Grundlagen der Programmiersprachen

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1 Grundlagen der Programmiersprachen Syntax und ihre Definition Alphabete und Sprachen Syntaxdiagramme und Backus-Naur-Form Semantik und ihre Definition funktionale Semantik vom ML Fixpunktberechnung

2 Motivation Sie haben an PRO, ASS und FUN selbst gesehen, daß man durch Beispiele und viel Gerede die Syntax einer Programmiersprache die Bedeutung syntaktisch korrekter Zeichenreihen nicht ordentlich, d.h. unmißverständlich und vollständig, definieren kann. Nötig: exakte formale Beschreibungsverfahren

3 Begriffe Syntax: welche Aneinanderreihungen von Zeichen sind korrekte Sätze der Sprache? Semantik: welche inhaltliche Bedeutung besitzen syntaktisch korrekte Sätze der Sprache? Programmiersprache P=(L,F), wobei L A* formale Sprache über Alphabet A={a,...,z,A,...Z, 0,...,9,:,;,-,...} (Syntax) und F Abbildung, die jedem Wort (Programm) w L seine Bedeutung (Semantik) F(w) zuordnet.

4 Syntax - Alphabet und Sprache Definition: Eine (zweistellige) Relation R auf einer Menge M ist eine Teilmenge R M M. Sind a,b M und (a,b) R, so sagt man "a und b stehen in der Relation R". Gelegentlich schreibt man statt (a,b) R auch arb. Eine Relation heißt reflexiv, wenn für alle a M stets (a,a) R gilt; transitiv, wenn für alle a,b,c M aus (a,b) R und (b,c) R stets (a,c) R folgt; symmetrisch, wenn für alle a,b M aus (a,b) R auch (b,a) R folgt; antisymmetrisch, wenn für alle a,b M aus (a,b) R und (b,a) R stets a=b folgt.

5 Syntax - Beispiele 1. Verwandschaftsrelation. M: Menge aller Menschen. R M M Menge aller Paare von Menschen, die verwandt sind, d.h. (a,b) R, wenn Personen a und b verwandt sind. R nicht reflexiv, denn eine Person ist nicht mit sich selbst verwandt. R symmetrisch, denn wenn Person a mit b verwandt ist ((a,b) R), dann auch b mit a ((b,a) R). R ist nicht antisymmetrisch. Ist R transitiv? Wenn a mit b und b mit c verwandt ((a,b) R und (b,c) R), dann ist meist auch a mit c verwandt ((a,c) R).

6 Syntax - Beispiele 2. Kleiner-Gleich-Relation. M: Menge der natürlichen Zahlen IN. R IN IN Menge aller Paare natürlicher Zahlen (a,b), für die a b gilt. R ist reflexiv (a a), transitiv (a b und b c a c) und antisymmetrisch (a b und b a a=b).

7 Definition: Syntax - Ordnung a. Eine reflexive, transitive und symmetrische Relation R M M auf einer Menge M heißt Äquivalenzrelation. b. Eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation heißt (partielle) Ordnung oder Halbordnung. c. Ist die Ordnung R total definiert, d.h., gilt für alle a,b M die Beziehung (a,b) R oder (b,a) R, so ist R eine lineare oder totale Ordnung.

8 Syntax - Bezeichnung Bezeichnung: Ist R eine Ordnung, so schreibt man anstelle von (a,b) R meist a b. Ist R antisymmetrisch und transitiv, so schreibt man meist a<b

9 Syntax - Beispiel Ordnung 1. Betrachte Relation "ist gleich oder ist Chef von" innerhalb eines Betriebes. M Menge der Mitarbeiter. R M M Menge aller Paare von Mitarbeitern (a,b), wobei a=b oder a Chef von b, also a b. R ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch, folglich (partielle) Ordnung. R keine lineare Ordnung, denn für zwei Mitarbeiter a und b aus unterschiedlichen Abteilungen gilt z.b. weder a b noch b a.

10 Syntax - Beispiel Ordnung 2. Auf der Menge IN der natürlichen Zahlen ist die Kleiner-Gleich-Relation R (s.o. Beispiel 2) eine Ordnung. R ist außerdem eine lineare Ordnung, denn für zwei beliebige Elemente a,b IN gilt a b oder b a.

