Regelung eines stehenden Pendels

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1 Technische Universität Berlin MRT M R T Prof. Dr.-Ing. R. King Fakultät III Institut für Prozess- und Anlagentechnik Fachgebiet Mess- und Regelungstechnik TU Berlin. Sekretariat. P2-1. Mess- und Regelungstechnik Hardenbergstraße 36 a Berlin Tel.: Fax: RTI-Praktikum Regelung eines stehenden Pendels (Stand: ) Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung und Versuchsaufbau Modellbildung Analytisch Hausaufgabe Experimentell Reglerauslegung Innerer Regelkreis Äußerer Regelkreis Hinweise zur Bedienung Verzeichnis wichtiger MATLAB-Befehle ECP-Tool zur Anlagenbedienung...8

2 1 Aufgabenstellung und Versuchsaufbau Ziel des Versuches ist der Aufbau einer Regelung (Kaskade) für ein stehendes Pendel. Mit Hilfe dieser Regelung soll es möglich sein, bei aufrecht stehendem Pendel die Position des Wagens, auf dem das Pendel gelagert ist, auf bestimmte Werte einzustellen. Die hier durchzuführenden Arbeiten umfassen die Modellbildung, die Reglersynthese und -implementierung sowie beispielhafte Testversuche, um die Performance des geschlossenen Regelkreises zu überprüfen. Den schematischen Versuchsaufbau zeigt die Abbildung 1. Das Balancieren des drehbar gelagerten Stabes erfolgt durch die Beschleunigung des auf Schienen geführten Wagens. Dieser Zahnriemen wandelt dabei die Drehbewegung des Motors in eine Translation des Wagens um. Die Größen Stabwinkel und Wagenlage werden von dem Winkelaufnehmer bzw. dem Positionsaufnehmer erfasst. Stab Zahnriemen Winkelaufnehmer Dämpfer Wagen Motor Postitionsaufnehmer Endschalter und Endanschlag DC- Tachogenerator Abbildung 1: Versuchsaufbau Stellglied (Motor/Riemen) Mit Hilfe des Stellgliedes soll die Regelstrecke so beeinflusst werden, dass die zu regelnde Größe ihren vorgesehenen Sollwert erreicht bzw. beibehält. Eingangsgröße des Stellgliedes ist die Steuerspannung U S (t) des Motors (5-Phasen- ) Schrittmotor). Der Zahnriemen wandelt die Rotation in eine Translation Riemen verbundenen Wagens um. x(t des mit dem 2

3 Regelstrecke Die Regelstrecke wird durch das Stab/Wagen-System repräsentiert. Es besteht aus dem Wagen, dem Stablager, das auf dem Wagen montiert ist und dem Stab selbst, dessen unteres Ende gefesselt ist. Die Kräfte, die aus der Eigenmasse des Stabes und der Erd- bzw. seiner infolge des Bewegungsablaufes des Wagens aufgezwungenen Beschleunigung resultieren, werden durch das Lager zwischen Wagen und Stab übertragen. Zudem lässt diese Art der Lagerung eine Drehbewegung Schienenebene aufspannt, zu. ϕ (t) des Stabes in einer Ebene, die sich zwischen der Senkrechten und der m S Kaskadenregelung Um das Pendel zu balancieren, wäre lediglich ein Regler für den Winkel des Stabes auszulegen. Da die Strecke, auf die der Wagen sich bewegen kann, allerdings durch den Versuchsaufbau begrenzt ist, muss zudem die Position des Wagens geregelt werden. Dadurch ergibt sich eine Kaskadenregelung, die in Abbildung 2 schematisch dargestellt ist. x Soll x Ist Abbildung 2: Blockschaltbild einer Kaskade Vervollständigen Sie das Blockschaltbild durch die fehlenden Größen ( U, ϕ )! S 3

