Geodäten. Mathias Michaelis. 28. Januar 2004

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1 Geodäten Mthis Michelis 28. Jnur Vektorfelder Definition 1.1 Sei S 3 eine reguläre Fläche. Ein Vektorfeld uf S ist eine Abbildung v : S 3 so, dss v(p) T n S für lle p S. Ein Vektorfeld ordnet lso jedem Punkt uf der Fläche einen Vektor zu, der in diesem Punkt tngentil n die Fläche ist. Beispiel 1.1 Sei f : S eine gltte Funktion. D die erste Fundmentlform nicht usgertet ist, gibt es bei festgehltenem Punkt p genu einen Vektor v(p) T p S mit der Eigenschft d p f(x) = v(p), X für lle X T p S. Ddurch wird ds Grdientenvektorfeld v := grdf definiert. Definition 1.2 Sei S eine reguläre Fläche, sei c : I S eine prmetrisierte Kurve. Ein Vektorfeld n S längs c ist eine Abbildung v : I 3, so dss v(t) T c(t) S ist für lle t I. Beispiel 1.1 längs c. Ds Geschwindigkeitsfeld v(t) = ċ(t) ist ein solches Vektorfeld 2 kovrinte Ableitungen Wir möchten nun Vektorfelder bleiten. Leitet mn ein Vektorfeld n S längs c in gewohnter Weise b, so erhält mn eine Abbildung, die i. Allg. nicht mehr tngentil n die Fläche ist. Dher wenden wir nch der Ableitung eine Projektion uf die Tngentilebene im entsprechenden Kurvenpunkt n. Dies führt uns uf folgende Definition: Definition 2.1 Sei S eine reguläre Fläche, sei c : I S eine prmetrisierte Kurve und sei v : I 3 ein differenzierbres Vektorfeld n S längs c. Für jeden Punkt p S sei Π p : 3 T p S die Orthogonlprojektion, d.h. ist N(p) einer der beiden Einheitsnormlenvektoren n S im Punkt p, so ist Π p (X) = X X, N(p) N(p). 1

2 Dnn heißt dt v(t) := Π c(t)( v(t)), t I, die kovrinte Ableitung von v. Mit v ist lso uch dtv ein Vektorfeld n S längs c. Beispiel 2.1 Sei S = 2 {0} die x-y-ebene und c eine prmetrisierte ebene Kurve, c(t) = (c 1 (t), c 2 (t), 0) T. Ein Vektorfeld v n S längs c ist dnn von der Form v(t) = (v 1 (t), v 2 (t), 0) T. Dmit ergibt sich dt v(t) = Π c(t)( v(t)) = Π c(t) (( ) v 1 (t), v 2 (t), 0) T = ( v 1 (t), v 2 (t), 0) T = v(t). Für die Ebene stimmen lso gewöhnlich Ableitung und die kovrinte Ableitung überein. Mn knn die kovrinte Ableitung uch mit Hilfe lokler Prmetrisierungen berechnen. Dzu drücken wir für die lokle Prmetrisierung (U, F, V ) von S die Vektoren δ2 F (u) 3 in der Bsis δf (u), δf (u) und N(F (u)) us: δu i δu j δu 1 δu 2 δ 2 F δu i δu j (u) = Γ1 i,j(u) δf δu 1 (u) + Γ2 i,j(u) δf δu 2 (u) + h i,j(u)n(f (u)). Definition 2.2 Die Koeffizientenfunktionen Γ k i,j : U δ 2 F = δ2 F δu i δu j δu j δu i heißen Cristoffel-Symbole. Aus Cristoffel-Symbole in den unteren Indizes folgt direkt die Symmetrie der Γ k i,j = Γ k j,i. 2

