Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Transkript

1 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Übung 7 1

2 Inhalt der heutigen Übung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorrechnen der Hausübung D.9 Gemeinsames Lösen der Übungsaufgaben D.10: Poissonprozess D.11: Wiederkehrperiode D.12: Extremwertverteilung Vorstellen der Hausübung D.13 2

3 Zufallsprozesse Für viele Ingenieurfragen müssen wir die zufälligen Schwankungen über die Zeit spezifischer erfassen können: Hochwasserereignis (diskret) Diskreter Zufallsprozess: Das zufällige Eintreten von Ereignissen zu diskreten Zeitpunkten (Unfälle, Steinschlag, Erdbeben, Stau, Versagen, usw.) Poissonprozess, Exponentialverteilung, Gammaverteilung Kontinuierlicher Zufallsprozess: Die zufälligen Ausprägungen von Ereignissen, welche kontinuierlich über die Zeit eintreten (Winddruck, Wellendruck, Temperaturen, usw.) (Normalprozess) Belastungsschwankungen aufgrund Wellen (kontinuierlich) 3

4 Stationarität Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 4

5 Ergodizität Beispiel für einen ergodischen Prozess a) 1000 Würfe mit einem Würfel b) Ein Wurf mit 1000 Würfeln Die Verteilung der Zahlen 1 bis 6 ist in beiden Fällen gleich! Aus einer ausreichend langen Zeitreihe lassen sich die Eigenschaften des Zufallsprozesses herleiten Die gleichen Eigenschaften können auch aus den Realisationen vieler Prozesse zum gleichen Zeitpunkt bestimmt werden 5

6 Poissonprozess Der Poissonprozess beschreibt eine zufällige Abfolge von diskreten Ereignissen. Er unterliegt folgenden Annahmen: Hochwasserereignis (diskret) 1. Die Wahrscheinlichkeit von zwei oder mehr Ereignissen in einem kleinen Zeitintervall sind vernachlässigbar klein. 2. Die auftretenden Ereignisse sind voneinander unabhängig. Anzahl Ereignisse in einem bestimmen Zeitintervall: Poissonverteilung Wartezeit zwischen zwei oder mehr Ereignissen: Exponentialverteilung, Gammaverteilung 6

7 Poissonprozess Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Poissonverteilung Pn t () t = Intensität (mittlere Anzahl Ereignisse pro Zeiteinheit t) n = Anzahl Ereignisse t = Zeitintervall [0;t[ u = Mittlere Anzahl Ereignisse in einem Zeitintervall t Homogener Poissonprozess () t konstant Nt () () t n u Pn t e n! u () t t u E Nt () u () tt Var N() t u () t t Inhomogener Poissonprozess () t nicht konstant Nt () P t n t u ( ) d 0 n u e n! u E Nt () u ( ) d Var N() t u ( ) d t 0 t 0 7

8 Poissonprozess Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeit von keinem Ereignis in einem gegebenen 0 Zeitintervall t : u P0 t expuexpu 0! Homogener Poissonprozess P0 t exp tt t Inhomogener Poissonprozess P0 t exp ( ) d 0 Die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der (Warte )Zeit bis zum ersten Ereignis T 1 Homogener Poissonprozess Inhomogener Poissonprozess F ( t ) 1 P( t ) 1exp( u) T T1 1 1 t F ( t ) 1exp( ( ) d ) T F ( t ) 1exp( t t ) Exponentialverteilung! 0 8

9 Aufgabe D.10 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung a) Das Auftreten von Regenereignissen in einem Gebiet innerhalb eines Jahres wird durch einen homogenen Poissonprozess mit der Intensität () t (mittlere Anzahl von Regenereignissen pro Zeiteinheit t) angegeben, wobei t in Monaten gemessen wird und im Intervall [0,12] definiert ist. () t 2 P () t n n u e n! u Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass im Zeitintervall vom 3. bis und mit 5. Monat kein Regenereignis genau ein Regenereignis stattfindet. Es wird angenommen, dass die Regenereignisse einem homogenen Poissonprozess mit der Intensität () t 2folgen. 9

