Wintersemester 2004/ Januar Aus der Vorlesung sind Datenstrukturen zur Repräsentation von Wäldern disjunkter Mengen bekannt.

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1 Lehrstuhl für Praktische Informatik III Norman May B6, 29, Raum C Mannheim Telefon: (0621) Matthias Brantner B6, 29, Raum C Mannheim Telefon: (0621) Algorithmen und Datenstrukturen 11. svorschlag Wintersemester 2004/ Januar 2005 Aufgabe 1 8 Punkte Aus der Vorlesung sind Datenstrukturen zur Repräsentation von Wäldern disjunkter Mengen bekannt. Aufgabe 1 a) Implementieren Sie die Datenstruktur mit Union-by-Rank und Pfadkomprimierung als Optimierungsheuristiken unter Verwendung der Schnittstelle aus der Vorlesung. Benutze Knotenrepräsentation von Blatt 9. public class DisjointSet extends TreeNode { / create a node in the set / protected DisjointSet(Comparable x) { super(x, null, null, null); rank = 0; / the rank of this tree node in the set / protected int rank; / return the rank / final int getrank() { return rank; / set the rank / final void setrank(int r) { rank = r; TreeNode#toString / public String tostring() { return super.tostring() + ( + rank + ) ; 1

2 / create a singleton set containing x as representative / public static DisjointSet makeset(comparable x) { return new DisjointSet(x); / union two sets / public static DisjointSet union(disjointset x, DisjointSet y) { return link(findset(x ), findset(y)); / link two set nodes using their ranks / public static DisjointSet link( DisjointSet x, DisjointSet y) { if (x.getrank() > y.getrank()) { y.setparent(x); return x; else { x.setparent(y); if (x.getrank() == y.getrank()) { y.setrank(y.getrank() + 1); return y; / find the representative of a set node; do path compression / public static DisjointSet findset(disjointset x) { if (x!= x.getparent()) { x.setparent(disjointset. findset(( DisjointSet ) x.getparent ())); return (DisjointSet)x.getParent(); / testing... / public static void main(string[] args) { DisjointSet s1 = DisjointSet. makeset(new Integer(1)); DisjointSet s2 = DisjointSet. makeset(new Integer(2)); DisjointSet s3 = DisjointSet. makeset(new Integer(3)); DisjointSet s4 = DisjointSet. union(disjointset. union(s1, s2 ), s3); System.out.println( DisjointSet. findset(s4 )); Aufgabe 1 b) 3 Punkte Geben Sie eine Sequenz von MAKE-SET, UNION und FIND-SET Operationen an. Die Länge der Sequenz soll m und die Anzahl der MAKE-SET Operationen soll n = m/3 sein. Die benötigte Laufzeit der Sequenz soll, unter der Annahme daß nur Union-by-Rank als Optimierungsheuristik verwendet wird, Ω(m lg n) betragen. 2

3 1. Sequenz: (a) n MAKE-SET-Operationen zum Erzeugen von n einelementigen Mengen: (0.) {x 1, {x 2,..., {x n (b) n 1 UNION-Operationen zur Bildung eines Baums mit der Höhe lg n. Dabei werden Bäume mit gleicher Höhe verscholzen und x i bzw. x j in den Aufrufen von UNION sind die Repräsentanten der beiden Mengen in Union(x i, x j ): Union(x 1, x 2 ) Union(x 3, x 4 ). Union(x n 1, x n ) Union(x 2, x 4 ) Union(x 6, x 8 ). Union(x n 2, x n ). Union(x n/2, x n ) (1 Punkt) (c) n + 1 FIND-SET-Operationen auf dem tiefsten Element im Baum. (0.) 2. Aufwand der Sequenz: (1 Punkt) 2n 1 + (n + 1) lg n = Ω(m lg n) Aufgabe 2 Die Incidenz-Matrix eines gerichteten Graphen G = (V, E) ist eine V E -Matrix B = (b ij ) so daß: 1 wenn Kante j in Knoten beginnt b ij = 1 wenn Kante j in Knoten i endet 0 sonst Erläutern Sie die Einträge im Ergebnis des Matrix-Produkts B B T, wobei B T für die transponierte Matrix von B steht. 3

