Referenzbeispiel Geschoßdecke aus Brettstapel

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1 Referenzbeispiel Geschoßdecke aus Brettstapel Bemessung einer einachsig gespannten Geschoßdecke nach ÖNORM B :2014. Berechnungsbeispiel Walner-Mild Holzbausoftware Graz, Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 1

2 System n k g k g 1,k g 2,k l Annahme für die Bemessung der Decke: Einfeldträger über die Spannweite l = 5,00 m Brettstapeldecke mit h = 20 cm, Festigkeitsklasse C 24 lt. EN 338:2013 Das entspricht einer Schlankheit von h = 20 = 1 l Anforderungen Nutzungsklasse Decke innerhalb des beheizten Gebäudes: NKL 1 Verformungsbeiwert k def (laut ÖNORM B :2014) k def = 0,6 Einwirkungen Eigengewicht mit der Rohdichte bzw. Wichte (Nadelholz laut ÖNORM B :2011, Tabelle A.4) γ = 5,5 kn/m 3 g 1,k = γ A brut = g 1,k = 5,5 1 0,20 = 1,1 kn/m² Ständige Auflasten Nutzlast g 2,k = 2,8 kn/m 2 Nutzlast der Kategorie A: Wohnungen zuzüglich eines Zwischenwandzuschlages laut EN :2011, (leichte Trennwände) n k = 2,0 kn/m 2 + 0,5 kn/m 2 = 2,5 kn/m 2 Lastdauer mittel lt. ÖNORM B :2014, Tab. NA.2.2. Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 2

3 Bemessung Grenzzustände der Tragfähigkeit GZT Querschnittswerte Widerstandsmoment b h W y = = = cm³ 6 6 Fläche zur Ermittlung der maximalen Schubspannung A = b h = = cm² Bemessungswert der Einwirkung maßgebende seltene Einwirkungskombination 1 q d = γ G g i,k + γ Q q 1,k + γ Q ψ 0 q i,k i>1 Hier ist die Kombination g + n maßgebend: q d = 1,35 (1,1 + 2,8) + 1,5 2,5 = 9,02 kn/m Zur NKL1 gehöriger Beiwert für die Lastdauer der in der maßgebenden Bemessungssituation am kürzesten wirkenden Last n k (mittel) lt. ÖNORM B :2014 Tabelle 3.1. k mod = 0,8 Auswirkungen der Einwirkung Schnittgrößen Querkraft V d = q d l 2 V d = 22,54 kn Biegemoment Spannungen 9,02 5,0 = 2 M d = q d l 2 9,02 5,002 = 8 8 M d = 28,17 knm Biegung: Bemessungswert der Beanspruchung σ m,y,d f m,y,d σ m,y,d = M d W y 28, σ m,y,d = 10 = 4,23 N/mm² für das vorliegende Beispiel eines Einfeldträgers mit Gleichlast wird für eine einfachere Darstellung die Kombination für die geforderten Bemessungssituationen auf Ebene der Einwirkung vorgenommen. In der Regel werden die Auswirkungen der einzelnen Einwirkungen ermittelt und für die geforderten Bemessungssituationen erst auf Ebene der Schnittgrößen oder der Spannungen für GZT und Durchbiegungen für GZG kombiniert. Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 3

4 Biegung: Bemessungswert des Widerstandes f m,y,d = k sys k mod f m,k γ m Mit dem Teilsicherheitsbeiwert für Vollholz (laut ÖNORM B :2014) γ m = 1,30 und dem Modifikationsbeiwert aus der maßgebenden Kombination k mod = 0,8 und dem Systembeiwert (laut ÖNORM B :2014, Abschnitt 6.6) k sys = 1,1 und dem charakteristischen Wert der Biegefestigkeit der Bretter (C24 laut ÖNORM EN 338): f m,k = 24 N/mm² 24 f m,y,d = 1,1 0,8 = 16,24 N/mm² 1,30 Schub: Bemessungswert der Shubbeanspruchung τ V,d f V,d Allgemein gilt: τ V,d = V d S y I y b Für Rechtecke kann dies vereinfacht werden zu τ V,d = 1,5 V d A τ V,d = 1,5 22,54 10 = 0,17 N/mm² Schub: Bemessungswert des Widerstandes gegen Schubversagen f V,d = k mod f V,k γ m f V,d = 0,8 2,3 = 1,41 N/mm² 1,30 Mit dem charakteristischen Wert der Rollschubfestigkeit (laut Tabelle NA.K.3) f V,k = 2,3 N/mm² Nachweise in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit GZT Biegung σ m,y,d f m,y,d 4,32 N/mm² 16,24 N/mm² [OK] Nachweis erfüllt (23%) Schub τ V,d f V,d 0,17 N/mm² 1,41 N/mm² [OK] Nachweis erfüllt (11%) Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 4