10 Aufgabe D.10 a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass im Zeitintervall vom 3. bis und mit 5. Monat ( also in einem Zeitraum t = 3 Monate) kein Regenereignis genau ein Regenereignis stattfindet. Es wird angenommen, dass die Regenereignisse einem homogenen Poissonprozess mit der Intensität () t 2folgen. () t 2 P () t kein Regenereignis P t u 6 P e 0 e u u () t t 23 6 n u e n! 0 3 e n u genau ein Regenereignis 1 () u Pt 1 1! u e 6 P e e 1! (3)

11 Aufgabe D.10 b) Das Auftreten von Regenereignissen in einem Gebiet innerhalb eines Jahres wird nun durch einen inhomogenen Poissonprozess mit der Intensität ( ) angegeben, wobei in Monaten gemessen wird und im Intervall [0,12] definiert ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten fünf Monaten des Jahres drei oder mehr Regenereignisse eintreten. 2 für ( ) 2 für 3 < 6 12 für 6 < 12 3 Unterschied zum homogenen Poissonprozess: Beim inhomogenen Poissonprozess variiert die Intensität mit der Zeit. 11

12 Aufgabe D.10 Intensität () (Mittlere Anzahl Ereignisse pro Zeiteinheit) 2 für ( ) 2 für 3 < 6 12 für 6 < 12 3 Der Poisson Parameter u für ein Zeitintervall [a, b] berechnet sich wie folgt: u b a ( ) d Mittlere Anzahl Ereignisse in [a, b] Daraus ergibt sich die Verteilung für die Anzahl Ereignisse n im betrachteten Zeitintervall [a, b]: n u Pn ([ a, b]) e n! u 12

13 Aufgabe D.10 b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten fünf Monaten des Jahres drei oder mehr Regenereignisse eintreten. 2 für ( ) 2 für 3 < 6 12 für 6 < 12 3 Vorgehen: Zufallsvariable N = Anzahl Regenereignisse in den ersten fünf Monaten Ermittle den Parameter u des Poissonprozesses Berechne die Wahrscheinlichkeit: n3 n P (5) 1 P(5) P(5) P(5) P () t n n u n! e u 13

14 Aufgabe D.10 b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten fünf Monaten des Jahres drei oder mehr Regenereignisse eintreten. 2 für ( ) 2 für 3 < 6 12 für 6 < 12 3 Bestimmung des Poisson Parameters 3 5 u ( ) d ( ) d d 2d u 3 u b a ( ) d 14

15 Aufgabe D.10 b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten fünf Monaten des Jahres drei oder mehr Regenereignisse eintreten. 2 für ( ) 2 für 3 < 6 12 für 6 < 12 3 n3 Berechne die Wahrscheinlichkeit: n P (5) 1 P(5) P(5) P(5) n 0 u u P0 (5) e e e n! 0! n 1 u u P1 (5) e e 7e n! 1! n 2 u u P2 (5) e e e n! 2! 2 P () t n n u u e u 7 n! 15

16 Aufgabe D.10 c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von nicht mehr als einem Regenereignis jeweils während der zwei 3 monatigen Zeitintervallen vom 7. bis 9. Monat und vom 10. bis 12. Monat? Ereignis A repräsentiert das Eintreten von nicht mehr als einem Regenereignis in den Monaten 7,8 und 9. Ereignis B repräsentiert das Eintreten von nicht mehr als einem Regenereignis in den Monaten 10, 11 und 12. P[ A B] P( A) P( B) A und B unabhängig! 16

17 Aufgabe D.10 Als Mittelwert des Poissonprozesses ergeben sich für die beiden Intervalle in denen die Ereignisse unabhängig sind: 2 für ( ) 2 für 3 < 6 12 für 6 < 12 3 u u d d

18 Aufgabe D.10 c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von nicht mehr als einem Regenereignis jeweils während der zwei 3 monatigen Zeitintervalle vom 7. bis 9. Monat und vom 10 bis 12 Monat PA ( ) e e ! 1! PB ( ) e e ! 1! PA ( B)

19 Quelle: 19

20 Aufgabe D.11 Eine Erdbebengefahrenkarte repräsentiert die Bodenbeschleunigung (m/s 2 ) für eine mittlere Wiederkehrperiode von 475 Jahren. 1 Erdbebengefährdung der Schweiz: Horizontale Bodenbeschleunigung (m/s 2 ), 10% Überschreitungswahrscheinlichkeit in 50 Jahren 20