4 Die Diagonale im Matrix-Produkt stellt den Grad von allen Knoten des Graphen dar. Wenn P = B B T, dann steht an Stelle P ii die Anzahl der ein- und ausgehenden Kanten von Knoten i. Formal gilt: Dann gilt: E P ij = B ie Bej T e=1 1. Wenn i = j, dann ist B ie B T ej = 1, wenn Kante e in Knoten i beginnt oder endet, sonst Wenn i j, dann ist B ie B T ej = 1, wenn e = (i, j) oder e = (j, i), sonst 0. Daher gilt: P ij = { deg(i) = in-degree + out-degree wenn i = j ( Anzahl der Kanten, die Knoten i und j verbinden) wenn i j Aufgabe 3 4 Punkte Beschreiben Sie die Funktionsweise der Tiefensuche anhand des folgenden Graphen. q r s t u v w x y z Gehen Sie dabei davon aus, daß in den Zeilen 5-7 der DFS-Prozedur die Knoten entsprechend der alphabetischen Reihenfolge besucht werden und daß die Adjazenslisten alphabetisch sortiert sind. Geben Sie die Entdeckungszeit sowie die Endzeit für jeden Knoten an, sowie die Klassifizierung der Kanten. Die Beschriftungen von Knoten und Kanten entsprechen denen im Buch. 4

5 (1,16) q (2,7) s (8,15) t B (17,20) C r B (3,6) v F (9,12) x (18,19) u B (13,14) y C (4,5) w (10,11) z Punkteverteilung: je 2 Punkte für korrekte Beschriftung der Knoten bzw. der Kanten. Aufgabe 4 Ein ungerichteter Graph G = (V, E) ist bipartit, wenn V sich in zwei disjunkte Teilmengen V und V zerlegen läßt, so daß gilt: (u, v) E (u V v V ) (v V u V ) Geben Sie einen Algorithmus an, der überprüft, ob ein ungerichteter Graph bipartit ist. Idee: Zur Überprüfung werden während einer Breitensuche alle besuchten Kanten klassifiziert. Falls eine Kante mit zwei Knoten der gleichen Klasse auftaucht, ist der Graph nicht bipartit. Zur Speicherung der Klassifizierung wird das Array Class verwendet. BIPARTIT(G) do color[v] white do if Color[v] = white then Color[v] gray Enqueue(Q, v) Class[v] 0 while Q do u Head[Q] for each v Adj[u] do if Color[v] = white then Color[v] gray Class[v] 1 Class[u] 5

6 Enqueue(q, v) else if Class[v] = Class[u] then return false Dequeue(Q) return true Aufgabe 5 Aufgabe 5 a) 4 Punkte Eine Möglichkeit zur Durchführung einer topologischen Sortierung eines gerichteten, azyklischen Graphen G = (V, E) besteht darin, wiederholt die Knoten mit In-Grad 0 im Graphen zu suchen, auszugeben und samt den ausfallenden Kanten aus dem Graphen zu entfernen. Wie muß der entsprechende Algorithmus implementiert sein, damit er eine Laufzeit von O(V + E) hat? Idee: Verwenden einer Queue zum Speichern der Knoten mit In-Grad 0. Top-Sort(G) do In Deg[v] 0 for each u G[V ] do for each v Adj[u] In Deg[v] In Deg[v] + 1 do if In Deg[v] = 0 then Enqueue(Q, v) while Q do u Head[Q] for each v Adj[u] do In Deg[v] In Deg[v] 1 if In Deg = 0 then Enqueue(Q, v) P rint u Dequeue(Q) Aufgabe 5 b) 1 Punkte Wie reagiert der Algorithmus, falls der zu sortierende Graph zyklisch ist? 6

7 Sobald der gegebene Graph einen Zyklus enthält, existieren Knoten deren In-Grad niemals 0 wird. Somit stoppt der Algorithmus ohne die Knoten zu sortieren, die Teil eines Zyklus sind bzw. von einem Knoten erreicht werden, der Teil eines Zyklus ist. 7