Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen

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1 Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler Grimmer Statisti im Versicherungs- und Finanzwesen Eine anwendungsorientierte Einführung 204. Auflage Lösungssizzen der Übungsaufgaben zu Kapitel 6 [Text eingeben]

2 Grimmer Statisti im Versicherungs- und Finanzwesen,. Auflage 204 Aufgaben zu Abschnitt 6.3: Aufgabe 6.3.: a) Da es nur um die Auswahl verschiedener Zahlen geht, spielt die Reihenfolge der gezogenen Zahlen eine Rolle, so dass man genau 49 über 6 Möglicheiten hat, aus der Lottotrommel 6 verschiedene Zahlen auszuwählen, also ! 43! 6! b) Analog ergeben sich hier ! 3! 7! Möglicheiten. Möglicheiten. c) Jede Zahlensequenz eines Zahlenlottos ist gleich wahrscheinlich. Hinsichtlich der verschiedenen Ziehungsmöglicheiten liegt also ein Laplace-Modell vor. Beim Zahlenlotto liegt ein Volltreffer vor, wenn eine auf dem Tippschein angereuzte Sequenz mit der folgenden Ziehung übereinstimmt. Die Wahrscheinlicheit hierfür entspricht dem Kehrwert der Gesamtzahl der Sequenzen, die gezogen werden önnen. Also bietet das Zahlenlotto 7 aus 38 die höhere Chance auf einen Volltreffer. Aufgabe 6.3.2: a) Durch Probieren ann man Lösungen bestimmen, weiß allerdings nicht, ob man dadurch alle möglichen Lösungen gefunden hat. Die eindeutige Lösung ann aber berechnet werden:! ( ) 2 2 ( ) 28 2 ( 2)! 2! 2 2 Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind / , 7,. Die positive Lösung = 8 ist die gesuchte eindeutige Lösung. b) 26 4 (! 4)! 4! ( ) ( 2) ( ) 6 ( ) ( 2 3 also 26 = 2 ( 3), d. h. = 9. Auch diese Lösung ist eindeutig. 0 2) , 4 Aufgabe 6.3.3: Wir bestimmen für = 0,, 2,..., 9, 0 die Wahrscheinlicheitsfuntion 0 0 X ~ fb( n; p) fb( 0; 0,4) 0,4 0, 6 und die Verteilungsfuntion P (X x) 0 0 FB (x n; p) FB (x 0; 0,4) 0,4 0, 6 x gemäß nachstehender Tabelle:

3 Grimmer Statisti im Versicherungs- und Finanzwesen,. Auflage 204 X = = ) ) 0 0,0060 0,0060 0,0403 0, ,209 0, ,20 0, ,208 0,633 0,2007 0, , 0, ,042 0, ,006 0, ,006 0, ,000,0000 E (X) n p 0 0,4 4; Var (X) n p q 0 0,4 0,6 2,4; σ (X) Var(X) 2,4, 49 Aufgabe 6.3.4: a) Die gesuchte Wahrscheinlicheit ann nicht mit Hilfe der Binomialverteilung berechnet werden, da es mehr als zwei disjunte Ergebnisse des Zufallsexperiments gibt. Es gibt jedoch eine Verallgemeinerung der Binomialverteilung auf Zufallsexperimente mit mehr als zwei möglichen Ergebnissen, die sogenannte Multinomialverteilung. b) In diesem Fall ist die Binomialverteilung anwendbar, da man die beiden Ergebnisse durchschnittlich und unterdurchschnittlich zum Ereignis nicht überdurchschnittlich mit Wahrscheinlicheit 0,3 + 0,2 = 0,6 zusammengefasst hat. Die gesuchte Wahrscheinlicheit entspricht der in der vorigen Aufgabe für den Fall = 4 berechneten. Generell ann man ein Zufallsexperiment, das beliebige unabhängige Wiederholungen zulässt und eine disjunte Ergebnismenge A, A 2,..., A N besitzt, deren Ergebnisse mit Wahrscheinlicheiten p, p 2,..., p N eintreten (p + p p N = ), indem man einzelne Ereignisse zu einem Ereignis ( Erfolg ), die verbleibenden Ergebnisse zum Komplementärereignis ( Misserfolg ) zusammenfasst, denen jeweils die Summenwahrscheinlicheit zugeordnet ist. So ann man beispielsweise beim fairen Würfel das Erfolgsereignis 6 mit Erfolgswahrscheinlicheit p = /6 und das Misserfolgsereignis eine 6 zur Komplementärwahrscheinlicheit q = /6 definieren, das sich aus den übrigen möglichen Wurfergebnissen, 2, 3, 4 und zusammensetzt.

