Marie Kilders. Grundwissen Klasse 5

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1 Grundwissen Klasse 5 1

2 Inhaltsverzeichnis 1. Natürliche und ganze Zahlen Dezimalsystem (Zehnersystem) Rechnen mit natürlichen Zahlen Diagramme Primfaktorzerlegung und Potenzen Rechnen mit ganzen Zahlen Rechengesetze Baumdiagramme und Zählprinzip Geometrische Grundbegriffe Umfang, Flächeninhalt und Oberflächeninhalt Größen Maßstab Literaturverzeichnis

3 1. Natürliche und ganze Zahlen = 1; 2; 3; 4; 5;... Menge der natürlichen Zahlen 0 = 0; 1; 2; 3; 4; 5;... Menge der natürlichen Zahlen mit Null Z =...; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1; 2 ; 3;... Menge der ganzen Zahlen Jede Menge besteht aus Elementen, z.b.: 1 ; -3 Z; -3 Man schreibt: 1 und sagt: 1 ist Element der Menge. Die Menge der natürlichen Zahlen ist in der Menge der ganzen Zahlen enthalten: Z, d.h. ist Teilmenge von Z Z (Graphik selbst erstellt) Natürliche und ganze Zahlen können auch auf einer Zahlengeraden dargestellt werden: (Graphik selbst erstellt) Eine Zahl, die weiter links von einer anderen Zahl liegt, ist die kleinere der beiden Zahlen. Beispiel: -3-1 ; -1 0 ; 1 4 3

4 1.1 Dezimalsystem (Zehnersystem) In unserem Zahlensystem können alle Zahlen mit Hilfe der Ziffern 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 dargestellt werden, es heißt Dezimalsystem (=Zehnersystem). Zahlen können in einer Stellenwerttafel eingetragen werden: (Quelle: = Die Zahlen 1; 10; 100; 1000; 10000;... heißen Stufenzahlen. 4

5 1.2 Rechnen mit natürlichen Zahlen Addieren: Subtrahieren: Ergänzungsverfahren: Abziehverfahren: Abziehverfahren (neu): 5

6 Multiplizieren: Dividieren: Die vier Grundrechenarten und ihre Fachbegriffe: Rechenart Rechnung Termname 1. Zahl 2. Zahl Addition Summe 1. Summand 2. Summand Subtraktion 12-3 Differenz Minuend Subtrahend Multiplikation 12 3 Produkt 1. Faktor 2. Faktor Division 12 : 3 Quotient Dividend Divisor ACHTUNG: durch 0 darf nicht dividiert werden! Runden von Zahlen Beim Runden von Zahlen gelten folgende Regeln: Beim Runden auf Zehner, Hunderter, Tausender... betrachtet man die rechts von dieser Stelle stehende Ziffer. Ist diese Ziffer eine 0; 1; 2; 3; oder 4, so wird abgerundet. Ist diese Ziffer eine 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird aufgerundet. Statt des Gleichheitszeichens (=) verwendet man das Zeichen (sprich: ist ungefähr gleich). Beispiel: Runde 6374 auf Zehner: (4 bedeutet abrunden) Runde 6374 auf Hunderter: (7 bedeutet aufrunden) 6

7 Überschlag Mit einer Überschlagsrechnung kann man Rechenergebnisse ungefähr bestimmen und somit überprüfen, ob das genaue Ergebnis einer Rechnung richtig sein kann. Für eine Überschlagsrechnung benutzt man gerundete Zahlen. Beispiel: = 2432 Überschlag: = = 4061 Überschlag: =

8 1.3 Diagramme Sachverhalte lassen sich oft durch Diagramme veranschaulichen. Es gibt Säulendiagramme, Balkendiagramme, Kreisdiagramme. Beispiel Säulendiagramm: (Quelle: Balkendiagramm: Kreisdiagramm: (Quelle: (Quelle: 09%202010/Klasse%205b.gif) 8

9 Figurendiagramm: Kurvendiagramm: Anzahl der gewonnen Spiele der letzten 10 Spieltage (Quelle: armania1.gif) (Quelle: image_thumb jpg) 9

10 1.4 Primfaktorzerlegung und Potenzen Primzahlen Eine Primzahl ist eine Zahl, die durch keine andere Zahl außer durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Die Zahl 1 selbst ist keine Primzahl. Die ersten Primzahlen lauten: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; Jede natürliche Zahl kann man in Faktoren (vgl. S. 5) zerlegen. Kommen in der Zerlegung nur Primzahlen vor, so nennt man diese Zerlegung Primfaktorzerlegung. Beispiel: 90 = Potenzieren Man potenziert eine Zahl, indem man sie mehrfach mit sich selber multipliziert: a a a a = a 4 Dabei ist a die Grundzahl (Basis) und 4 die Hochzahl (Exponent). Beispiel: = 2 4 Der Exponent gibt dabei an, wie oft die Basis mit sich selber multipliziert wird. Auch die Stufenzahlen lassen sich auf diese Weise kürzer schreiben: 100 = = = = 10 3 Diese Zahlen heißen Zehnerpotenzen = =

