1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme. Duales Problem. a i u i + i=1. j=1
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- Sylvia Lieselotte Kopp
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1 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme Duales Problem Lemma 1.4. Das zum Transportproblem duale Problem lautet: max unter den Nebenbedingungen m a i u i + i=1 n b j v j j=1 u i +v j c ij, i = 1,...,m, und j = 1,...,n und u i,v j R für i = 1,...,m, und j = 1,...,n Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 60
2 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme Anwendung der Dualitätssätze Es sei F(x) die Zielfunktion des primalen und D(u,v) des dualen Transportproblems. Sind x R m n und u R m,v R n optimal, dann gilt siehe Satz 5.4, OR I F(x) = D(u,v) x = (x ij ) sowie u = (u i ) und v = (v j ) sind genau dann optimal, wenn gilt x ij > 0 u i +v j = c ij siehe Satz 5.5, OR I Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 61
3 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme Effizienterer Solver durch Ausnutzung der Dualität Gegeben sei eine zulässige Basislösung x: Finde Belegung der Variablen u i und v j, so dass gilt: x ij ist BV u i +v j = c ij Wenn außerdem u i +v j c ij für alle NBV gilt, dann ist die Basislösung optimal. Ansonsten wähle NBV x ij mit dem kleinsten (negativen) Wert für und tausche sie gegen eine BV aus. B ij = c ij u i v j Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 62
4 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme Wie werden die u i und v j bestimmt? Ausgehend von einer Basislösung x stellt man das LGS auf. Anzahl der Variablen: n+m u i +v j = c ij für alle i,j mit x ij ist BV Anzahl der Gleichungen: n+m 1 Setze eine Variable auf 0, z.b. u 1 = 0. Löse die restlichen Gleichungen sukzessive. Die Basislösung bildet einen Baum. Das LGS kann also entlang der Kanten des Baumes gelöst werden. Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 63
5 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme Beispiel 1.8. Wir bestimmen u i und v j für die Basis von Beispiel 1.2. Das LGS lautet: u 1 +v 1 = 9 u 1 +v 2 = 1 u 2 +v 2 = 5 u 2 +v 3 = 8 Wir setzen u 1 = 0. Damit folgt: v 1 = 9,v 2 = 1,u 2 = 4,v 3 = 4 und wir erhalten: B 13 = = 1 B 21 = = 9 Dies sind genau die Schattenpreise aus den Beispielen 1.4, 1.6 und 1.7. Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 64
6 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme Die u-v-methode Algorithmus Bestimme mit einem Eröffnungsverfahren (z.b. der Nordwesteckenregel) eine zulässige Basislösung x und den zugehörigen Zielfunktionswert z. 2. Setze u 1 = 0 und löse damit das LGS u i +v j = c ij für alle i,j mit x ij ist BV 3. Berechne für alle NBV x ij : B ij := c ij u i v j Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 65
7 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme 4. Gilt B ij 0 für alle NBV x ij, dann ist die aktuelle Basislösung optimal. STOP! Ansonsten bestimme i,j so, dass B ij = min{b kl x kl ist NBV}. 5. W := Weg von A i nach B j in aktueller Basislösung x ij := := min{x kl (A k,b l ) W} x i,j ist die BV, für die das Minimum angenommen wird. 6. for all (A k,b l ) W do x kl := x kl end for all (B l,a k ) W do x kl := x kl + end z := z + B ij 7. x ij wird BV. x i,j wird NBV. Gehe zu Schritt 2. Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 66
8 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme Beispiel für die u-v-methode Beispiel 1.9. Wir setzen einfach Beispiel 1.8 fort. i = 2,j = 1 W = (A 2,B 2,A 1,B 1 ) x 21 = = min{x 22,x 11 } = 30 x 22 = 0 x 11 = 10 x 12 = 40 z = = 570 Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 67
9 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme BVs: x 11,x 12,x 21,x 23 LGS: u 1 +v 1 = 9 u 1 +v 2 = 1 u 2 +v 1 = 4 u 2 +v 3 = 8 Lösung: Schattenpreise: B 13 = = 10 B 22 = 5 ( 5) 1 = 9 i = 1,j = 3 W = (A 1,B 1,A 2,B 3 ) x 13 = = min{x 11,x 23 } = 10 u 1 = 0,v 1 = 9,v 2 = 1,u 2 = 5,v 3 = 13 Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 68
10 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme x 11 = 0 x 23 = 30 x 21 = 40 z = = 470 BVs: x 12,x 13,x 21,x 23 LGS: Lösung: Schattenpreise: B 11 = 9 0 ( 1) = 10 B 22 = = 1 u 1 +v 2 = 1 u 1 +v 3 = 3 u 2 +v 1 = 4 u 2 +v 3 = 8 u 1 = 0,v 2 = 1,v 3 = 3,u 2 = 5,v 1 = 1 Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 69
11 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme i = 2,j = 2 W = (A 2,B 3,A 1,B 2 ) x 22 = = min{x 23,x 12 } = 30 x 23 = 0 x 12 = 10 x 13 = 40 z = = 440 BVs: x 12,x 13,x 21,x 22 LGS: Lösung: u 1 +v 2 = 1 u 1 +v 3 = 3 u 2 +v 1 = 4 u 2 +v 2 = 5 u 1 = 0,v 2 = 1,v 3 = 3,u 2 = 4,v 1 = 0 Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 70
12 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme Schattenpreise: B 11 = = 9 B 23 = = 1 Damit ist die aktuelle Basislösung optimal! Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 71