11 Syntax - Erinnerung Grundbegriffe Alphabet: nichtleere endliche Menge A= {a1,...,an}, n 1, mit einer linearen Ordnung a1<a2<a3<...<an. Wort: Folge w der Länge k von k Elementen von A, d.h. w=b1b2...bk mit bj A für j=1,...,n, n IN. Länge von w: w =k. leeres Wort ε: Wort der Länge 0. Konkatenation: v=b1b2...bi, w=c1c2...cj A*. vw=b1b2...bic1c2...cj.

12 Syntax - Sprache Definition: Sei A ein Alphabet. Jede Teilmenge L A* heißt Sprache über A.

13 Syntax - Beispiele 1. Alphabet A={0,1,2,...,9}. Die Menge L={a1a2...an ai A für i=1,...,n; n IN, n 1; a1 0 falls n 2} ist eine Sprache über A, die Sprache der Dezimaldarstellungen für die natürlichen Zahlen (ohne führende Nullen). 2. Alphabet A={ }. Die Menge L={a1a2...an ai A für i=1,...,n; n Primzahl} ist eine Sprache über A. L ist Menge aller Strichfolgen, deren Länge eine Primzahl ist.

14 Bezeichnungen: Syntax - Bezeichnung An : Menge aller Wörter der Länge n über Alphabet A: A n ={w w A* und w =n}. Speziell gilt für n=0: A 0 ={ε}. A + : A* ohne das leere Wort: A + =A*\{ε}. wn : n-fache Aneinanderreihung von w für w A* und n IN, d.h. w n = Speziell für n=0: w 0 =ε. { n mal

15 Syntaxdiagramme anschauliche und sehr einfache Methode zur Definition der Syntax von Programmiersprachen vermutlich von Niklaus Wirth (Erfinder von Pascal, Modula, Oberon u.v.m.) eingeführt

16 Syntaxdiagramme - Beispiel

17 Syntaxdiagramme - Beispiel Name

19 Syntaxdiagramme - Beispiel Eintritt

21 Syntaxdiagramme - Beispiel Austritt

23 Syntaxdiagramme - Beispiel konkrete Zeichen

25 Syntaxdiagramme - Beispiel Verweise auf andere SDs

27 Syntaxdiagramme - Beispiel Alle konkreten Zeichen, die man beim Durchlaufen einer Menge von Syntaxdiagrammen aufsammelt, sind Wörter der definierten Sprache.

28 Syntaxdiagramm - Definition Definition: Seien N und T Alphabete. N ist die Menge der Nichtterminalsymbole (auch Hilfszeichen oder Variablen genannt) und T die Menge der Terminalsymbole. Syntaxdiagramme über N und T sind folgendermaßen aufgebaut: 1) Jedes Syntaxdiagramm ist mit einem Nichtterminalsymbol aus N markiert. 2) Ein Syntaxdiagramm besteht aus Kreisen (oder Ellipsen) und Kästchen, die durch Pfeile miteinander verbunden sind.

29 Syntaxdiagramm - Definition Definition (Forts.): 3) In jedem Kreis (oder jeder Ellipse) steht ein Wort über T. In jedem Kästchen steht ein Nichtterminalsymbol, d.h., ein Element aus N. 4) Aus jedem Kreis (jeder Ellipse) und jedem Kästchen führt genau ein Pfeil hinaus und genau ein Pfeil hinein. 5) Ein Pfeil darf sich in mehrere Pfeile aufspalten (Verzweigungspunkt) und mehrere Pfeile dürfen zu einem Pfeil zusammengeführt werden (Zusammenfassungspunkt).

30 Syntaxdiagramm - Definition Definition (Forts.): 6) In jedem Syntaxdiagramm gibt es genau einen ("Eingangs"-) Pfeil, der von keinem Kreis (Ellipse) oder Kästchen ausgeht (von außen in das SD einlaufender Pfeil), und genau einen ("Ausgangs"-) Pfeil, der zu keinem Kreis (Ellipse) oder Kästchen führt (nach außen aus dem SD auslaufender Pfeil). Alle übrigen Pfeile verbinden Kästchen, Kreise (Ellipsen), Verzweigungs-/Zusammenführungspunkte. 7) Von dem Eingangspfeil aus kann man jeden Kreis (Ellipse) und jedes Kästchen des Syntaxdiagramms auf mindestens einem Weg erreichen, und von jedem Kreis (Ellipse) oder Kästchen kann man auf mindestens einem Weg zum Ausgangspfeil gelangen. (SD darf nicht in Teile zerfallen.)