4 2 Modellbildung 2.1 Analytisch Hausaufgabe Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung des Stabes auf! ϕ - Länge des Stabes: 2 l = 2 0, 38m - Masse des Stabes: m S = 0, 328kg 2 l m - Fallbeschleunigung: g = 9,81 s² - Radius des Stabes: r - Trägheitsmoment des Stabes ( r <<l ): 1 Θ S = m S l 3 - Masse des Wagens: m 0, 415kg - Freiheitsgrade: x, ϕ W = x Abbildung 3: Stab-/Wagen-System Folgende Schritte sind durchzuführen: 1. Freischneiden des Stabes und Antragen der Lagerkräfte F x und F y 2. Antragen der noch fehlenden Momente (Trägheitsmoment) und Schwerkraft des Stabes 3. Momenten- und Kräftebilanz für den Stab aufstellen. 4. Eliminierung der Lagerkräfte und anschließende Linearisierung ( sin ϕ ϕ und ϕ ) führt auf die gesuchte Bewegungsgleichung des Stabes: ϕ = f ( ϕ, x ) cos 1 4

5 2.2 Experimentell Bevor mit der experimentellen Modellbildung begonnen wird, sind der Positions- und der Geschwindigkeitsaufnehmer zu kalibrieren (siehe 4.2 ECP-Tool zur Anlagenbedienung). Das Modell des Motor/Riemen/Wagen-Systems soll mit Hilfe so genannter Sprungversuche bestimmt werden. Dabei ist die Eingangsgröße (Steuerspannung) (t) U S sprungartig auf zwei verschiedene positive und negative Werte (±0,1V und ±0,2V) einzustellen. Als Ausgangsgröße soll die Geschwindigkeit des Wagens verwendet werden. An die einzelnen gemessenen Zeitverläufe der Ausgangsgröße sind einfache regelungstechnische black-box Modelle anzupassen. Für die weitere Anpassung der Modellparameter kann z.b. die MATLAB-Funktion fminsearch verwendet werden. Für die folgende Reglerauslegung muss die Übertragungsfunktion zwischen Motorspannung U S und Position des Wagens x aus oben bestimmten Verhalten berechnet werden. Welche Aussagen bzgl. der Stabilität des Systems können getroffen werden? 3 Reglerauslegung 3.1 Innerer Regelkreis ANMERKUNG: Wenn die Identifikation der Modellparameter der jeweiligen Sprünge zu unterschiedlichen Werte führt, so sind die folgenden Regler entsprechend robust auszulegen; d. h. der geschlossene Regelkreis muss für alle geschätzten Modelle asymptotisch stabil bleiben! Überlegen Sie sich zunächst einen geeigneten Regler, um den inneren Regelkreis zu stabilisieren (TIPP: Standard-Regler). Verwenden Sie für die Stabilitätsbetrachtung das allgemeine Nyquist- Kriterium. Geben Sie anschließend den Bereich der Reglerverstärkung an, für die der innere geschlossene Regelkreis asymptotisch stabil ist. Testen Sie nun den inneren Regelkreis in Simulink (mit Störungen) und anschließend an der Anlage (siehe 4.2 ECP-Tool zur Anlagenbedienung). 5

