrLösungsvorschlag Theoretische Physik A Neuntes Übungsblatt
Lösungsvorschlag Theoretische Physik A Neuntes Übungsblatt Aufgabe 3 Prof. Dr. Schön und Dr. Eschrig Wintersemester 004/005 Durch Trennung der Veränderlichen und anschließende Integration ergibt sich aus
MehrFormelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler
Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler 1 Was ist Physik? Stand: 13. Dezember 212 Physikalische Größe X = Zahl [X] Einheit SI-Basiseinheiten Mechanik Zeit [t] = 1 s Länge [x] = 1 m Masse [m]
MehrProbeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik
Prof. Dr. H. Friedrich Physik-Department T3a Technische Universität München Probeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik Montag, 2.7.29 Hörsaal 1 1:15-11:5 Aufgabe 1 (8 Punkte) Geben Sie möglichst
MehrKurzzusammenfassung Physik I (Vorlesung und Ergänzung) Wintersemester 2005/06, Teil I. Übersicht
Kurzzusammenfassung Physik I (Vorlesung und Ergänzung) Wintersemester 2005/06, Teil I Übersicht Messungen, Einheiten (1) Mathematische Grundlagen (3, E1, E2, E4, E5) Kinematik von Punktteilchen (2+4, E2,
MehrFallender Stein auf rotierender Erde
Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 4 vom 13.05.13 Abgabe: 27. Mai Aufgabe 16 4 Punkte allender Stein auf rotierender Erde Wir lassen einen Stein der Masse m in einen
Mehr2. Lagrange-Gleichungen
2. Lagrange-Gleichungen Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen. Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen
MehrTheoretische Mechanik
Prof. Dr. R. Ketzmerick/Dr. R. Schumann Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik Sommersemester 008 Theoretische Mechanik 8. Übung Lösungen 8.1 Innere und äußere Kräfte Die Körper
MehrFerienkurs Theoretische Mechanik. Lagrangeformalismus
Ferienkurs Theoretische Mechanik Lagrangeformalismus Sebastian Wild Mittwoch, 14.09.2011 Inhaltsverzeichnis 1 Zwangskräfte und Lagrangegleichungen 1. Art 2 1.1 Motivation, Definition von Zwangsbedingungen..........
MehrÜbungen zur Theoretischen Physik 2 Lösungen zu Blatt 13
Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Sommersemester 014 Übungen zur Theoretischen Physik Lösungen zu Blatt 13 Aufgabe 51: Massenpunkt auf Kugel (a) Als generalisierte Koordinaten bieten sich Standard-Kugelkoordinaten
Mehr7 Die Hamilton-Jacobi-Theorie
7 Die Hamilton-Jacobi-Theorie Ausgearbeitet von Rolf Horn und Bernhard Schmitz 7.1 Einleitung Um die Hamilton schen Bewegungsgleichungen q k = H(q, p) p k ṗ k = H(p, q) q k zu vereinfachen, führten wir
Mehr1 Lagrange-Formalismus
Lagrange-Formalismus SS 4 In der gestrigen Vorlesung haben wir die Beschreibung eines physikalischen Systems mit Hilfe der Newton schen Axiome kennen gelernt. Oft ist es aber nicht so einfach die Kraftbilanz
MehrComputational Astrophysics 1. Kapitel: Sonnensystem
Computational Astrophysics 1. Kapitel: Sonnensystem Wilhelm Kley Institut für Astronomie & Astrophysik Kepler Center for Astro and Particle Physics Sommersemester 2011 W. Kley: Computational Astrophysics
MehrGrundlagen der Lagrange-Mechanik
Grundlagen der Lagrange-Mechanik Ahmed Omran 1 Abriss der Newton schen Mechanik 1.1 Newton sche Axiome 1. Axiom: Im Inertialsystem verharrt ein Körper in seinem momentanen Bewegungszustand (in Ruhe, oder
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 1 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Kreisbewegung Ein Massepunkt bewege sich auf einer Kreisbahn mit der konstanten Geschwindigkeit
MehrGrundlagen Arbeit & Energie Translation & Rotation Erhaltungssätze Gravitation Reibung Hydrodynamik. Physik: Mechanik. Daniel Kraft. 2.
