= Ermitteln Sie die Anzahl n der Summanden. 7 BE 3. Die Quadratpflanze

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1 ml 8.odt Klausur /I Thema: Zahlenfolgen und Reihen. Schreiben sie die Summen unter Verwendung des Summenzeichens. a) b) n A Name: c) BE 4 00 d) Berechnen Sie alle in a) bis c) gegebenen Summen. 6 BE BE 2. arithmetische und geometrische Zahlenfolgen a) Welche arithmetische Zahlenfolge passt zu den Teilsummen s = 2,5 und s 2 = 3,5 3 BE b) Von einer geometrische Zahlenfolge ist bekannt: a = 5 2 ; q = 3 und s n = Ermitteln Sie die Anzahl n der Summanden. 7 BE 3. Die Quadratpflanze Ein Quadrat mit der Seitenlänge 9 cm wächst, wie es in der Zeichnung angedeutet wird. Täglich kommt eine Generation neuer Quadrate hinzu. Deren Seitenlänge beträgt nur noch 3 der Seitenlänge in der vorangehenden Generation. Überwuchert die Pflanze das ganze Zeichenblatt? Begründen Sie Ihre Aussage, indem Sie mathematische Überlegungen zu den Ausmaßen der Pflanze vornehmen. 4. Berechnen Sie mit Hilfe der Grenzwertsätze die Grenzwerte der Folgen. Geben Sie für eine Rechnung die verwendeten Sätze an. a n = 3 n 4 ; b n = n ; c n = n2 8 BE 2 n 2 Wahlaufgaben finden Sie auf der Rückseite F. Müller /5

2 ml 8.odt Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben und bearbeiten Sie sie. 5. Untersuchen sie, ob die Aussage zutrifft oder nicht. Begründen sie ihre Antwort. Geben Sie gegebenenfalls ein Gegenbeispiel an. a) Jede konvergente Zahlenfolge ist monoton. b) Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt. c) Jede monotone Zahlenfolge ist konvergent. d) Jede beschränkte Zahlenfolge ist konvergent. e) Jede monotone und beschränkte Zahlenfolge ist konvergent. f) Jede konvergente Zahlenfolge ist monoton und beschränkt. 2 BE 6. Grenzwert einer Zahlenfolge a) Erklären sie den Begriff Grenzwert anhand einer selbst gewählten Folge. Gehen Sie dabei auf den Begriff ε-umgebung ein. b) Bestätigen Sie mit Hilfe der Grenzwertdefinition: lim n c) Die Folge a n = n2 5 7n 2 Zahlenfolgeglieder zum Grenzwert kleiner als Bewertung 7 n2 5 n = 7 2. hat einen Grenzwert. Von welchem Index n an ist der Abstand der ? Pkt BE BE F. Müller 2/5

3 ml 8.odt Klausur /I Thema: Zahlenfolgen und Reihen B Name:. arithmetische und geometrische Zahlenfolgen a) Welche arithmetische Zahlenfolge passt zu den Teilsummen s = 2,5 und s 2 = 3,5 3 BE b) Von einer geometrische Zahlenfolge ist bekannt: a = 5 2 ; q = 3 und s n = Ermitteln Sie die Anzahl n der Summanden. 7 BE 2. Schreiben sie die Summen unter Verwendung des Summenzeichens. a) b) c) n 5 BE d) Berechnen Sie alle in a) bis c) gegebenen Summen. 6 BE BE 3. Die Quadratpflanze Ein Quadrat mit der Seitenlänge 9 cm wächst, wie es in der Zeichnung angedeutet wird. Täglich kommt eine Generation neuer Quadrate hinzu. Deren Seitenlänge beträgt nur noch 3 der Seitenlänge in der vorangehenden Generation. Überwuchert die Pflanze das ganze Zeichenblatt? Begründen Sie Ihre Aussage, indem Sie mathematische Überlegungen zu den Ausmaßen der Pflanze vornehmen. 4. Berechnen Sie mit Hilfe der Grenzwertsätze die Grenzwerte der Folgen. Geben Sie für eine Rechnung die verwendeten Sätze an. a n = n ; b n = n 6 ; c n 2 n = 8 BE 20 n 2 Wahlaufgaben finden Sie auf der Rückseite F. Müller 3/5

4 ml 8.odt Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben und bearbeiten Sie sie. 5. Untersuchen sie, ob die Aussage zutrifft oder nicht. Begründen sie ihre Antwort. Geben Sie gegebenenfalls ein Gegenbeispiel an. a) Jede konvergente Zahlenfolge ist monoton. b) Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt. c) Jede monotone Zahlenfolge ist konvergent. d) Jede beschränkte Zahlenfolge ist konvergent. e) Jede monotone und beschränkte Zahlenfolge ist konvergent. f) Jede konvergente Zahlenfolge ist monoton und beschränkt. 2 BE 6. Grenzwert einer Zahlenfolge a) Erklären sie den Begriff Grenzwert anhand einer selbst gewählten Folge. Gehen Sie dabei auf den Begriff ε-umgebung ein. b) Bestätigen Sie mit Hilfe der Grenzwertdefinition: lim n c) Die Folge a n = n2 5 7n 2 Zahlenfolgeglieder zum Grenzwert kleiner als Bewertung 7 n2 5 n = 7 2. hat einen Grenzwert. Von welchem Index n an ist der Abstand der ? Pkt BE BE F. Müller 4/5

5 ml 8.odt Lösungen zu A 00. i= 99 i= i= i =94,826 (GTR) i n =5050 ; 2 i =2 n (siehe Tafelwerk: geometrische Reihe); i= 2. a = s = 2,5; s 2 = a + a 2 a 2 = a n = 2,5,5 (n - ) wäre geometrisch gefragt: q = 2 5 ; a n =2,5 2 5 s n =a qn q = n n 5344 = 3 n n = 2 3. Die Quadratpflanze wächst nicht über das Blatt hinaus, denn z. B. ihre Höhe ergibt sich aus =9 =3,5 und die Breite ist maximal 8 cm Sollte einfach sein, lohnt sich deshalb nicht, das aufzuschreiben a) Jede konvergente Zahlenfolge ist monoton: nein, z. B. wegen a n = n b) Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt: ja c) Jede monotone Zahlenfolge ist konvergent: nein a n =n d) Jede beschränkte Zahlenfolge ist konvergent: nein a n = n e) Jede monotone und beschränkte Zahlenfolge ist konvergent: ja f) Jede konvergente Zahlenfolge ist monoton und beschränkt: nein siehe a) n F. Müller 5/5