Übungen zum Ferienkurs Analysis II 2014

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1 Übungen zum Ferienkurs Analysis II 4 Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar zu begründen. Schreiben Sie bitte nicht mit Bleistift und auch nicht in roter oder grüner Farbe. Zum Erreichen der Note 4, sind mindestens 5% der Punkte nötig. Koordinatentransformation [7 Punkte] Sei U = R + R und V = R \ R und Φ : U V die Koordinatentransformation x x ξ = Φξ, ξ = ξ. ξ ξ a Bestimme DΦξ, das normierte Zweibein e ξ ξ, e ξ ξ und DΦ Φξ. b Sei f C U, R und f = f Φ : V R. Drücke den Gradienten von f durch Ableitungen von f in der Basis e ξ, e ξ aus. a ξ ξ DΦξ = ξ ξ DΦ Φξ = DΦξ = ξ e ξ = ξ + ξ ξ ξ e ξ = ξ + ξ ξ ξ ξ ξ + ξ ξ ξ b Laut Vorlesung ist x x f = DΦξ T ξ ξ f = = ξ + e ξ ξ + e ξ ξ f ξ ξ ξ ξ + ξ ξ ξ ξ ξ f Differenzierbarkeit [ Punkte] Die Funktion f : R R sei definiert durch { xy } x, y fx, y = x +y x, y =, Man zeige Fabian Kohler, Karolina Stoiber Abgabe: 5.9.4

2 a f ist partiell differenzierbar b f ist nicht stetig c f ist nicht total differenzierbar d Wie lautet die Richtungsableitung in Richtung v = v, v R im Punkt,? a Für x, y, ist f als Komposition differenzierbarer Funktionen insbesondere auch partiell differenzierbar. Betrachte also den Fall x, y =, und analog x f, = fh, f, lim h,, h = lim h,, h = y f, =. fh, = lim h,, h f ist also auch in, partiell differenzierbar und damit ist f partiell differenzierbar. [ Punkte] b Für x, y, ist f als Komposition stetiger Funktionen stetig. Wir können also nur die Unstetigkeit am Nullpunkt zeigen. Wir benutzen dafür Polarkoordinaten x, y = r sin φ, r cos φ. Dann ist lim fx, y = lim fr, φ x,y, r r sin φ cos φ = lim r r = lim sin φ cos φ r Es gibt φ für die der Grenzwert = f, ist f ist nicht stetig in,. [ Punkte] c Da f in, nicht stetig ist, ist f dort auch nicht differenzierbar also f nicht differenzierbar. [ Punkt] d Außerhalb von, ist f differenzierbar. Wir berechnen zunächst den Gradienten für x, y fx, y = yy x x +y xx y. x +y Dann lässt sich die Richtungsableitung einfach berechnen. [ Punkte] v f, = f, v v = = v. v

3 Taylor und Extrema [ Punkte] Sei f : R R zweimal stetig differenzierbar mit f, =, f hat bei, einen stationären Punkt und 4 H f = 4 Beweisen Sie, es existiert eine Umgebung U von,, sodass für alle x, y U gilt fx, y x + y Tipp: Taylor-Entwicklung. hin Mit den gegebenen Informationen schreiben wir die Taylorreihe bis zur zweiten Ordnung fx, y = +, x, y T + 4x + 4y xy yx + θ 4x + 4y xy + θ = Damit gilt x, y R \ {, } wegen x + y xy xy x y fx, y 4x + 4y x y + θ = x + y + θ x +y 4 Implizite Funktionen [ Punkte] Zeigen Sie, dass es eine Umgebung U R von,, gibt, in der das Gleichungssystem sinx y + z cosx + y + z + = siny + x z + cosx y = eindeutig nach x, y aufgelöst werden kann d.h. x, y = hz mit einer geeigneten Funktion h. Berechnen Sie weiterhin die Ableitung von h im Nullpunkt. Wir betrachten die stetig differenzierbare Funktion f : R R sinx y x, y, z + z cosx + y + z + siny + x z + cosx y Es gilt f,, =,, der Punkt ist also eine Nullstelle. Nun berechnen wir das partielle Differential cosx y D xy f,, = + z + sinx + y + z y cosx y + z + sinx + y + z x cosy + x z sinx y cosy + x z sinx y = Offensichtlich ist die Einheitsmatrix invertierbar, also können wir nach dem Satz über implizite Funktionen die Gleichung an der Stelle,, entsprechend auflösen mit einer eindeutig bestimmten Funktion hz, die sogar differenzierbar ist. Die Ableitung berechnen wir ebenfalls nach dem Satz über implizite Funktionen h = [D xy f, h] D z f, h