5 Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit GZG Querschnittswerte, Materialkennwerte Trägheitsmoment b h3 I y = 12 Elastizitätsmodul = = cm 4 Der Elastizitätsmodul für Vollholz C 24 wird laut ÖNORM EN 338: E 0,mean = N/mm² Biegesteifigkeit Dies führt zu einer effektiven Biegesteifigkeit von (EI) L = Nm² Durchbiegungsanteile w g1 = 5 g 1,k l 4 5 1,1 54 = 10 6 = 1,2 mm 384 (EI) L 384 (EI) L w g2 = 5 g 2,k l 4 5 2,8 54 = 10 6 = 3,1 mm 384 (EI) L 384 (EI) L w n = 5 n k l 4 5 2,5 54 = 10 6 = 2,8 mm 384 (EI) L 384 (EI) L Einwirkungskombinationen charakteristische Bemessungssituation zur Ermittlung der Anfangsdurchbiegung w inst Hier wird w inst = w G,i + w Q,1 + ψ 0 w Q,i i>1 w inst = w g1 + w g2 + w n = 1,2 + 3,1 + 2,8 = 7,1 mm Der Durchbiegungsanteil zufolge des Eigengewichts (w g1,k ) darf unberücksichtigt bleiben, wenn sich diese Verformungen nicht negativ auf Ausbauten (z. B. Zwischenwände, Einbauten) auswirken. Die Anfangsdurchbiegung ist dann: w inst = w g2 + w n = 3,1 + 2,8 = 5,9 mm quasi-ständige Bemessungssituation zur Ermittlung der Enddurchbiegung w net,fin w net,fin = ( w G,i + ψ 2 w Q,i ) (1 + k def ) Hier wird w net,fin = (g 1,k + g 2,k + 0,3 n k ) 1,6 = w net,fin = (1,2 + 3,1 + 0,3 2,8) 1,6 = 8,3 mm Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 5

6 Nachweise in den Grenzzuständen der Gebrauchstauglichkeit GZG laut ÖNORM B :2014, Nationale Festlegung zu ÖNORM EN :2014, Abschnitt Anfangsdurchbiegung w inst l 300 7,1 mm = 16,7 mm [OK] Nachweis erfüllt (43%) Enddurchbiegung w net,fin l 250 8,3 mm = 20,0 mm [OK] Nachweis erfüllt (41%) Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 6

7 Schwingungen von Wohnungsdecken Einordnung der Decke in die Deckenklasse hinsichtlich des Schwingungsverhaltens gemäß ÖNORM B :2014. Verhalten der Decke in Querrichtung Länge und Breite des Deckenfeldes Steifigkeiten l = 5,00 m b = 8,00 m Steifigkeit des Deckenelements in Längsrichtung (EI) l = Nm² Steifigkeit des Estrichs Dynamischer-E-Modul h b = 6 cm E b = N/mm² I b = 100 h b 3 12 (EI) b = Nm 2 Schwingungsnachweise Frequenzkriterium Querverteilung Verhältnis der Steifigkeiten = =1 800 cm 4 12 EI b = EI l = 0,0638 Faktor zum Einfluss der Quertragfähigkeit k b = 1 + ( l b ) 4 (EI) b (EI) l = 1 + ( 5 8 ) = 1,005 Der Quertragfähigkeit hat einen geringen Einfluss auf die erste Eigenfrequenz von 5. Deckenmasse (aus den ständigen Einwirkungen) g k = 1,1 + 2,8 = 3,9 kn/m² m = 9, g k Erste Eigenfrequenz f 1 = = 398 kg/m π 2 l 2 (EI) l m 1 + ( l b ) 4 (EI) b (EI) l = π f 1 = 7 1,005 = 8,57 Hz 2 5, π 2 l (EI) l 2 m k b Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 7

8 Zuordnung der Deckenklasse f 1 f grenz 8 Hz Deckenklasse I f grenz = { 6 Hz Deckenklasse II Deckenklasse III Nach dem Frequenzkriterium ist die Decke der Deckenklasse I zuzuordnen. Steifigkeitskriterium Statische Einzellast F = 1,0 kn mitwirkende Breite (nach Gleichung NA. 7.2-E3) b F = min 5,0 b F = min { 1,1 l 1,1 4 (EI) b (EI) l { Deckenbreite b ,00 m Durchbiegung in Feldmitte F l 3 w stat = 48 (EI) l b F w stat = = 2,28 m 1 5, , = 0,16 mm Zuordnung der Deckenklasse w stat w grenz 0,25 mm Deckenklasse I w grenz = { 0,50 mm Deckenklasse II Deckenklasse III Nach dem Steifigkeitskriterium ist die Decke der Deckenklasse I zuzuordnen. Zusammenfassung des Schwingungsverhaltens Hinsichtlich des Schwingungsverhaltens insgesamt erfüllt die Decke Deckenklasse I laut ÖNORM B :2014. [OK] Nachweis erfüllt Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 8