31 Syntaxdiagramm - Beispiel

35 Syntaxdiagramm - Beispiel +

45 Syntaxdiagramm - Beispiel +5

71 Syntaxdiagramm - Auswertung Definition: Man betritt das Syntaxdiagramm durch den Eingangspfeil und befolgt solange jeweils eine der folgenden Regeln, bis man das Syntaxdiagramm auf dem Ausgangspfeil verlassen hat: 1) Trifft man auf einen Verzweigungspunkt, so folgt man nach Belieben einem der weiterführenden Pfeile. 2) Trifft man auf einen Zusammenfassungspunkt, so folgt man dem weiterführenden Pfeil.

72 Syntaxdiagramm - Auswertung Definition (Forts.): 3) Trifft man auf einen Kreis (Ellipse), so schreibt man seinen Inhalt, also ein Wort über T, auf (bzw. hängt es an das schon aufgeschriebene Wort an) und verläßt den Kreis (Ellipse) über den ausgehenden Pfeil. 4) Trifft man auf ein Kästchen, in dem ein Nichtterminalsymbol ω steht, so kopiert man das Syntaxdiagramm ω anstelle des Kästchen ein. Der in das Kästchen hineinlaufende Pfeil wird mit dem Eingangspfeil von ω und der von dem Kästchen abgehende Pfeil mit dem Ausgangspfeil von ω verbunden.

73 Syntaxdiagramm - Auswertung Endzustand: Definition (Forts.): Ersetzung endet 3) Trifft man auf einen Kreis (Ellipse), so schreibt man seinen Inhalt, also ein Wort über T, auf (bzw. hängt es an das schon aufgeschriebene Wort an) und verläßt den Kreis (Ellipse) über den ausgehenden Pfeil. 4) Trifft man auf ein Kästchen, in dem ein Nichtterminalsymbol ω steht, so kopiert man das Syntaxdiagramm ω anstelle des Kästchen ein. Der in das Kästchen hineinlaufende Pfeil wird mit dem Eingangspfeil von ω und der von dem Kästchen abgehende Pfeil mit dem Ausgangspfeil von ω verbunden.

75 Syntaxdiagramm - Auswertung Definition (Forts.): 3) Trifft man auf einen Kreis (Ellipse), so schreibt man seinen Inhalt, also ein Wort über T, auf (bzw. hängt es an das schon aufgeschriebene Wort an) und verläßt den Kreis (Ellipse) Zwischenzustand: über den ausgehenden Pfeil. 4) Trifft man weiter auf ein ersetzen Kästchen, in dem ein Nichtterminalsymbol ω steht, so kopiert man das Syntaxdiagramm ω anstelle des Kästchen ein. Der in das Kästchen hineinlaufende Pfeil wird mit dem Eingangspfeil von ω und der von dem Kästchen abgehende Pfeil mit dem Ausgangspfeil von ω verbunden.

77 Syntaxdiagramm - Auswertung Definition (Forts.): 3) Trifft man auf einen Kreis (Ellipse), so schreibt man seinen Inhalt, also ein Wort über T, auf (bzw. hängt es an das schon aufgeschriebene Wort an) und verläßt den Kreis (Ellipse) über den ausgehenden Pfeil. 4) Trifft man auf ein Kästchen, in dem ein Nichtterminalsymbol ω steht, so kopiert Rekursion man das Syntaxdiagramm ω anstelle des Kästchen möglich ein. Der in das Kästchen hineinlaufende Pfeil wird mit dem Eingangspfeil von ω und der von dem Kästchen abgehende Pfeil mit dem Ausgangspfeil von ω verbunden.

78 Syntaxdiagramm - erzeugte Sprache Definition: Jedes Wort, das nach irgendeiner Auswertung eines Syntaxdiagramms aufgeschrieben ist, kann durch das Syntaxdiagramm erzeugt werden. Die durch das Syntaxdiagramm definierte Sprache ist die Menge aller Wörter, die auf diese Weise erzeugt werden kann.

80 Syntaxdiagramm - Beispiel... fängt mit einem Buchstaben an

81 Syntaxdiagramm - Beispiel... fängt mit einem Buchstaben an... gefolgt von beliebiger Folge von Buchstaben oder Ziffern

82 Syntaxdiagramm - Mächtigkeit Mächtigkeit von Syntaxdiagrammen: Kann man jede Sprache beschreiben? Ohne Beweis (Näheres s. Theoretische Informatik): Syntaxdiagramme beschreiben sehr eingeschränkte Sprachklasse: kontextfreie Sprachen bereits einfach Sprachen sind nicht kontextfrei: L={ n n ist Quadratzahl} die meisten Programmiersprachen sind aber i.w. kontextfreie Sprachen