4 Das partielle Differential D z fx, y, z lautet z D z f,, = cosx y + z + sinx + y + z z cosy + x z = und damit erhalten wir für die Ableitung h = =. 5 Extrema mit Nebenbedingungen [4 Punkte] Berechnen Sie diejenigen Punkte auf der Kugeloberfläche M = {x, y, z R x + y + z = } die von,, den kleinsten bzw. größten Abstand haben. : Gesucht sind die Extrema der Funktion fx, y, z = x + y + z unter der Nebenbedingung gx, y, z = x + y + z = Dgx, y, z = gx, y, z = x, y, z,,,d.h. es genügt die kritischen Punkte der Lagrangeschen Hilfsfunktion zu bestimmen: x x fx, y, z λ gx, y, z = y λ y = z z Zusammen mit der Nebenbedingung liefert dies das Gleichungssystem: = λx = λy = λz = x + y + z 4 Aus?? bis?? folgt x = y = z = λ, in?? eingesetzt ergibt dies = λ = ± λ x = y = z = ±. Da die Nebenbedingungsmenge kompakt und f stetig ist, existiert ein Minimum in p =,, und ein Maximum in denn p =,,, fp = < + = fp. 4

5 6 Parametrisierung auf Bogenlänge [4 Punkte] Geben Sie explizit eine Parametrisierung auf Bogenlänge, γ : R R, der Kettenlinie γ : R R, γt t, cosh t. st = t + sinh t dt = [Punkte] Mit der Umkehrfunktion ts = arsinhs = sinh s [Punkt] ist [ Punkt] t cosh t dt = sinh t. γs = γ ts = arsinhs, cosharsinhs = arsinhs, + sinharsinhs = arsinhs, + s. 7 Wegintegrale [7 Punkte] Berechnen Sie das Wegintegral γ fxdx: fx, y, z = z x + y, z, z, γt = t cost, t sint, t, t, π γ fx, y, zdx, y, z = cost t sint t t, t, t sint + t cost dt = t costdt + t sintdt + t costdt t sintdt + t dt mit partieller Integration 8 π + 4π + π 8 Trennbare Differentialgleichung [8 Punkte] a Finden Sie auf ganz R definierte en von yy = x y mit y = y, y R \ {} b Wie viele konstante en gibt es? c Wie viele auf ganz R definierte en mit y = gibt es? 5

6 a Wir lösen durch Separation der Variablen. Für eine yx mit y = y muss gelten yx y ydy y = x x dx, also ln yx + ln y = x. Da die Integration über die Singularitäten y = ± nicht möglich ist, müssen y und yx für alle x das gleiche Vorzeichen haben. Somit ergibt beidseitiges exponenzieren yx = e x y. Die rechte Seite ist immer kleiner als. Damit yx stetig ist, muss also gelten: e x y yx =, falls y >, e x y, falls y < denn der Radikant ist in beiden Fällen immer positiv. b Die rechte Seite der Differentialgleichung ist Null für alle x, genau dann, wenn y = ± ist. Somit sind yx = ± genau zwei konstante en. c Für y = sind y ± x = ± e x die einzigen zwei en auf R \ {} mit lim y ± x =. Für kleine x gilt y ± x ± x = ± x. Somit gibt es genau zwei en y + x für x > y x = für x = y x für x < und y x = y x, die auf ganz R differenzierbar und en der Differentialgleichung mit y = sind. 6