21 Aufgabe D.11 Eine Erdbebengefahrenkarte repräsentiert die Bodenbeschleunigung (m/s 2 ) für eine mittlere Wiederkehrperiode von 475 Jahren. a) Zeigen Sie, dass die Wiederkehrperiode von 475 Jahren einer Überschreitungswahrscheinlichkeit von 0.1 in 50 Jahren entspricht. b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Beben mit einer Wiederkehrperiode von 475 Jahren tatsächlich innerhalb der 475 Jahre auftritt? Es wird angenommen, dass das Auftreten der Erdbeben einem homogenen Poissonprozess folgt. Erdbebengefährdung der Schweiz: Horizontale Bodenbeschleunigung (m/s 2 ), 10% Überschreitungswahrscheinlichkeit in 50 Jahren 21

22 Aufgabe D.11 a) Bestätige diese Beziehung: Ereignis mit einer Wiederkehrperiode von 475 Jahren = Ereignis mit einer Überschreitungswahrscheinlichkeit von 0.1 in 50 Jahren Wiederkehrperiode T R = 475 Jahre Jährliche Überschreitungswahrscheinlichkeit: p 1 1 T 475 R Durchschnittliche Wartezeit bis zu einem Ereignis: 1 1 ET [ ] 475 p Die Zeit zwischen Ereignissen des homogenen Poissonprozessen ist exponentialverteilt. 22

23 Aufgabe D.11 a) Bestätige diese Beziehung: Ereignis mit einer Wiederkehrperiode von 475 Jahren = Ereignis mit einer Überschreitungswahrscheinlichkeit von 0.1 in 50 Jahren. Der Erwartungswert einer exponentialverteilten Zufallsvariable T ist gegeben als: ET [ ] = 1 () t = 475 () t = 1 ET [ ] = 1 T = 1 R 475 Die Wahrscheinlichkeit P (T 50), dass ein Ereignis in 50 Jahren überschritten wird, kann folgendermassen berechnet werden: (Skript Gleichung D.65) t t P T 50 Jahre 1e 1e

24 Aufgabe D.11 b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erdbeben mit einer Wiederkehrperiode von 475 Jahren in den nächsten 475 Jahren auftritt? Die Wahrscheinlichkeit P (T 475), dass ein Ereignis innerhalb eines Zeitraums von 475 Jahren auftritt (überschritten wird), kann folgendermassen berechnet werden: t PT475 Jahre 1e 1e 1e

25 Aufgabe D.12 Es wird angenommen, dass der jährliche maximale Abfluss X eines bestimmten Flusses einer Gumbel max Verteilung mit dem Mittelwert = m 3 X /s und der Standardabweichung =3 000 m 3 /s folgt. X 25

26 Aufgabe D.12 Es wird angenommen, dass der jährliche maximale Abfluss X eines bestimmten Flusses einer Gumbel max Verteilung mit dem Mittelwert = m 3 X /s und der Standardabweichung =3 000 m 3 /s folgt. X a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der jährliche maximale Abfluss m 3 /s übersteigt. b) Wie gross ist der jährliche maximale Abfluss, welcher einer Wiederkehrperiode von 100 Jahren entspricht? c) Finde die kumulative Verteilungsfunktion, welche den jährlichen maximalen Abfluss des Flusses über einen Zeitraum von 20 Jahren beschreibt. Es wird angenommen, dass die jährlichen Maxima unabhängige Zufallsvariablen sind. d) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 20 jährige maximale Abfluss m 3 /s überschreitet? 26

27 Aufgabe D.12 Es wird angenommen, dass der jährliche maximale Abfluss X eines bestimmten Flusses einer Gumbel max Verteilung mit dem Mittelwert = m 3 X /s und der Standardabweichung =3 000 m 3 /s folgt. X Hinweis: Die Gumbel max Verteilungsfunktion hat folgende Form: x F ( x) exp exp ( xu) X X X u 6 u X X Mittelwert Standardabweichung Parameter der Verteilung Parameter der Verteilung (Skript Tabelle D.2) 27

28 Aufgabe D.12 a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der jährliche maximale Abfluss m 3 /s übersteigt. F ( x) exp exp ( xu) X P[ jährliches Max 15'000] 1F 15'000 1e X e 15'000u X X Parameter u und α ermitteln: u '000 6 x u x 10'000 8'

