4 Hyperbel. 4.1 Die Hyperbel als Kegelschnitt

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1 1 4 Hperel 4.1 Die Hperel ls Kegelschnitt Wird ein Kreiskegel mit dem hlen Öffnungswinkel α von einer Eene σ geschnitten, die mit der Kegelchse einen Wink β < α einschliesst, so entsteht ls Schnittkurve eine Hperel. Die eiden Dndelin-Kugeln erühren die Schnitteene in den Punkten F1 und F und den Kegel in den Berührkreisen k1 und k. In diesem Fll esteht die Schnittkurve us zwei so gennnten Ästen. Die Mntellinie durch einen elieigen Punkt P der Schnittkurve schneidet die Berührkreise in den Punkten P1 zw. P. Die whre Länge der Strecke P1P ezeichnen wir mit. Aus nlogen Üerlegungen wie ei der Ellipse gilt: kurz PF PF Definition: Eine Hperel ist der geometrische Ort der Punkte P, für welche der Betrg der Entfernungsdifferenz von zwei gegeen Punkten F1 und F einen festen Wert ht. Hperel 4..15/ul

2 4.. Leitliniendefinition In der Aildung mit den Dndelinkugeln knn die Höhe h uf zwei verschiedene Arten erechnet werden: Die Mntellinien schliessen mit der Kegelchse den Winkel α ein Wegen (Aschnitte uf den Kugeltngenten) folgt drus: cos cos D die Schnitteen mit der Kegelchse den Winkel β einschliesst gilt: cos Gleichsetzen ergit cos cos oder cos cos 1 denn wegen ist cos cos. Definition der Hperel (Leitliniendefinition): Gegeen sind ein Punkt F (Brennpunkt) und eine Gerde l (Leitgerde) und eine Zhl ε. Eine Hperel ist die Menge ller Punkte P. deren Astndsverhältnis von F und von l den konstnten Wert ε > 1 ht Aildung: Gegeen sind 1 und 8 Bezeichnungen: A1, A: Huptscheitel heisst reelle, imginäre Achse. Neenscheitel existieren nicht. c heisst linere Exzentrizität. Die sogennnte numerische c Exzentrizität ε ist ein Mss für die Form der Hperel. Zur Konstruktion: Schneide den Kreis um F1 mit Rdius mit dem Kreis um F mit Rdius 4.. Hperel 4..15/ul

3 3 4.3 Die Koordintengleichung der Hperel Ein elieiger Hperelpunkt P(x, ) erfüllt die Ortsedingung: PF PF zw. 1 r r1 ± oder r ± + r Nch Pthgors gilt: ( x ± c) r + 1, wird qudriert: r 4 ± r + r und mit r r 4cx r1 4 + r1 r 4 4cx m nch Division durch 4 und Vertuschen der eiden Seiten erhält mn cx m4r1 Qudrieren führt uf 4 cx + c x x cx + c + x cx + c + ( ) ( c ) x ( c ) Setzt mn schliesslich c 4.3. so erhält mn x und nch Division durch x 1 Koordintengleichung der Hperel mit dem Mittelpunkt M(, ) und den Brennpunkten F1(-c, ) und F(c, ) und der grosse Hlchse Im Fll heisst die Hperel gleichseitig. In diesem Fll stehen die Asmptoten ufeinnder senkrecht. Hperel 4..15/ul

4 4 4.4 Asmptoten der Hperel Für wchsende Beträge von x nähern sich die Äste der Hperel immer mehr den Gerden mit den Gleichungen ± x Diese Gerden heissen Asmptoten der Hperel. Begründung: Ist," # ein elieiger Hperelpunkt im 1. Qudrnten und $," % ' der & entsprechende Punkt der Asmptoten, dnn gilt er nch wegen x x 1 lso dei ist der erste Summnd gerde gleich dem Qudrt der -Koordinte 1 des Asmptotenpunkts. Für die Differenz der Qudrte gilt lso 1 oder nch Division durch 1 " " ( " " D für x uch " " gegen stret, ht " " für x den Grenzwert, worus die Asmptoteneigenschft folgt. Aus Smmetriegründen gilt sie in llen vier Qudrnten. Üungsufge: Es ist zu zeigen, dss die Ursprungsgerde mx die Hperel in Normllge in den Punkten ( -( ), *, ± ( -,", ± ( -. schneidet. D ( - gelten muss folgt, dss Schnittpunkte nur für - % & vorliegen. Dmit sind die Steigungen der Asmptoten erneut zu erkennen. Üungsufgen: Bestimme die Gleichung der Hperel in Normllge mit den folgenden Angen: ) wenn der Brennpunkt F(8, ) und die grosse Hlchse 6 gegeen sind ) gleichseitige Hperel mit 7. c) wenn zwei Hperelpunkte P(4, ) und Q(5, 3) gegeen sind Hperel 4..15/ul

