KLAUSUR. Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.:

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1 KLAUSUR Lineare Algebra (E-Techniker/Mechatroniker/W-Ingenieure/Informatiker).3. (W. Koepf) Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.: Für jede Aufgabe gibt es Punkte. Zum Bestehen der Klausur sollten 8 Punkte erreicht werden. ) ) 3) 4) Punkte: Note:

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3 Fangen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt an. Beschreiben Sie nur die Vorderseite der Blätter. Geben Sie alle Rechenschritte an!. (a) Gegeben seien die komplexen Zahlen = +i und = 5 i 5. (i) Schreiben Sie und in Polardarstellung (Rechnen Sie in Grad. Stellen Sie dau Ihren Taschenrechner auf DEG ein, nicht RAD). (ii) Bestimmen Sie w = 8 6 und schreiben Sie das Ergebnis in der Form w = x + iy, (x, y R). (iii) Wie lauten die Lösungen der Gleichung 6i = + 9? (b) Die Vektoren a und b erfüllen folgende Gleichungen, () () ( a b) ( a + b) = 5 a b a b = + 3 wobei die Länge des Vektors a sei (d. h. a = ). Berechnen Sie die Länge von b, das Skalarprodukt a b sowie den von a und b eingeschlossenen Winkel α (wiederum in Grad).. (a) Die drei Punkte A = (, a, 4), B = (,, ), C = (,, ) spannen im R 3 ein Dreieck auf. Wie muss man a wählen, damit der Flächeninhalt des Dreiecks ABC genauso groß wird, wie der Flächeninhalt des Quadrats über der Seite BC? Bitte wenden! (b) Gegeben seien die Ebenen E : 3x y =, E : x+y = und E 3 : 6x+y+ =. Bestimmen Sie die Schnittmenge der drei Ebenen und geben Sie eine Parameterdarstellung davon an.

4 3. Gegeben sei die folgende Matrix A = 3. Bestimmen Sie (a) das charakteristische Polynom sowie die Eigenwerte von A. (b) die Eigenvektoren von A. (c) eine Matrix B, so dass B AB eine Diagonalmatrix D ist. Geben Sie auch D an. 4. (a) Gegeben sei das lineare Gleichungssystem für die Unbekannten x, y und x b 3 a a y = a (a und b seien beliebige reelle Zahlen). Unter welcher Bedingung ist das System (i) nicht lösbar? (ii) eindeutig lösbar? (iii) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar? (b) Die lineare Abbildung f : R 3 R wird durch die folgende Matrix A von f beüglich der kanonischen Basen des R 3 und R (d. h. die Matrix A mit der Eigenschaft f( x) = A x für alle x R 3 ) gegeben: ( ) 4 Bestimmen Sie eine Basis des Kerns sowie eine Basis des Bildes von f, und bestätigen Sie die Dimensionsformel.

5 Lösungen a (i) = +i ; = ( ) + =, ( ) φ = arctan + = 35 a (ii) = = e 35 i ) 5 5 ( ) = i ; = ( = 5, ( ) 5 φ = arctan 5 + = 3 = = 5e 3 i 5 w = 8 6 = ( ) 8 ( ) 6 e 35 i 5e 3 i = ( ) 8 e 35 i 8 ( 5) 6 e 3 i 6 = 6 5 ( ) = a (iii) Lösungen der Gleichung 6i = + 9 6i = +9 ( 3i) ( 3i) = +9 ( 3i) +9 = +9 ( 3i) = ( 3i) = ( e 35 i 3i = ± e 35 i) b = = 3i + 4 e 67.5 i oder = 3i 4 e 67.5 i ( a b) ( a+ b) = 5 a + a b b a 4 b = 5 a 4 b = 5 4 b = 5 4 b = 6 b = a b a b = + 3 a b = + 3 a b = 3 cos( a, a b b) = cos(α) = a b = ( 3 ) 3 = α = arccos = 5