3 3 Geodäten Ziel: Wie sehen die kürzesten Verbindungskurven zwischen zwei Punkten uf einer regulären Fläche us? Wir wissen bereits, dss diese uf einer Ebene die Gerden sind. Wir benötigen einige weitere Definitionen Definition 3.1 Sei S eine reguläre Fläche. Sei c : I S eine prmetrisierte Kurve. Dnn ist die Länge von c definiert durch L[c] := ċ(t), ċ(t) dt. I Für viele Anwendungen ist es jedoch günstiger, sttt der Länge die Energie einer Kurve zu betrchten: Definition 3.2 Sei S eine reguläre Fläche. Sei c : I S eine prmetrisierte Kurve. Dnn ist die Energie von c definiert durch E[c] := 1 ċ(t), ċ(t) dt. 2 I Bem.: Eine Prmetertrnsformtion ändert die Länge einer prmetrisierten Kurve nicht, die Einergie llerdings sehr wohl. Lemm 3.1 Sei S eine reguläre Fläche. Sei c : [, b] S eine prmetrisierte Kurve. Dnn ist L[c] 2 2(b )E[c], und Gleichheit gilt genu dnn, wenn c proportionl zur Bogenlänge prmetrisiert ist, d.h. wenn ċ(t), ċ(t) const. Beweis: Wir setzen f : [, b] Schwrz-Ungleichung gilt L[c] 2 =, f(t) := ċ(t), ċ(t). Nch der Cuchy- ( b b ) 2 f(t) 1dt f(t) 2 dt b = 2 E[c] (b ). 1 2 dt Gleichheit gilt genu dnn, wenn f und 1 liner bhängig sind, f lso konstnt ist. Dies bedeutet gerde, dss c proportionl zur Bogenlänge prmetrisiert ist. Als wichtige Folgerung können wir nun festhlten, dss eine Verbindungskurve minimle Energie genu dnn ht, wenn sie minimle Länge ht und proportionl zur Bogenlänge prmetrisiert ist. Wir möchten nun verschiedene Kurven zwischen zwei gegebenen Punkten p und q betrchten und Aussgen über die Vrition ihrer Energie treffen. Zunächst benötigen wir folgendes Lemm, dessen Beweis in [1] zu finden ist: 3

4 Lemm 3.2 Sei S eine reguläre Fläche. Sei c : I J S, (s, t) c(s, t), eine gltte Abbildung. Dnn gilt δc δs δt = δc δt δs. Stz 3.1 (Vrition der Energie) Sei S eine reguläre Fläche. Seien p, q S. Sei c : ( ε, ε) [, b] S eine gltte Abbildung, so dss für c s : [, b] S, c s (t) := c(s, t), gilt: c s () = p, c s (b) = q. Sei V (t) := δc δs (0, t) ds sogennnte Vritionsvektorfeld. Dnn gilt: d ds E[c s] = s=0 b V (t), dtċ0(t) dt Beweis: nutze ds obige Lemm und differenziere unter dem Integrl. Korollr 3.1 Sei S eine reguläre Fläche. Seien p, q S. Ist c : [, b] S eine Verbindugskurve von p nch q mit minimler Energie, so gilt: für lle t [, b] dtċ(t) = 0 In diesem Zusmmenhng erscheint die nun folgende Definition der Geodäten sinvoll: Definition 3.3 Sei S eine reguläre Fläche, I ein Intervll. Eine prmetrisierte Kurve c : i S heißt Geodätische, flls für lle t I gilt. dtċ(t) = 0 Beispiel 3.3 Sei S 3 die x-y-ebene. Wie wir bereits wissen, stimmt dnn die kovrinte Ableitung mit der gewönhlichen Ableitung überein, = c(t). dtċ(t) Die Geodätischen sind lso genu die mit konstnter Geschwindigkeit durchlufenen Gerden, c(t) = p + t v. Es gilt sogr noch llgemeiner: 4