13 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Zuordnungsproblem Zuordnungsproblem siehe Beispiel 1.5 aus OR I Definition 1.2. Das Optimierungsproblem unter den Nebenbedingungen min n i=1 n c ij x ij j=1 n x ij = 1 für i = 1,...,n j=1 n x ij = 1 für j = 1,...,n i=1 Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 72
14 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Zuordnungsproblem und den Vorzeichenbedingungen x ij {0,1} für i = 1,...,n und j = 1,...,n heißt Zuordnungsproblem. Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 73
15 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Zuordnungsproblem Zuordnungsproblem als Transportproblem Bemerkung: Das Zuordnungsproblem kann als Spezialfall des Transportproblems betrachtet und mit Algorithmus 1.3 bzw. Algorithmus 1.4 gelöst werden. Begründung: Setze im Transportproblem m = n, sowie a 1 = a 2 = = a n = 1 und b 1 = b 2 = = b n = 1. Damit sind die Nebenbedingungen des Zuordnungsproblems modelliert. Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 74
16 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Zuordnungsproblem Die Zielfunktion ist dann identisch zu der des Transportproblems. Wegen x ij max{a i,b j } folgt aus dem Begrenzungsvektor x ij 1. Damit ist 0 x ij 1 keine zusätzliche Einschränkung gegenüber dem Transportproblem. Falls a i und b j ganzzahlig sind, liefern die Algorithmen 1.3 und 1.4 nur ganzzahlige Lösungen. Damit gilt für eine mit diesen Algorithmen ermittelte optimale Lösung stets x ij {0,1}, sie ist also zulässig für das Zuordnungsproblem. Größe einer zulässigen Basislösung: 2n 1 Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 75
17 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Zuordnungsproblem Beispielproblem Beispiel Wir betrachten im Folgenden ein Zuordnungsproblem mit m = n = 3 und Kosten (als Matrix dargestellt) C = (c ij ) = R 3 3 Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 76
18 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Zuordnungsproblem Eröffnungsverfahren Wegen a i = b j = 1 für alle 1 i,j n und alle Transportprobleme, ist eine zulässige Basislösung gemäß der Nordwesteckenregel eindeutig bestimmt: x i,i = 1 ist BV für 1 i n, x i+1,i = 0 ist BV für 1 i n 1 und alle sonstigen Variablen sind NBV. Bemerkung: Wegen x i+1,i = 0 tritt Entartung auf. Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 77
19 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Zuordnungsproblem Beispiel Für Beispiel 1.10: Basis: x 11 = x 22 = x 33 = 1 Zielfunktionswert: x 21 = x 32 = 0 z = 13 Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 78
20 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Zuordnungsproblem Ungarische Methode Die sogenannte Ungarische Methode ist die Spezialisierung der u-v- Methode auf Zuordnungsprobleme. Hier keine spezielle angepasste Darstellung, stattdessen ein Beispiel. Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 79
21 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Zuordnungsproblem Beispiel: Ungarische Methode Beispiel Wir wollen das Zuordnungsproblem mit Kosten aus Beispiel 1.10 lösen. Wir beginnen mit der Basis aus Beispiel BVs: x 11,x 21,x 22,x 32,x 33 u 1 +v 1 = 5 u 2 +v 1 = 3 u 2 +v 2 = 4 u 3 +v 2 = 6 u 3 +v 3 = 4 Wir setzen u 1 = 0. v 1 = 5,u 2 = 2 v 2 = 6,u 3 = 0 v 3 = 4 Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 80
22 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Zuordnungsproblem B 12 = = 5 B 13 = = 2 B 23 = 7 ( 2) 0 = 9 B 31 = = 3 Neue Basis: i = 1,j = 2 W = (A 1,B 1,A 2,B 2 ) x 12 = = min{x 11,x 22 } = 1 x 11 = 0,x 22 = 0,x 21 = 1 z = 13 5 = 8 x 22 wird NBV. u 1 +v 1 = 5 u 1 +v 2 = 1 u 2 +v 1 = 3 u 3 +v 2 = 6 u 3 +v 3 = 4 Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 81
23 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Zuordnungsproblem Wir setzen u 1 = 0. v 1 = 5,v 2 = 1 u 2 = 2,u 3 = 5 v 3 = 1 B 13 = 2 0 ( 1) = 3 B 22 = 4 ( 2) 1 = 5 B 23 = 7 ( 2) ( 1) = 10 B 31 = = 2 i = 3,j = 1 W = (A 3,B 2,A 1,B 1 ) x 31 = = min{x 32,x 11 } = 0 Keine Änderung an x ij und z. x 32 wird NBV. Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 82
24 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Zuordnungsproblem u 1 +v 1 = 5 u 1 +v 2 = 1 u 2 +v 1 = 3 u 3 +v 1 = 8 u 3 +v 3 = 4 Wir setzen u 1 = 0. v 1 = 5,v 2 = 1 u 2 = 2,u 3 = 3 v 3 = 1 B 13 = = 1 B 22 = 4 ( 2) 1 = 5 B 23 = 7 ( 2) 1 = 8 B 32 = = 2 Optimal! Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 83
25 1. Transport- und Zuordnungsprobleme Zusammenfassung Zusammenfassung Startecke für Transportproblem: Nordwesteckenregel und Minimale- Kosten-Regel Simplexvariante für Transportproblem: Stepping-Stone-Methode Effizienterer Algorithmus durch Einbeziehung der Dualität: u-v-methode Spezialfall: Zuordnungsproblem Operations Research II Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 84
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