Physik: Mechanik Daniel Kraft 2. März 2013 CC BY-SA 3.0, Grafiken teilweise CC BY-SA Wikimedia Grundlagen Zeit & Raum Zeit t R Länge x R als Koordinate Zeit & Raum Zeit t R Länge x R als Koordinate Raum
MehrÜbungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06
Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 13 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 005/06 http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html. Dezember 005 Übungsblatt 7 Lösungsvorschlag 4 Aufgaben,
Mehr3. Vorlesung Wintersemester
3. Vorlesung Wintersemester 1 Parameterdarstellung von Kurven Wir haben gesehen, dass man die Bewegung von Punktteilchen durch einen zeitabhängigen Ortsvektor darstellen kann. Genauso kann man aber auch
Mehr1 Drehimpuls und Drehmoment
1 Drehimpuls und Drehmoment Die Rotationsbewegung spielt in der Natur von der Ebene der Elementarteilchen bis zu den Strukturen des Universums eine eine bedeutende Rolle. Einige Beispiele sind 1. Spin
MehrKlassische Mechanik. Übersicht
Klassische Mechanik WS 02/03 C. Wetterich Übersicht 0) Einführung I Newtonsche Mechanik 1) Die Newtonschen Gesetze a) Kinetik, Beschreibung durch Massenpunkte b) Kraft (i)kraftgesetze (ii)differentialgleichungen
Mehr1.4 Krummlinige Koordinaten I
15 1.4 Krummlinige Koordinaten I (A) Motivation zur Definition verschiedener Koordinatensysteme Oft ist es sinnvoll und zweckmäßig Koordinatensysteme zu verwenden, die sich an der Geometrie und/oder Symmetrie
MehrFerienkurs Elektrodynamik WS11/12 - Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie
Ferienkurs Elektrodynamik WS11/1 - Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie Isabell Groß, Martin Ibrügger, Markus Krottenmüller. März 01 TU München Inhaltsverzeichnis 1 Minkowski-Raum und Lorentz-Transformation
Mehr4. Drehimpulserhaltung und Streuung
Übungen zur T: Theoretische Mechani, SoSe203 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 425 Dr. James Gray James.Gray@physi.uni-muenchen.de 4. Drehimpulserhaltung und Streuung Übung 4.: Noch einmal der
MehrE1 Mechanik Musterlösung Übungsblatt 6
Ludwig Maximilians Universität München Fakultät für Physik E1 Mechanik Musterlösung Übungsblatt 6 WS 214 / 215 Prof. Dr. Hermann Gaub Aufgabe 1 Zwei Kugeln der gleichen Masse mit den Geschwindigkeiten
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2011/12 Vorlesung 3
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2011/12 Vorlesung 3 Differenziation und Integration von Vektorfunktionen Der Ortsvektor: Man kann einen Punkt P im Raum eindeutig durch die
Mehry (t) Wie berechnet sich die Ableitung von F aus den Ableitungen von x (t) und y (t)? Die Antwort gibt die erste Kettenregel
103 Differenzialrechnung 553 1035 Kettenregeln Die Kettenregel bei Funktionen einer Variablen erlaubt die Berechnung der Ableitung von verketteten Funktionen Je nach Verkettung gibt es bei Funktionen von
MehrI.1.3 b. (I.7a) I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9
I. Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9 I..3 b Arbeit einer Kraft Wird die Wirkung einer Kraft über ein Zeitintervall oder genauer über die Strecke, welche das mechanische System in diesem Zeitintervall
MehrÜbungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: , Abgabe am )
Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: 14.09.11, Abgabe am 1.09.11) Hinweis: Kommentare zu den Aufgaben sollen die Lösungen illustrieren und ein besseres Verständnis ermöglichen.
MehrGrundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 6
Grundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 6 Daniel Weiss 20. November 2009 Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Massen auf schiefer Ebene 1 Aufgabe 2 - Gleiten und Rollen 2 a) Gleitender Block..................................