11 1.5 Rechnen mit ganzen Zahlen Betrag einer Zahl Anschaulich versteht man unter dem Betrag einer Zahl den Abstand der Zahl zur Null auf der Zahlengerade. geschrieben: a gesprochen: Betrag von a 3 und -3 nennt man auch Zahl und Gegenzahl. Sie haben auf der Zahlengeraden den gleichen Abstand zur Null, und somit den gleichen Betrag. (Quelle: -3 = 3 = 3 Addition: Man addiert zwei ganze Zahlen mit gleichem Vorzeichen, indem man ihre Beträge addiert. Das Ergebnis erhält das gemeinsame Vorzeichen. Beispiel: (+23) + (+37) = +60 ( 23) + ( 37) = 60 Man addiert zwei ganze Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, indem man den kleineren Betrag vom größeren subtrahiert. Das Ergebnis erhält das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag. Beispiel: (+23) + ( 37) = ( ) = (37 23) = 14, denn: ( 23) + (+37) = + ( ) = + (37 23) = +14, denn:

12 Subtraktion: Man subtrahiert eine ganze Zahl, indem man ihre Gegenzahl addiert. Beispiel: (+23) (+37) = (+23) + ( 37) = = 14 (+23) ( 37) = (+23) + (+37) = 50 ( 23) ( 37) = ( 23) + (+37) = 14 Multiplikation und Division: Zwei ganze Zahlen werden multipliziert bzw. dividiert, indem man ihre Beträge multipliziert bzw. dividiert. Anschließend erhält das Ergebnis als Vorzeichen ein Pluszeichen, falls beide Zahlen das gleiche Vorzeichen haben Beispiel: (+3) (+4) = (+12) Merke: "Plus mal plus ergibt plus" (-3) (-4) = (+12) Merke: "Minus mal minus ergibt plus" (+12) : (+4) = (+3) Merke: "Plus geteilt durch plus ergibt plus" (-12) : (-4) = (+3) Merke: "Minus geteilt durch minus ergibt plus" Minuszeichen, falls beide Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben Beispiel: (+3) ( 4) = ( 12) Merke: "Plus mal minus ergibt minus" ( 3) (+4) = ( 12) (+12) : ( 4) = ( 3) Merke: "Plus geteilt durch minus ergibt minus" ( 12) : (+4) = ( 3) Verbindung der vier Grundrechenarten: Klammern werden immer als erstes beachtet. Bei mehreren Klammern diese von innen nach außen auflösen. Potenz vor Punkt vor Strich Kommt in einer Aufgabe nur Punktrechnung oder nur Strichrechnung vor, so rechnet man von links nach rechts Die zuletzt ausgeführte Rechenart legt fest, ob der Term eine Summe, Differenz, Produkt oder ein Quotient ist 12

13 1.6 Rechengesetze Wie in Distributivgesetz. gelten auch in Z das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz ( = Vertauschungsgesetz) der Addition: a + b = b + a der Multiplikation: a b = b a = = 4 8 Assoziativgesetz ( = Verbindungsgesetz) der Addition: der Multiplikation: (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) (8 + 4) + 2 = 8 + (4 + 2) (8 4) 2 = 8 (4 2) 13

14 Distributivgesetz der Multiplikation ( = Verteilungsgesetz) (a + b) c = a c + b c (a b) c = a c a c (8 + 4) 2 = (8 4) 2 = a c + b c = (a + b) c a c a c = (a b) c = (8 + 4) = (8 4) 2 Distributivgesetz der Division ( = Verteilungsgesetz) (a + b) : c = a : c + b : c (a b) : c = a : c a : c (8 + 4) : 2 = 8 : : 2 (8 4) : 2 = 8 : 2 4 : 2 a : c + b : c = (a + b) : c a : c a : c = (a b) : c 8 : : 2 = (8 + 4) : 2 8 : 2 4 : 2 = (8 4) : 2 ACHTUNG: Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten auch in Z NICHT für die Subtraktion und Division! 14

15 2. Baumdiagramme und Zählprinzip In Situationen oder Vorgängen, bei denen man zwischen mehreren Dingen auswählen und diese miteinander kombinieren kann, ist es hilfreich, die verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten in einem Baumdiagramm darzustellen. Nach dem Zählprinzip ergibt sich die Gesamtzahl der Möglichkeiten, indem man die Anzahl der Möglichkeiten der einzelnen Stufen miteinander multipliziert. Dieses Produkt entspricht auch der Anzahl der Baumenden. Beispiel: Wähle je ein Kleidungsstück aus zwei Hosen, drei T-Shirts und zwei Paar Strümpfen aus! O H1 H2 T1 T2 T3 T1 T2 T3 S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 (Graphik selbst erstellt) Zuerst hat man zwei Möglichkeiten, eine Hose zu wählen. Anschließend gibt es drei Möglichkeiten, ein T-Shirt zu wählen und zum Schluss hat man zwei Möglichkeiten, ein Paar Socken auszuwählen. Damit ergeben sich nach dem Zählprinzip insgesamt = 12 Möglichkeiten. 15