5 5 4.5 Tngenten n eine Hperel Es gelten die folgenden Sätze (ohne Beweis) Stz 1: Die Tngente t n eine Hperel im Punkt P hliert den Winkel zwischen den Brennstrhlen PF1 und PF. Folgerung: Alle Strhlen, die von F1 usgehen, verlufen nch der Spiegelung n der Hperel so, ls kämen sie von F. Stz : x Die Gleichung der Tngente n die Hperel mit der Gleichung 1 Punkt P(x, ) lutet x x 1 im Bemerkung: Die Tngente knn ufwändig uch mit der Diskriminntenmethode estimmt werden. Stz 3: Die Gerde mit der Gleichung mx + q ist Tngente n die Hperel wenn gilt: m q Definition: Ellipsen und Hpereln mit gemeinsmen Brennpunkten heissen konfokl. Stz 4: Eine Ellipse und eine konfokle Hperel schneiden sich rechtwinklig. Hperel 4..15/ul

6 6 4.6 Beispiele von Hpereln Befindet sich in einem Brennpunkt einer Hperel eine Lichtquelle, so werden die von ihr usgehenden Lichtstrhlen so n der Hperel reflektiert, dss sie lle vom ndern Brennpunkt uszugehen scheinen. (nch 4.5 Folgerung Stz 1) 4.6. An einem gespitzten Bleistift treten Hpereln uf Peilung: Von einem uneknntem Beenzentrum P geht eine Druckwelle us und erreicht vier Messstellen Fi zu verschiedenen Zeitpunkten ti nch Entstehen der Welle. Aus den Zeitdifferenzen können ei eknnter Geschwindigkeit v der Welle die Wegdifferenzen erechnet werden. P liegt einerseits uf der Hperel mit den Brennpunkten F1 und F und v t1 t und ndrerseits uf der Hperel mit den Brennpunkten F3 und F4 und v t3 t 4. P ist lso einer der mximl vier Schnittpunkte der eiden Hpereln. Wo ds gesuchte Zentrum liegt, verrät normlerweise eine Gropeilung Sich üerlgernde Kreiswellen: Zwei punktförmige Erreger F1 und F uf der Wsseroerfläche verurschen sich üerlgernde Kreiswellen. In der Momentufnhme sind Wellenerge dick, Wellentäler dünn usgezogen. Es git Zonen reltiver Ruhe uf dem Wsser und zwr ei Punkten für die der Gngunterschied PF1 PF ein ungerdes Vielfches der hlen Wellenlänge λ/ ist. Sie liegen uf Hpereln mit den Brennpunkten F1 und F. Hperel 4..15/ul

7 7 Üungsufge: n einer genu von Westen nch Osten lufenden Küste hört mn in B us nördlicher Richtung eine Dmpfsirene 7. Sekunden später ls im 4 km östlich gelegenen Ort A, er 7. Sekunden früher ls im 3 km westlicher gelegenen Ort C (Schllgeschwindigkeit v 333 m/s. Berechne und konstruiere den Stndort des Dmpfers. 5. Gleichung der Kegelschnitte ei einer Prllelverschieung? Regel: Verschiet mn eine Kurve um x Einheiten in x-richtung und um Einheiten in - Richtung, so erhält mn die Gleichung der verschoenen Kurve, indem mn x durch x x und durch - ersetzt. Kegelschnitt Normllge Gleichung der verschoenen Kurve Mittelpunkt/Scheitel M(x, ) Ellipse + 1 Prel px Hperel 1 x ( ) x x ( ) + p x x ( ) ( ) x ( ) x x ( ) 1 1 Aufge: Bestimme Tp und wesentliche Prmeter der folgenden Kegelschnitte: ( x 3) ( + 1) ) x 3 1x Hperel 9 6 ) 4x 3 16x # 3" 3# Gerden c) 16x x d) + 4 8x + 36 ( x + ) ( 3) ( ) ( ) Allgemein gilt: + 1 Ellipse x 1 Prel Stz: Die Gleichung. Grdes Ax + Bx + C + Dx + E + F stellt is uf Ausnhmefälle einen Kegelschnitt dr. (Näheres dzu Linere Alger: Huptchsentrnsformtion). Hperel 4..15/ul