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 2 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Perle Eine Perle der Masse m gleite reibungsfrei auf einem vertikal stehenden Ring vom Radius
MehrAufgabe 1: Senkrechtkomponente [8] GegebensinddieVektoren a = (1,2,3) und b = (3,1,2). BerechnenSiedieKomponente a von a,die auf b senkrecht steht.
Aufgabe 1: Senkrechtkomponente [8] GegebensinddieVektoren a = (1,2,3) und b = (3,1,2). BerechnenSiedieKomponente a von a,die auf b senkrecht steht. Aufgabe 2: ǫ Tensor [6] Gegeben sind die Vektoren a =
MehrSymmetrie von Naturgesetzen - Galilei-Transformationen und die Invarianz der Newton schen Gesetze
Symmetrie von Naturgesetzen - Galilei-Transformationen und die Invarianz der Newton schen Gesetze Symmetrie (Physik) (aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie) Symmetrie ist ein grundlegendes Konzept der
MehrFerienkurs Theoretische Mechanik 2009 Hamilton Formalismus und gekoppelte Systeme
Fakultät für Physik Technische Universität München Michael Schrapp Übungsblatt 3 Ferienkurs Theoretische Mechanik 009 Hamilton Formalismus und gekoppelte Systeme Hamilton-Mechanik. Aus Doctoral General
MehrEine Kreis- oder Rotationsbewegung entsteht, wenn ein. M = Fr
Dynamik der ebenen Kreisbewegung Eine Kreis- oder Rotationsbewegung entsteht, wenn ein Drehmoment:: M = Fr um den Aufhängungspunkt des Kraftarms r (von der Drehachse) wirkt; die Einheit des Drehmoments
MehrTheoretische Mechanik (T1p)
Mitschrift der Vorlesung Theoretische Mechanik (T1p) für Bachelor plus, Lehramt Gymnasium und Nebenfach Theoretische Physik (3 SWS) Prof. G. Buchalla, LMU München, Sommersemester 016 verfasst von Markus
MehrÜbungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 7 (Austeilung am: , Abgabe am )
Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 7 (Austeilung am: 7.9.11, Abgabe am 14.9.11) Beispiel 1: Stoß in der Ebene [3 Punkte] Betrachten Sie den elastischen Stoß dreier Billiardkugeln A, B und C
MehrRutherford Streuung F 1. r 12 F 2 q 2 = Z 2 e. q 1 = Z 1 e
Rutherford Streuung Historisch: Allgemein: Streuung von α-teilchen an Metallfolien Ernest Rutherford, 96 Streuung geladener Teilchen an anderen geladenen Teilchen unter der Wirkung der Coulomb-Kraft. F
MehrPW2 Grundlagen Vertiefung. Kinematik und Stoÿprozesse Version
PW2 Grundlagen Vertiefung Kinematik und Stoÿprozesse Version 2007-09-03 Inhaltsverzeichnis 1 Vertiefende Grundlagen zu den Experimenten mit dem Luftkissentisch 1 1.1 Begrie.....................................
MehrBlatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag
Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik (T1) im SoSe 011 Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag Aufgabe 1.1. Schraubenlinie Die
MehrKlassische Theoretische Physik I WS 2013/2014
Karlsruher Institut für Technologie www.tkm.kit.edu/lehre/ Klassische Theoretische Physik I WS 213/214 Prof. Dr. J. Schmalian Blatt 6 Dr. P. P. Orth bgabe und Besprechung 6.12.213 1. Vektoranalysis I (2
MehrLösungen Aufgabenblatt 6
Ludwig Maximilians Universität München Fakultät für Physik Lösungen Aufgabenblatt 6 Übungen E Mechanik WS 07/08 Dozent: Prof. Dr. Hermann Gaub Übungsleitung: Dr. Martin Benoit und Dr. Res Jöhr Verständnisfragen
MehrTheoretische Physik I: Lösungen Blatt Michael Czopnik
Theoretische Physik I: Lösungen Blatt 2 15.10.2012 Michael Czopnik Aufgabe 1: Scheinkräfte Nutze Zylinderkoordinaten: x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z Zweimaliges differenzieren ergibt: ẍ = r cos ϕ 2ṙ ϕ sin
MehrFerienkurs Experimentalphysik 1
Ferienkurs Experimentalphysik 1 Julian Seyfried Wintersemester 2015/2016 1 Seite 2 Inhaltsverzeichnis 1 Klassische Mechanik des Massenpunktes 3 1.1 Gleichförmig beschleunigte Bewegungen................