5 Lemm 3.1 Geodätische sind propotionl zur Bogenlänge prmetrisiert. Bislng wissen wir lso über Kurven bzw. Geodätische somit Folgendes: energieminimierend längenminimierend und proportionl zurbogenlänge prmetrisiert Geodätische proportionl zurbogenlänge prmetrisiert. Die Umkehrung des lezten Pfeils gilt i.allg. nicht. So sind im Fll der Sphäre S = S 2 lle Breitenkreise proportionl zur Bogenlänge prmetrisierbr, ber nur der Äqutor ist eine Geodäte. Die Umkehrung des mittleren Pfeils gilt nur lokl. Bleiben wir bei dem Beispiel der Sphäre S 2. Dnn ist der Äqutor eine Geodätische, um jedoch von einem Punkt p uf dem Äqutor wieder zu eben diesem Punkt zu kommen, ist die Weg um die Kugel sicher länger ls die kontnte Kurve c(t) = p. Lokl ber gilt die Umkehrung. Der Beweis ist schwierig und dher in den ngegebenen Quellen nicht zu finden. Wir möchten nun Existenz und Eindeutigkeit der Geodäten beweisen. Dies knn mn uf die Existenz und Eindeutigkeitstheorie für gewöhnliche Differentilgleichungen zurückführen: Für eine lokle Prmetrisierung (U, F, V ) und eine Kurve c schreiben wir, wo definiert, u := F 1 c, d. h. c = F u. Die Geodätengleichung lutet dnn: 0 = dtċ(t) = ( ü k (t) + ) δf Γ k i,j(u(t)) u i (t) u j (t) δu k (u(t)). k ij Dbei hben wir u.. verwendet: ( δ ċ(t) = Π u 1 δf + u 1 δ2 F ) ( δ δu 1 δ u 1 δ u 1 δ u 2 + Π u 2 δf + u 2 δ2 F ) 1 δ u 2 δ u 2 δ u 2 2 und δ δ ( u 1 + u 2 ) u 1 = ü 1 δ u 1 δ u 2 Die Geodätengleichung ist lso äquivlent zu dem System (nichtlinerer) gewöhnlicher Differentilgleichungen für u(t) = (u 1 (t), u 2 (t)): ü k (t) + ij Γ k ij (u(t)) ui (t) u j (t) = 0, 5

6 Stz 3.2 (Existenz von Geodätischen). Sei S 3 eine reguläre Fläche, p S, v T p S und t 0. Dnn gibt es ein Intervll I mit t 0 I und eine Geodätische c : I S mit den Anfngsbedingungen c(t 0 ) = p und ċ(t 0 ) = v. Beweis: Wir wählen eine lokle Prmetrisierung (U, F, V ) so, dss p V. Wir setzen u 0 := F 1 (p) U und X := (D u0 F ) 1 (v) 2. Nun können wir nch dem Existenzstz für gewöhliche Differentilgleichungen die obigen Gleichungen mit den Anfngsbedingungen u(t 0 ) = u 0 und u(t 0 ) = X lösen. Mit c := F u hben wir dnn eine Geodätische mit den gewünschten Eigenschften gefunden. Stz 3.3 (Eindeutigkeit von Geodätischen). Sei S 3 eine reguläre Fläche, I ein Intervll, t 0 I. Sei c : I S eine Geodätische. Dnn ist c durch c(t 0 ) S und ċ(t 0 ) T c(t0) S eindeutig festgelegt. Beweis: Seien c 1 und c 2 Geodätische mit denselben Anfngsbedingungen c 1 (t 0 ) = c 2 (t 0 ) und c 1 (t 0 ) = c 2 (t 0 ). Angenommen, es existiert ein t I, t > t 0, mit c 1 (t) c 2 (t). Wir setzen t 1 := sup{t I t > t 0, so dss c 1 (τ) = c 2 (τ) τ [t 0, t]}. In Worten: t 1 ist gerde der Zeitpunkt, zu dem c 1 und c 2 ufhören, übereinzustimmen. Nun wählen wie eine lokle Prmetrisierung (U, F, V ) mit c 1 (t 1 ) V. Wegen c 1 (t 1 ) = c 2 (t 1 ) für lle t < t 1 ( und t t 0 ) gilt c 1 (t 1 ) = c 2 (t 1 ) sowie c 1 (t 1 ) = c 2 (t 1 ) Der Eindeutigkeitsstz für gewönhliche Differentilgleichungen sgt uns nun, dss c 1 (t) = c 2 (t) solnge c 1 (t) V und c 2 (t) V. Für hinreichend kleines ε > 0 ist dies der Fll für lle t (t 1 ε, t 1 + ε). Dies widerspricht der Mximlität von t 1. Also ist c 1 (t) = c 2 (t) für lle t t 0. Der Beweis für t t 0 geht nlog. 6

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