4 Grimmer Statisti im Versicherungs- und Finanzwesen,. Auflage 204 Aufgabe 6.3.: Wir definieren eine disrete Zufallsvariable X, die die Anzahl der Erfolge beim genannten Bernoulli-Experiment angibt. Für beide Teilaufgaben ist die Binomialverteilung anwendbar, mit Parametern n = 20 und p = 0,9. a) Gesucht ist 3), die aus den Einzelwahrscheinlicheiten = 0) + = ) + = 2) + = 3) berechnet werden muss. Man berechnet also fb ( n;p) 0,9 0, 8, Die Wahrscheinlicheiten sind also vernachlässigbar, so dass ein tatsächlich beobachtetes Ergebnis von höchstens 3 Erfolgen sehr überraschend wäre. b) Gesucht ist 8), die aus den Einzelwahrscheinlicheiten =8) + = 9) + = 20) berechnet werden muss. Man berechnet also 20 fb( 8 n; p) ,9 20 0, 0,282 0,2702 0,26 0,6769. Eine Mindestzahl von 8 Erfolgen ist also ein erwartbares Resultat und önnte nicht überraschen. Aufgabe 6.3.6: Man ann die sinnvolle Annahme treffen, dass die Wahrscheinlicheit für die Inanspruchnahme eines Sontos für alle Rechnungen dieselbe ist und bei einer Rechnung nicht von anderen Rechnungsvorgängen abhängt (warum?). Die Zufallsvariable X, die unter sämtlichen neun Rechnungen diejenigen mit Sonto abzählt, beschreibt also einen Bernoulli- Vorgang mit Parametern n = 9 und p = 0,2. Somit wird 9 9 P (X ) 0,2 0, a) 0) 0,2 0,7 0,7 0, 07 0 b) P (X 9) ,2 0 0,7 9 0,2 3,8 0 c) 3) = = 0) + = ) + = 2) + = 3) = 0,07 + 0, , ,2336 = 0,8343 d) Hier verwendet man sinnvoll die Komplementärwahrscheinlicheit: 2) = < 2) = [ = 0) + = )] = [0,07 + 0,223] = 0, Aufgabe 6.3.7: a) ) fb( n;p) n p n q n (n ) ( (n ) 2 ) p n q n n (n ) (n 2) n q n n ( ) (p p) p q ( ) 2 q n p q ( f B n;p) n p q

5 Grimmer Statisti im Versicherungs- und Finanzwesen,. Auflage 204 b) Die mit den Parametern n = und p = 0,3 binomialverteilte Zufallsvariable X zähle die Anzahl der Fahrzeuge, die einen Blechschaden erleiden. Unter Anwendung der Reursion aus Teil a) füllt sich die Tabelle der Gesamtwahrscheinlicheiten wie folgt: = ) in % 0 = q = 0,7 = 0, ,47 = = 0) 0,3 = 0, ,7 3,0 2 = = ) 4 2 0,3 0,7 0,3 = 0,0960 9,6 3 3 = = 2) = 0, ,00 3 0,7 4 = = 3) 2 0,3 = 0, ,86 4 0,7 = = 4) 6 = = 7) 7 = = 6) 8 = = 7) 9 = = 8) 0 = = 9) = = 0) 2 = = ) 3 = = 2) 4 = = 3) = = 4) 0,3 = 0, ,6 0,7 0 0,3 = 0, ,72 6 0,7 9 0,3 = 0, , 7 0,7 8 0,3 = 0, ,48 8 0,7 7 0,3 = 0,09000,6 9 0,7 6 0,3 = 0, ,30 0 0,7 0,3 = 0, ,0 0,7 4 0,3 = 0, ,7 3 0,3 = 0, ,7 2 0,3 = 0, ,7 0,3 = 0, ,7