MehrBewegung in Systemen mit mehreren Massenpunkten
Bewegung in Systemen mit mehreren Massenpunkten Wir betrachten ein System mit mehreren Massenpunkten. Für jeden Massenpunkt i einzeln gilt nach Newton 2: F i = d p i dt. Für n Massenpunkte muss also ein
MehrNewton-Beschreibung: Bewegung eines Massenpunkts auf einer Oberfläche
Newton-Beschreibung: Bewegung eines Massenpunkts auf einer Oberfläche R. Mahnke (Univ. Rostock), J. Kaupužs (Lettische Univ. Riga) 3. Mai 24 Zusammenfassung Ziel dieses Kommentars ist es, die Newtonschen
MehrExperimentalphysik 1. Vorlesung 2
Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Experimentalphysik 1 WS 2016/17 orlesung 2 Ronja Berg (ronja.berg@ph.tum.de) Katharina Scheidt (katharina.scheidt@tum.de) Inhaltsverzeichnis
MehrHochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 01. Dezember 2016 HSD. Physik. Impuls
Physik Impuls Impuls Träge Masse in Bewegung Nach dem 1. Newton schen Gesetz fliegt ein kräftefreier Körper immer weiter gradeaus. Je größer die träge Masse desto größer setzt sie einer Beschleunigung
MehrTheoretische Physik I Mechanik Probeklausur - Lösungshinweise
Prof. H. Monien St. Kräer R. Sanchez SS2014 Theoretische Physik I Mechanik Probeklausur - Lösungshinweise Hinweise: Diese Lösung/Lösungshinweise erhebt keinen Anspruch auf Richtigkeit oder Vollständigkeit,
MehrPhysikalisches Praktikum M 7 Kreisel
1 Physikalisches Praktikum M 7 Kreisel Versuchsziel Quantitative Untersuchung des Zusammenhangs von Präzessionsfrequenz, Rotationsfrequenz und dem auf die Kreiselachse ausgeübten Kippmoment Literatur /1/
MehrE > 0. V eff (r) r. V eff,min < E < 0. r min. V (r)
II.2 Zwei-Körper-Systeme 43 2 2µr 2 r min E > 0 r V eff (r) r max r min V eff,min < E < 0 V (r) E < V eff,min Abbidung II.4 Effektives Potentia V eff (r) für das Keper-Probem. Mit dem newtonschen Gravitationspotentia
MehrAufgabe 7 (E): Massenspektrometer (schriftlich, 6+2 Punkte) a)
UNIVERSITÄT KONSTANZ Fachbereich Physik Prof. Dr. Elke Scheer (Experimentalphysik) Raum P 007, Tel. 472 E-mail: elke.scheer@uni-konstanz.de Prof. Dr. Guido Burkard (Theoretische Physik) Raum P 807, Tel.