6 3.2 Äußerer Regelkreis Zur Regelung der Position soll ein PDT 1 - und ein PIDT 1 -Regler entworfen werden. Dabei ist der Pol des für die Realisierbarkeit benötigten Verzögerungsgliedes bei ca. s p = 50 zu legen. Die Zeitkonstante(n) des PD-Gliedes können mit Hilfe des Bodediagramms bzw. der Wurzelortskurve bestimmt werden. Bestimmen Sie mit Hilfe des Endwertsatzes, ob beide synthetisierten Regler eine konstante, am Ausgang des Lagereglers angreifende Störung, ausregeln. Nachdem die Reglersynthese abgeschlossen ist, soll unter Simulink die Kaskadenregelung implementiert und bzgl. ihres Führungsübertragungs- und Störungsübertragungsverhaltens getestet werden. Dabei soll zum einen die Führungsgröße sprungartig von 0 auf 0,2m erhöht werden und zum anderen in Form einer Rampe realisiert werden. Der anstieg der Rampe soll 0,02m pro Sekunde betragen. Achten Sie darauf, dass bereits in der Simulation die Stellgrößenbeschränkung (±10V) eingehalten wird - ggf. müssen die Regler abgeschwächt werden. Überprüfen Sie anschließend an Hand zweier Simulationen, wie gut konstante Störungen, die am Streckenausgang bzw. am Ausgang des Lagereglers angreifen, ausgeregelt werden. Abschließend sind dieselben Versuche (sprung- und rampenförmige Änderung der Führungsgröße) an der realen Anlage durchzuführen. Stellen Sie die in Simulation und Experiment gemessenen Verläufe der Ausgangsgröße x(t) und der Motorspannung (t) U S jeweils in einer Abbildung dar. 6

7 4 Hinweise zur Bedienung 4.1 Verzeichnis wichtiger MATLAB-Befehle - Bodediagramm und Nyquistdiagramm bode, nyquist - Berechnung von Pol- und Nullstelllen pole, zpkdata - Programmierung einer Übertragungsfunktion tf, zpk - Pol-/Nullstellen kürzen in einer Übertragungsfunktion minreal - Wurzelortskurve rlocus, rltool - Simulation von Systemantworten lsim, step, impulse 7

8 4.2 ECP-Tool zur Anlagenbedienung Das ECP-Pool kann über das auf dem Desktop liegende Programm Pendel geöffnet werden. Kalibrierung des Winkel- und Positionsaufnehmers Arbeitsschritte (es kann nur in die grün unterlegten Felder etwas eingetragen werden; die Eingabe wird mit der Enter-Taste bestätigt): 1. Starten der Kalibrierung 2. Anzahl der Kalibrierungsdurchläufe auf 5 festlegen ( ϕ = 0, ± 2, ± 5 ; x = 0 m, ± 0,1m, ± 0, 2m ) 3. Position und Winkel an der Anlage einstellen 4. Position und Winkel in den entsprechenden Feldern eingeben 5. Schritte 3. und 4. 4x wiederholen 6. Speichern der Kalibrierung 7. Verlassen der Oberfläche über Ende 8

9 Identifikation Arbeitsschritte: 1. 0-Position klicken, um den Wagen in die Nullposition zu fahren 2. Spannungswert (±0,2V,±0,5V) eintragen 3. Start Sprung klicken, um die Messung zu starten 4. Stop/Speichern klicken, um die Messung zu speichern 5. Schritte 2 bis 4 für die entsprechenden Spannungswerte 3x wiederholen 6. Verlassen der Oberfläche über den Button Hauptmenü Regelung Arbeitsschritte zum Testen des inneren Regelkreises: 1. 0-Position anfahren 2. Innerer Regelkreis einstellen 3. Regelparameter editieren 9

10 4. Starten der Messung 5. Stoppen der Messung 6. Auswertung betrachten Zum Testen der Kaskade ist statt Innerer Regelkreis Kaskade einzustellen und zusätzlich der Positionsvektor zu editieren. Regelparameter editieren Winkel- und Lageregler sind in folgender Form gegeben: ( s + N1) ( s + N 2) G( s) = K s ( s + P) Die gefundenen Regler müssen dieser Form entsprechend angepasst werden, um sie in das ECP- Tool eingeben zu können. Positionsvektor editieren Hier ist es möglich, die Sollpositionen des Wagens zu bestimmten Zeiten zu definieren. Auswertung In der Auswertung werden vier Größen über der Zeit graphisch dargestellt, der Winkel des Stabes, die Position des Wagens, die Motorspannung und der Sollwinkel. Die Daten der Messung können hier zusätzlich gespeichert werden. 10