16 3. Geometrische Grundbegriffe Geometrische Grundkörper Würfel Quader dreiseitiges sechsseitiges Prisma Prisma vierseitige dreiseitige Zylinder Kegel Pyramide Pyramide Kugel Quellen: Würfel: Schr%C3%A4gbild_eines_W%C3%BCrfels.svg.png Quader: dreiseitiges Prisma: sechsseitiges Prisma: vierseitige Pyramide: dreiseitige Pyramide: Zylinder: upload.wikimedia.org/wikipedia/de/1/14/schrägbild_zylinder.png Kegel: Kugel: 16

17 Besondere Figuren Quadrat Rechteck Parallelogramm durch Raute Jeder Kreis ist durch einen Mittelpunkt M und seinen Radius r eindeutig festgelegt. Quellen: Quadrat: Rechteck: Parallelogramm: Raute: Kreis: 17

18 B Marie Kilders Strecken, Geraden, Winkel A a B A a B A a B Strecke a oder [AB] Halbgerade h oder [AB Gerade a oder AB a b a b a parallel zu b oder a b a senkrecht zu b oder a b A zweiter Schenkel A erster Schenkel S Scheitel Scheitel erster Schenkel S Scheitel zweiter Schenkel B Winkel = BSA Winkel = ASB S S S α 18

19 Nullwinkel spitzer Winkel rechter Winkel stumpfer Winkel = = α α S α gestreckter Winkel überstumpfer Winkel Vollwinkel = = Symmetrie Die Figur ist achsensymmetrisch. Der Bildpunkt Aˡ hat denselben Abstand zur der Symmetrieachse wie der Punkt A. Die Strecke [A Aˡ ] ist senkrecht zur Symmetrieachse. Symmetrieachse (Quelle: 19

20 Koordinatensystem Ein Koordinatensystem besteht aus zwei zueinander senkrechten Achsen, der x-achse und der y-achse. Es ist in vier Quadranten eingeteilt. Der Schnittpunkt der Achsen heißt Ursprung. Jeder Punkt P (x y) ist durch seine Koordinaten festgelegt: P (5 3) Dabei ist 5 die x-koordinate und 3 die y-koordinate P (5/3) Q (-4/2)

21 3.1 Umfang, Flächeninhalt und Oberflächeninhalt U R = 2 l + 2 b U Q = 4 a b A R = l b a A Q = a a = a 2 l a (Graphik selbst erstellt) Der Umfang U R des Rechtecks berechnet sich aus der Summe der einzelnen Seiten: U R = 2 l+2 b. Der Flächeninhalt A R berechnet sich, indem man Länge l mal Breite b nimmt: A R =l b. Für das Quadrat ergibt sich damit speziell: U Q = 4 a und A Q = a 2 Flächeneinheiten: (Quelle: a = Ar, ha = Hektar Die Umrechnungszahl für alle Flächeneinheiten ist

22 Netz eines Körpers Das Netz eines Körpers erhält man, indem man den geometrischen Körper aufschneidet und alle Begrenzungsflächen aufklappt. So erhält man ein Netz (sieht aus wie eine Bauanleitung). Netz eines Quaders: Netz eines Würfels: (Quelle: (Quelle: Oberflächen: Der Oberflächeninhalt O eines Quaders errechnet sich durch die Summe der einzelnen Flächeninhalte des Netzes: O = 2 a b + 2 a c + 2 b c = 2 (a b + a c + b c) Für den Würfel gilt entsprechend: O = 6 a a = 6 a 2 (Quelle: 22

23 3.2 Größen Längen: (Quelle: Masse/Gewichte: (Quelle: Geld: (Quelle: Zeit: (Quelle: 23

24 3.3 Maßstab Beispiel 1: Die Angabe Maßstab 1: auf einer Landkarte bedeutet: 1: bedeutet, dass alles mal so lang ist. Anders ausgedrückt: 1cm auf der Karte entspricht also cm in der Wirklichkeit Maßstab 1: cm auf der Karte cm in Wirklichkeit 11cm? 11cm = cm = 33km (in Wirklichkeit) (Grafik selbst erstellt) Beispiel 2: Der Stuhl ist in Wirklichkeit 1m (=100cm) hoch. Die Sitzfläche ist 50cm vom Boden entfernt. Maßstab 1:20: 100cm : 20 = 5cm (100cm in Wirklichkeit 5cm auf dem Papier) 50cm: 20 = 2,5cm (50cm in Wirklichkeit 2,5cm auf dem Papier) --> Also: Gezeichnet wird der Stuhl mit einer Höhe von 5cm. Die Sitzfläche ist 2,5cm hoch. 24

25 4. Literaturverzeichnis Brunnermeier, A., Herz, A.,Kammermeyer, F., Kilian, H.,Sauer, J. & Zechel, J. (2008). Fokus Mathematik 5. Berlin: Cornelsen. Schmid, A. & Weidig, I. (2003). Lambacher Schweizer Mathematik 5. Stuttgart: Ernst Klett. 25

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