MehrVorlesung 2: Roter Faden: Newtonsche Axiome: 1. Trägheitsgesetz 2. Bewegungsgesetz F=ma 3. Aktion=-Reaktion
Vorlesung 2: Roter Faden: Newtonsche Axiome: 1. Trägheitsgesetz 2. Bewegungsgesetz F=ma 3. Aktion=-Reaktion Newton (1642-1727) in Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publiziert in 1687. Immer
MehrExperimentalphysik E1
Experimentalphysik E1 Newtonsche Axiome, Kräfte, Arbeit, Skalarprodukt, potentielle und kinetische Energie Alle Informationen zur Vorlesung unter : http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html
MehrPhysik 1 für Chemiker und Biologen 7. Vorlesung
Physik 1 für Chemiker und Biologen 7. Vorlesung 04.12.2017 https://xkcd.com/1438/ Prof. Dr. Jan Lipfert Jan.Lipfert@lmu.de Heute: - Wiederholung: Impuls, Stöße - Raketengleichung - Drehbewegungen Wiederholungs-/Einstiegsfrage:
Mehr2. Beschleunigte Bezugssysteme, starrer Körper und Himmelsmechanik
2. Beschleunigte Bezugssysteme, starrer Körper und Himmelsmechanik 2.1. Trägheits- bzw. Scheinkräfte Die Bewegung in einem beschleunigen Bezugssystem lässt sich mit Hilfe von sogenannten Scheinkräften
MehrGrundlagen der Astronomie und Astrophysik. Andre Knecht. [HIMMELSMECHANIK] 3 Erhaltungssätze und die Herleitung der drei Kepler-Gesetze
2009 Grundlagen der Astronomie und Astrophysik Andre Knecht [HIMMELSMECHANIK] 3 Erhaltungssätze und die Herleitung der drei Kepler-Gesetze 2-Körperproblem-Gravitationsgesetz 3 Newton schen Axiome Trägheitsgesetz:
MehrKlausur zur T1 (Klassische Mechanik)
Klausur zur T1 (Klassische Mechanik) WS 2006/07 Bearbeitungsdauer: 120 Minuten Prof. Stefan Kehrein Name: Matrikelnummer: Gruppe: Diese Klausur besteht aus vier Aufgaben. In jeder Aufgabe sind 10 Punkte
Mehrv(t) = r(t) v(t) = a(t) = Die Kraft welche das Teilchen auf der Bahn hält muss entgegen dessen Trägheit wirken F = m a(t) E kin = m 2 v(t) 2
Aufgabe 1 Mit: und ( x r(t) = = y) ( ) A sin(ωt) B cos(ωt) v(t) = r(t) t a(t) = 2 r(t) t 2 folgt nach komponentenweisen Ableiten ( ) Aω cos(ωt) v(t) = Bω sin(ωt) a(t) = ( ) Aω2 sin(ωt) Bω 2 cos(ωt) Die
Mehr11. Vorlesung Wintersemester
11. Vorlesung Wintersemester 1 Ableitungen vektorieller Felder Mit Resultat Skalar: die Divergenz diva = A = A + A y y + A z z (1) Mit Resultat Vektor: die Rotation (engl. curl): ( rota = A Az = y A y
MehrKapitel 2. Kinematik des Massenpunktes. 2.1 Einleitung. 2.2 Massenpunkt. 2.3 Ortsvektor
Kapitel 2 Kinematik des Massenpunktes 2.1 Einleitung In diesem Kapitel behandeln wir die Bewegung von einem oder mehreren Körpern im Raum. Wir unterscheiden dabei zwischen Kinematik und Dynamik. Die Kinematik
MehrBeispiel 1:Der Runge-Lenz Vektor [2 Punkte]
Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 9 (Austeilung am: 1.9.11, Abgabe am 8.9.11) Hinweis: Kommentare zu den Aufgaben sollen die Lösungen illustrieren und ein besseres Verständnis ermöglichen.
MehrKapitel 2. Elementare Newtonsche Mechanik. 2.1 Die Newtonschen Gesetze
Kapitel 2 Elementare Newtonsche Mechanik 2.1 Die Newtonschen Gesetze Wir stellen die Newtonschen Axiome in ihrer ursprünglichen Formulierung an den Anfang: Axiom 2.1 Jeder Körper verharrt in seinem Zustand
MehrComputersimulationen in der Astronomie
Computersimulationen in der Astronomie Fabian Heimann Universität Göttingen, Fabian.Heimann@stud.uni-goettingen.de Astronomisches Sommerlager 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Differentialgleichungen 3 1.1 Beispiele.....................................
MehrPhysikunterricht 11. Jahrgang P. HEINECKE.
Physikunterricht 11. Jahrgang P. HEINECKE Hannover, Juli 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Kinematik 3 1.1 Gleichförmige Bewegung.................................. 3 1.2 Gleichmäßig
Mehr3. Impuls und Drall. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-1
3. Impuls und Drall Die Integration der Bewegungsgleichung entlang der Bahn führte auf die Begriffe Arbeit und Energie. Die Integration der Bewegungsgleichung bezüglich der Zeit führt auf die Begriffe
Mehr