6 Grimmer Statisti im Versicherungs- und Finanzwesen,. Auflage 204 Aufgabe 6.3.8: a) Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der Bürger mit einem Atiendepot in der Stichprobe an. Die Binomialverteilung zu den Parametern n = 0 und p = 0,7 beschreibt den Vorgang: P (X 7) 7) ,7 7) 2 0,3 0, ,7 0, ,7 0,233 0,2 0,028 0,382 ; b) Die Zufallsvariable X zählt die Todesfälle unter den 0-Jährigen des Versicherungsbestandes. X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 8.73 und p = 0,002: 8.73 n P (X ) fb( 8.73; 0,002) 0,002 0, 998 = ) = f B ( 8.73; 0,002) = 0,083 = 6) = f B (6 8.73; 0,002) = 0,0932 = 7) = f B (7 8.73; 0,002) = 0,098 = 8) = f B (8 8.73; 0,002) = 0,0930 = 9) = f B (9 8.73; 0,002) = 0,08 = 20) = f B ( ; 0,002) = 0,0746 Offensichtlich verändern sich die Wahrscheinlicheiten in der Nähe des Erwartungswerts E(X) = n p = 7,47 nur moderat, der Gipfel der Verteilung verläuft also recht flach. Ein Maß dafür ist die Standardabweichung σ (X) npq 4, 8. Diese nimmt bei onstanter Erfolgswahrscheinlicheit p mit n zu. Aufgabe 6.3.9: n n n (n ) (n 2)... (n ) n (n ) (n 2)... (n [ ] ) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( 2) n (n ) (n 2)... (n ) n (n ) (n 2)... (n ) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( 2) n (n ) (n 2)... (n ) ( ) n (n ) (n 2)... (n ) ( ) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( 2) [n (n )... (n ) ( )] [n (n )... (n ) (n )] ( ) ( ) ( 2) Bruch vereinfacht Hauptnenner gebildet zusammengefasst n (n )... (n ) [( ) (n )] Distributivgesetz ( ) ( ) ( 2) n (n )... (n ) [n ] zusammengefasst ( ) ( ) ( 2) (n ) n (n )... ([n ] [ ] ) (n + ) anders geschrieben ( ) ( ) ( 2) n Aha!

7 Grimmer Statisti im Versicherungs- und Finanzwesen,. Auflage 204 Aufgaben zu Abschnitt 6.4: Aufgabe 6.4.: Jede Person ann höchstens einmal befragt werden, so dass für die zufallsabhängige Anzahl X der mit Samstagsarbeit einverstandenen Mitarbeiter in der befragten Stichprobe die hypergeometrische Verteilung anwendbar ist mit N = 30 (alle Mitarbeiter), M = (mit Samstagsarbeit einverstandene Mitarbeiter), n = (befragte Mitarbeiter). 2 a) P (X 0) , b) P (X 3) 0,02 0,0009 0, , Aufgabe 6.4.2: a) Die disrete Zufallsvariable X der Anzahl roter Kugeln in der Auswahl von 8 der 20 Kugeln ann nur die Werte 0,, 2 oder 3 annehmen: P (X ) Die onreten Werte belaufen sich auf: = ) 0,930 0,4632 0,2947 0,049 b) X ann jetzt die ganzen Zahlen zwischen 0 und 2 annehmen: P (X ) Die onreten Werte belaufen sich auf: = ) = ) = ) 0 0, , ,030 0, , , , ,733 0, , , , ,490