6 a Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC bw. des Quadrats über der Seite BC ist durch die Formel F ABC = AB AC bw. F BC = BC gegeben. AB = a 4 = BC = a, AC = = 4. a 4 = 3 a 6, F ABC = AB AC = = 6( a) + ( a) ( )( 3) 6 ( a) + 3( a) = ( 4( a)) (( a)) = 5( a) ( a) 4 ( a) F BC = BC = ( ) + + ( 4) =. F ABC = F BC 5( a) + 4 = 5( a) + 4 = 4 b Die Schnittmenge der Ebenen 5( a) = = a =. E : 3x y =, E : x + y = und E 3 : 6x + y + =. ist durch das folgende Gleichungssystem 3x y = x + y = 6x + y + = gegeben. Mit dem Gauß-Algorithmus erhält man

7 3 6 () () (3) ( ) ( ) = () + 3() (3 ) = () + (3) Man stellt fest, dass das GS unterbestimmt ist. Man sete = λ. ( ) y 4λ = 3 = y = λ 3 ( ) 3x (λ 3 ) λ = = x = λ. Die gesuchte Schnittmenge ist die Gerade mit der folgenden Parameterdarstellung x λ r = y = λ 3 = 3 + λ. λ 3 A = 3 3a Charakteristisches Polynom von A. λ X A (λ) = det(a λe) = 3 λ λ = ( λ) λ 3 λ ( λ)(λ λ ) = (λ + ) (λ ). Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen von X A (λ). D.h. λ = und λ =. 3b Eigenvektoren von A. Die Eigenvektoren von A sind die Lösungen des folgenden Gleichungssystems (A λe) u = für λ = und λ =. Für λ = (A λ E) u = (A+E) u = 4 x y =

8 Mit dem Gauß-Algorithmus hat man () 4 () (3) ( ) ( ) = () + () (3 ) Man kann schon wieder feststellen, dass das Gleichungssystem unterbestimmt ist. Man sete = µ und y = γ. u = ( ) x γ + µ = = x = γ + µ. x γ + µ y = γ = γ + µ µ Daraus folgt, dass man für den Eigenwert λ = die l.u. Eigenvektoren u = und u = erhält. Genauso erhält man für den Eigenwert λ = den Eigenvektor u 3 =. 3c Eine Matrix B, so dass B AB eine Diagonalmatrix ist, wird spaltenweise gebildet aus den Eigenvektoren. Die entsprechende Diagonalmatrix D enthält die Eigenwerte in der Diagonalen. B = und D =. 4a Gleichungssystem für die Unbekannten x, y und x 3 a a y = a b

9 (a und b seien beliebige reelle Zahlen). Mit dem Gauß-Algorithmus erhält man b () 3 a a () 3 + a a + a (3) 3 a b 3 + a a + 3b a(a 7) b(a + 6) Das Gleichungssystem ist b 3b b ( ) ( ) (3 ) = 3( ) + ( 3 + a)(3 ) ( ) ( ) = 3() + () (3 ) = () + (3) (i) nicht lösbar, wenn a(a 7) = und b(a + 6). D.h. wenn ( a = oder a = 7) und b. (ii) eindeutig lösbar, wenn a(a 7) D.h. wenn a und a 7. (iii) Lösbar, aber nicht eindeutig lösbar, wenn a(a 7) = und b(a + 6) = D.h. wenn (a = oder a = 7) und b =. 4b Die lineare Abbildung f : R 3 R wird durch die folgende Matrix A (mit der Eigenschaft f( x) = A x für alle x R 3 ) gegeben: ( ) A = 4 Bestimmung einer Basis des Kerns von f. x x u = y Kern(f) A y = erhält man ( 4 ( ) ( () () ). Mit dem Gauß-Algorithmus ) ( ) ( ) = () + () Man = µ und y = γ. ( ) x + γ + µ = x = γ + µ. x γ + µ u = y = γ = γ + µ µ

10 Daraus folgt, dass eine Basis des Kerns von f ist B = a =, a =, Dim (Kern (f)) = Bestimmung einer Basis des Bildes von f. Die lineare unabhängigen Spalten von A bilden eine Basis des Bildes von f. Mit Spaltenumformungen erhält man ( 4 ) ( ) (S (. Spalte)) = (S ) + (S ) (S 3) = (S ) + (S 3 ) Daraus folgt, dass eine Basis des Bildes von f ist { ( )} B = b =, Dim (Bild (f)) = Bestätigung der Dimensionsformel. Dim(R 3 ) = Dim(Kern (f)) + Dim(Bild (f)) 3 = +