6.1 Beispiele dissipativer Systeme. Der Duffing Ozillator. Bewegungsgleichung: Nichtlinearität
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- Andreas Raske
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1 6.1 Beispiele dissipativer Systeme Der Duffing Ozillator z.b. für (Ueda Oszillator) Potential Bewegungsgleichung: Nichtlinearität nur zwei Parameter Kartierung des Verhaltens in der (f,r)- Ebene äußerst (!) reichhaltiges dynamisches Verhalten Kap6, Seite 9 Kap6, Seite 10 Man findet Hysterese Effekte Periodenverdopplungs-Bifurkationen koexistierende Attraktoren fremdartige Attraktoren... Koexistierende Grenzzyklen z.b. Ueda-Oszillator mit Anfangsauslenkung (immer mit v=0): Kap6, Seite 11 Kap6, Seite 12 1
2 Ein Chaos Generator Lit: Chaos-Programme, 10 Verknüpfung mit chaosgen.lnk elektron. Schwingkreis Dgl. 3.Ordnung in U = Spannung an Programm Chaosgen Kap6, Seite 13 Attraktor im Phasenraum Bifurkationsdiagramm bei Variation von Rm von 80 bis 250 Ohm (Poincare slope positive) Kap6, Seite 14 Hopf Bifurkation: Das Lorenz System z(t)-zeitverhalten Lorenz Attraktor n-tes Maximum z(n) von z(t) : z(n+2) als Funktion von z(n) Kap6, Seite 15 Kap6, Seite 16 2
3 6.2 Mehr über Attraktoren: Eine abgeschlossene invariante Menge heißt anziehende Menge, falls es eine Umgebung von gibt mit für für alle. Eine anziehende Menge, die einen dichten Orbit enthält, heißt Attraktor. Bem.: Das schließt z.b. aus, dass stabile periodische Orbits in einem Attraktor existieren. Einzugsgebiet eines Attraktors = stabile Mannigfaltigkeit von =. Bem.: Die Einzugsgebiete können oft kompliziert verschachtelt sein! Beispiel: Newton-Iteration für Nullstellen von hier: Nullstellen bei Einzugsbereiche: Kap6, Seite 17 Kap6, Seite 18 Ein seltsamer Attraktor ist Einzugsbereiche: (a) eine Cantormenge (nirgends dicht, überabzählbar) (b) ein Fraktal (nicht-ganzzahlige Dimension) Die Dynamik auf dem diesem Attraktor ist chaotisch (positiver Lyapunov-Exponent). Jeder Grenzpunkt ist Dreiländereck! Kap6, Seite 19 Kap6, Seite 20 3
4 6.3 Eindimensionale iterierte Abbildungen nicht umkehrbare Abbildungen des Einheitsintervalls auf sich selbst Fixpunkte: Fixpunkt von bei Prototyp: Feigenbaum-Abbildung, logistische Abb.,... im Folgenden oft auch Fixpunkt vereinfachte graph. Darstellung Fixpunkt Kap6, Seite 21 Kap6, Seite 22 u.s.w. auch für die Fixpunkte von Bifurkationsdiagramm Fixpunkt Periode eins Bifurkationspunkt Periodenverdopplung Fixpunkt Periode zwei Selbstähnlichkeit des Bifurkationsdiagramms (approximativ); Fraktalstruktur Für Übergang Grenzzyklus seltsamer Attraktor (chaotisch) Vergrößerung des Ausschnittes Kap6, Seite 23 Kap6, Seite 24 4
5 Periodenverdopplungsszenario (Feigenbaum-Szenario) M. J. Feigenbaum, J. Stat. Phys. 19 (1978) 256; 21 (1979) 669 Für große Werte von k gilt genauerer Wert der Feigenbaumkonstante: Die Folge konvergiert gegen mit der Rate Dieser Wert (die Feigenbaum-Konstante ) ist universell, d.h. unabhängig von der speziellen Abbildung (vorausgesetzt, sie hat ein quadratisches Maximum). N.B.: Die iterierten Punkte bleiben nicht auf eine Umgebung des Maximums beschränkt! Kap6, Seite 25 Im Bereich existieren Stabilitätsfenster mit stabilen periodichen Orbits. Die Anordnung dieser n-periodischen Stabilitätsfenster ist universell. Kap6, Seite 26 Lyapunov-Exponent Maß für die mittlere Stabilität Superstabile Orbits und Renormierungstheorie Lit.: H. G. Schuster: Deterministisches Chaos, Kap.3 chaotische Dynamik für alternierende Folge Stabilität: wegen irgendwo erscheint hier mit. Kap6, Seite 27 Kap6, Seite 28 5
6 superstabile Orbits Variablentransformation: Feigenbaumkonstante ganz grobe Näherung: Einsetzen in siehe Folienkopien Transformation T = -Shift & Periodenverdopplung & Renormierung Funktion g(x) als Fixpunkt von T : Diese Gleichung bestimmt und die komplizierte(!) Funktion g(x). Kap6, Seite 29 u.s.w. mit mehr Termen Kap6, Seite Zweidimensionale iterierte Abbildungen Mandelbrot Menge Prominentester Vertreter: Julia Menge = Menge aller Startpunkte, für die die Iteration divergiert. Mandelbrot Menge = Menge aller c, für die die Iteration von beschränkt bleibt. Kap6, Seite 31 Kap6, Seite 32 6
7 Vergrößerung eines winzigen Ausschnittes: ENDE Kap6, Seite 33 7
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