8 Grimmer Statisti im Versicherungs- und Finanzwesen,. Auflage 204 Abbildungen: Aufgabe 6.4.3: Die Zufallsvariable X zählt die gezogenen roten Kugeln, so dass 0 X min(n, M). Die Obergrenze ist hier nicht einfach n, da die Anzahl natürlich nicht größer werden ann, als überhaupt rote Kugeln zur Auswahl stehen. Die Lösungsdiagramme zeigen den Verlauf des Fehlerbetrags als Stabdiagramm (line Sala) und die exaten Auswahlwahrscheinlicheiten lt. hypergeometrischer Verteilung als dünne Linie (rechte Sala). Interessant ist jeweils der Bereich zwischen etwa 2, Standardabweichungen unterhalb und oberhalb des Erwartungswerts, der immer am höchsten Punt der Wahrscheinlicheitsurve liegt. Denn dieser Bereich umfasst über 99% der Wahrscheinlicheitsmasse; so dass es sehr unwahrscheinlich ist dass X Werte außerhalb dieses Bereichs annimmt. E(X) = 20; 2,σ(X) = 9, E(X) = 0; 2,σ(X) = 6,9 E(X) = 4; 2,σ(X) = 4,4 E(X) = 0; 2,σ(X) = 7, E(X) = ; 2,σ(X) =,2 E(X) = 4; 2,σ(X) = 4,4

9 Grimmer Statisti im Versicherungs- und Finanzwesen,. Auflage 204 E(X) = ; 2,σ(X) =,2 E(X) = 2,; 2,σ(X) = 3,8 E(X) = ; 2,σ(X) = 2,4 Die Fehlergröße nimmt generell in den Randbereichen der Verteilung zu, weil dort die Absolutwerte der Wahrscheinlicheiten sehr lein werden, ein gleich hoher absoluter Approximationsfehler wie im Zentralbereich also zu einem größeren relativen Fehler führt. Es ist schön zu sehen, dass die Fehlergrößen im zentralen Bereich mit dem Auswahlsatz abnehmen. Zudem fällt auf, dass sich die Fehlergröße bei leiner werdendem Anteil M/N roter Kugeln nur moderat vergrößert. Der Auswahlsatz ist also die deutlich gewichtigere Bedingung, so dass in der Praxis oft auch nur er als Approximationsbedingung Anwendung findet: n < 0,0 N. Aufgabe 6.4.4: Variante a) steht für das hypergeometrische, Variante b) für das Binomialverteilungsmodell. Bei leiner Stichprobe ( lein im Verhältnis zur Grundgesamtheit, n < 0,0 N) ann Variante a) näherungsweise wie Variante b) behandelt werden: Nehmen wir für die Grundgesamtheit N = Personen an, von denen der Aussage zustimmen. Dies bedeutet einen Anteil p = M/N = 0,3. Bei Auswahl einer Person sind folgende Fälle möglich: Wenn die Person der Aussage zustimmt, ändert sich der Anteil der Zustimmer auf 2.999/9.999 = 0,29993, der Anteil der Nichtzustimmer auf 7.000/9.999 = 0, Wenn die Person der Aussage nicht zustimmt, ändert sich der Anteil der Zustimmer auf 3.000/9.999 = 0,30003, der Anteil der Nichtzustimmer auf 6.999/9.999 = 0, In beiden Fällen bleiben also die Wahrscheinlicheiten nahezu unverändert. Erst bei größeren Auswahlsätzen ann sich eine spürbare Verschiebung der Mengenverhältnisse ergeben. Variante b) wird deshalb auch als unendliche Grundgesamtheit bezeichnet, weil die Wahrscheinlicheiten sich unabhängig vom Auswahlsatz nicht ändern önnen. Da man Stichprobenverfahren normalerweise zum Zwec der Aufwandsredution bzw. zur Vermeidung von Vollerhebungen durchgeführt werden, ist in der Praxis die leine Stichprobe die Regel, so dass man die Wahrscheinlicheit, bei zufälliger Auswahl mit Wahrscheinlicheit p = M/N eine Person zu erwischen, die der Aussage zustimmt, als onstant annehmen ann.