29 Aufgabe D.12 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung u 8' a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der jährliche maximale Abfluss m 3 /s übersteigt. 4 1F 15'000 1e X e 15'000u '0008' e 1e 1e e Die Wahrscheinlichkeit, dass die jährliche maximale Überschwemmung m 3 /s überschreitet, beträgt

30 Aufgabe D.12 b) Wie gross ist der jährliche maximale Abfluss, welcher einer Wiederkehrperiode von 100 Jahren entspricht? Wiederkehrperiode = 100 Jahre jährliche Überschreitungswahrscheinlichkeit: p 1 1 T P[ jährliches Max x] 1 P( X x) FX x 1 1 FX x

31 . Aufgabe D.12 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung b) Wie gross ist der jährliche maximale Abfluss, welcher einer Wiederkehrperiode von 100 Jahren entspricht? u 8' xu e 1 FX xe ln ln 0.99 ln ln 0.99 xu u x ln ln x 10' ' x x 19' Die Überschwemmung, welche einer Wiederkehrperiode von 100 Jahren entspricht, ist m 3 /s. 4 31

32 Aufgabe D.12 c) Finde die kumulative Verteilungsfunktion, welche den jährlichen maximalen Abfluss des Flusses über einen Zeitraum von 20 Jahren beschreibt. Es wird angenommen, dass die jährlichen Maxima unabhängige Zufallsvariablen sind. 32

33 Extremwertverteilungen Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wenn die Extremwerte innerhalb einer Periode T eines ergodischen Zufallsprozesses X(t) unabhängig sind und der Verteilung max F X T, ( x) folgen, dann werden die Extremwerte des gleichen Prozesses innerhalb der Periode nt folgender Verteilung folgen: max max F, (), () n XnT x FXT x Skript, Gleichung D.78 33

34 Aufgabe D.12 c) Finde die kumulative Verteilungsfunktion, welche den jährlichen maximalen Abfluss des Flusses über einen Zeitraum von 20 Jahren beschreibt. Es wird angenommen, dass die jährlichen Maxima unabhängige Zufallsvariablen sind. Für unabhängige Zufallsvariablen ist die kumulative Verteilungsfunktion der grössten Extremwerte innerhalb eines Zeitintervalls nt gegeben als: max max F, ( ), ( ) n XnT x FXT x Skript, Gleichung D.78 Für das 20jährige Abfluss Maximum (y) mit n=20 bedeutet dies: 20 x u 20 e 20e F Y y P Y y FX x e e x u 34

35 Aufgabe D u 8' d) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 20 jährige maximale Abfluss m 3 /s überschreitet? '0008' e FY e e ' x u 20 e 20e F X x e e x u Die Wahrscheinlichkeit, dass die 20 jährige maximale Überschwemmung m 3 /s überschreitet, beträgt

36 Hausübung D.13 Der Verkehr auf einer Hauptstrasse kann als homogener Poissonprozess modelliert werden. Die Intensität 5 gibt dabei an, wie viele Fahrzeuge pro Minute an einem bestimmten Punkt vorbeikommen. a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zeitliche Abstand zwischen zwei beliebigen Fahrzeugen ( x i in der Grafik) kleiner/gleich 10 Sekunden ist. Tipp: X i ist die Wartezeit bis zum nächsten Ereignis Exponentialverteilung 36

37 Hausübung D.13 b) Ein Autofahrer möchte von einer Nebenstrasse in die Hauptstrasse einbiegen (siehe Grafik). Damit dies möglich ist, benötigt er eine Lücke von mehr als 10 Sekunden zwischen zwei Fahrzeugen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Fahrzeuge auf der Hauptstrasse vorbeifahren, ohne dass eine Möglichkeit zur Auffahrt besteht? Tipp: Die einzelnen Abstände sind voneinander unabhängig! P X 10 X X 10? c) Bestimme die Verteilung des maximalen Abstandes zum vorherigen Fahrzeug x i in einer Kolonne von 5 oder 10 Fahrzeugen. Stelle die zwei Dichtefunktionen in einer gemeinsamen Grafik dar Tipp: Bestimme zunächst die kumulativen Verteilungsfunktionen! 37