9 Beschleunigungskriterium Anmerkung: Das Beschleunigungskriterium ist im vorliegenden Fall nicht zu untersuchen, da das Frequenzkriterium bereits erfüllt ist und die Beschleunigung als Kriterium nur für Decken unter der geforderten Mindestfrequenz anzuwenden ist. Die Beschleunigung wird hier also nur der Vollständigkeit halber berechnet. Einzuhaltende Mindestfrequenz f 1 f min = 4,5 Hz Mindestfrequenz erfüllt Gewichtskraft einer auf der betrachteten Decke gehenden Person F 0 = 700 N Für Decken mit geringerer Eigenfrequenz wird die Beschleunigung durch Gehen im Resonanzfall ermittelt und mit dem Grenzwert verglichen. Resonanz tritt ein, wenn die Erregerfrequenz durch Gehen gleich der Eigenfrequenz der Decke ist. Die dabei durch die Person abgegebene wirksame Kraft ist von der Schrittfrequenz bzw. der harmonischen einer Vielfachen der Schrittfrequenz abhängig. Bei höheren Frequenzen werden kleinere Kräfte abgegeben. α = e 0,4 f 1 α = e 0,4 8,57 = 0,032 Der schwingungswirksame Anteil der Gewichtskraft bei der Frequenz f 1 beträgt hier nur 3%. Der modale Dämpfungsgrad (Lehr'sches Dämpfungsmaß) laut Tabelle NA.7.2-E5 beträgt: Holzbalkendecken und mechanisch verbundene Brettstapeldecken mit schwimmendem Estrich ζ = 0,03 Die modale Masse, also die schwingungswirksame Masse kann vereinfacht für einen Einfeldträger mit der Einflussbreite b F ermittelt werden zu: M = m l 2 b F M = 398 5,0 2,28 = kg 2 Der Effektivwert der Schwingbeschleunigung beträgt dann: a rms = 0,4 α F 0 2 ζ M a rms = 0,4 0, = 0,066 m/s2 2 0, Der Wert 0,4 rührt daher, dass die Einwirkung beim Gehen sowohl ortsveränderlich als auch in ihrer Dauer begrenzt ist. Zuordnung der Deckenklasse Die Zuordnung zu einer Deckenklasse nach dem Beschleunigungskriterium ist nur notwendig, wenn das Frequenzkriterium nicht erfüllt werden kann. 0,05 m/s² Deckenklasse I a gr = { 0,10 m/s² Deckenklasse II Deckenklasse III Nach dem Beschleunigungskriterium wäre die Decke der Deckenklasse I zuzuordnen. Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 9

10 Zusätzliche Bewertung nach statistischer Auswertung (informativ) Anmerkung: Hu, Chui 2 haben durch statistische Auswertung von Messungen und Benutzerbefragungen folgendes Kriterium erstellt. Im angegebenen Kriterium werden keine Deckenklassen unterschieden. 0,44 18,7 w stat 1 f 1 18,7 0,16 0,44 = 0, ,58 [OK] zusätzliches Schwingungskriterium nach Hu,Chui erfüllt Zusätzliche Bewertung nach Hivoss (informativ) Anmerkung: Ein umfassendes Forschungsvorhaben mündete im Hivoss-Bericht EUR EN für die Beurteilung von Wohnungsdecken. Der darin enthaltene Bemessungsvorschlag berücksichtigt die Parameter Gesamtdämpfung, Eigenfrequenz und Modale Masse. In den Diagrammen wurden root-meansquare-werte der Beschleunigungen ausgewertet. Für den vorliegenden Fall kann aus dem Diagramm etwa OS, RMS90 = 2,0 m/s² abgelesen werden. [OK] Die Decke erfüllt Deckenklasse C nach EUR EN und liegt damit im empfohlenen Bereich Wohngebäude A B C D E F Empfohlen Kritisch Nicht Empfohlen 2 Hu L., Chui Y.: Development of a Design Method to Control Vibrations Induced by Normal Walking Action in Wood-Based Floors, Proceedings of the 8th World Conference on Timber Engineering, Vol. II: , Lahti, Finland Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 10