10 Grimmer Statisti im Versicherungs- und Finanzwesen,. Auflage 204 Aufgaben zu Abschnitt 6.: Aufgabe 6..: Die Zufallsvariable X zählt die mediationswilligen Kunden eines Tages. Der Erwartungswert = 2 ist vorgegeben. Damit wird 0 2 und a) 0) e e 0, 3 0! b) ) e 2 e 0,27 2) 2) 2) 0, 323!. Aufgabe 6..2: X misst die Zahl schwerer Erdbeben in einem Jahrhundert. Pro Jahrhundert ist mit 0,7 Erdbeben zu rechnen und folglich 0 0,7 0,7. 0) 0! e 0,472; ) 0,34; 2) 0,33 Aufgabe 6..3: Für einzelne Werte der binomialverteilten Zufallsvariable X werden die exat berechnete Wahrscheinlicheit und der Prozentbetrag des relativen Fehlers zur Poisson-Approximation angegeben. Neben dem Erwartungswert werden und 2 betrachtet, so dass P( X 2 ) 0,9. In der Nähe des Erwartungswerts unterschreitet der relative Fehler ab ca. p < 0, die Größenordnung von %, in den Randbereichen für p < 0,0. Der Einfluss der Wiederholungszahl n erscheint dagegen geringer. n = 0 p = 0,2 = 2 n = 0 p = 0, = n = 0 p = 0,0 = 0, = ) e [%] = ) e [%] = ) e [%] 0 0,07 26,0 0 0,349, 0 0,99,3 2 0,302-0,4 0,387 -,0 0,3-3,8 4 0,088 2,4 3 0,07 6,8 2 0,07,6 n = 30 p = 0,2 = 6 n = 30 p = 0, = 3 n = 30 p = 0,0 =, K = ) e [%] = ) e [%] = ) e [%] 2 0,034 60,2 0,4,7 0 0,2 4,0 6 0,79-0, 3 0,236 -, 0,339 -,2 0 0,03 6,4 6 0,047 6,4 2 0,29-2,9 4 0,04 4,3 n = 00 p = 0,2 = 20 n = 00 p = 0, = 0 n = 00 p = 0,0 = = ) e [%] = ) e [%] = ) e [%] 3 0,022 2,6 0,034,7 2 0,08 3,7 20 0,099-0, 0 0,32 -, 0,80-2, 27 0,022 7,2 0,033 6,2 9 0,03 3,9 n = 00 p = 0,2 = 00 n = 00 p = 0, = 0 n = 00 p = 0,0 = 2 = ) e [%] = ) e [%] = ) e [%] 83 0,007 30,4 38 0,02 2,6 6 0,04 7, 00 0,04-0,6 0 0,09 -, 2 0,082-2, 7 0,007 26,3 62 0,02 0,0 34 0,0,2

11 Grimmer Statisti im Versicherungs- und Finanzwesen,. Auflage 204 Aufgabe 6..4: Der von abhängige Teil der Poisson-Formel lautet /!. Während für steigende der Zähler stets um denselben Fator zunimmt, wächst der Nenner immer stärer mit steigendem. Für < wächst demnach der Zähler schneller, für > hingegen der Nenner, so dass die Wahrscheinlicheiten zunächst mit anwachsen, bei den größten Wert annehmen und für > wieder sinen. Offenbar gilt nur für ganzzahlige und = : )! e ( e )! ( e )! ) Aufgabe 6..: a) ) e e )! ( )! b) Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment, das in der 8.73-maligen Entscheidung für einen Todesfall (p = 0,002) oder Erlebensfall (q = p = 0,998) besteht. Die Zufallsvariable X zähle die Todesfälle eines Jahres. Mit Hilfe der Binomialverteilung önnen die Wahrscheinlicheiten modell-exat berechnet werden. Wegen der großen Zahl (n = 8.73) von Versuchen und der niedrigen Erfolgswahrscheinlicheit ann die Poissonverteilung zum Parameter = n p = 7,47 als Näherungsverfahren eingesetzt werden. Diese Berechnung ist weniger aufwendig, da nur ein Berechnungsparameter zu berücsichtigen ist. Es ergeben sich die Approximativwahrscheinlicheiten 7,47 7,47 7,47 ) e 0,0826; P (X 6) ) 0,0930;! 6! 7,47 7) 6) 0,0967; = 8) 0,09286; = 9) 0,0838 und = 20) = 0, ! Der relative Approximationsfehler liegt im Bereich von einem Promille, die Näherungsrechnung ist also ziemlich genau.

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