83 Backus-Naur-Form nicht-graphische Methode zur Darstellung von Sprachen Erfinder: John Backus ( ), Peter Naur (*1928) zur Definition von ALGOL60 (um 1960)

84 Backus-Naur-Form - Prinzip Grundprinzip: Grammatik Beginne mit einer Zeichenfolge (Startsymbol) Erzeuge durch fortlaufende Anwendung von Ersetzungsschritten (Produktionsregeln) jedes Wort der Sprache formelle Notation zur Definition von Grammatiken erforderlich (Metasprache) Backus-Naur-Form ist eine solche Metasprache

85 Backus-Naur-Form - Notation Menge von Nichtterminalsymbolen N (durch <> markiert) Menge von Terminalsymbolen T ausgezeichnetes Symbol S N (Startsymbol), bei dem Ersetzungsprozeß beginnt Regeln, Produktionen zur Beschreibung von Ersetzungen: X ::= w1 w2... wn

86 Backus-Naur-Form - Notation Menge von Nichtterminalsymbolen N (durch <> markiert) Menge von Terminalsymbolen T ausgezeichnetes Symbol S N (Startsymbol), bei dem Ersetzungsprozeß beginnt Regeln, Produktionen einzelnes zur Beschreibung von Ersetzungen: Nichtterminalsymbol (in <>) X ::= w1 w2... wn

88 Backus-Naur-Form - Notation Menge von Nichtterminalsymbolen N (durch <> markiert) Menge von Terminalsymbolen T ausgezeichnetes Symbol S N (Startsymbol), bei dem Ersetzungsprozeß beginnt Regeln, Produktionen zur Beschreibung von Ersetzungen: Zeichenfolgen aus N T X ::= w1 w2... wn

90 Backus-Naur-Form - Notation Menge von Nichtterminalsymbolen N (durch <> markiert) Menge von Terminalsymbolen T ausgezeichnetes Symbol S N (Startsymbol), bei dem Ersetzungsprozeß beginnt Regeln, Produktionen zur Beschreibung von Ersetzungen:... steht für oder X ::= w1 w2... wn

92 Backus-Naur-Form - Notation Menge von Nichtterminalsymbolen N (durch <> markiert) Menge von Terminalsymbolen T ausgezeichnetes Symbol S N (Startsymbol), bei dem Ersetzungsprozeß beginnt Regeln, Produktionen zur Beschreibung von Ersetzungen:... darf ersetzt werden durch... X ::= w1 w2... wn

94 Backus-Naur-Form - Notation Menge von Nichtterminalsymbolen N (durch <> markiert) Menge von Terminalsymbolen T ausgezeichnetes Symbol S N (Startsymbol), bei dem Ersetzungsprozeß beginnt Regeln, Produktionen zur Beschreibung von Ersetzungen: Wenn in einem Wort an irgendeiner Stelle das Nichtterminalsymbol X vorkommt, so darf es durch eines der Worte w1,w2,...,wn ersetzt werden X ::= w1 w2... wn

95 Backus-Naur-Form - Grammatik Das Viertupel G=(N,T,P,S) heißt Grammatik in Backus-Naur-Form (BNF-Grammatik).

96 Backus-Naur-Form - Beispiel Beispiel: T={0,1,2,...,9,+,-} N={<Ziffer>, <ZifferohneNull>, <Ziffernfolge>, <Ganzzahl>} Startsymbol <Ganzzahl> Produktionen <ZifferohneNull>::= <Ziffer>::= 0 <ZifferohneNull> <Ziffernfolge>::= ε <Ziffer><Ziffernfolge> <Ganzzahl>::= <ZifferohneNull><Ziffernfolge> + <ZifferohneNull><Ziffernfolge> - <ZifferohneNull><Ziffernfolge>

97 Backus-Naur-Form - Beispiel Beispiel: T={0,1,2,...,9,+,-} N={<Ziffer>, <ZifferohneNull>, <Ziffernfolge>, <Ganzzahl>} Startsymbol <Ganzzahl> Produktionen gleiche Sprache wie das oben <ZifferohneNull>::= 1 2 angegebene Syntaxdiagramm <Ziffer>::= 0 <ZifferohneNull> <Ziffernfolge>::= ε <Ziffer><Ziffernfolge> <Ganzzahl>::= <ZifferohneNull><Ziffernfolge> + <ZifferohneNull><Ziffernfolge> - <ZifferohneNull><Ziffernfolge> Diese BNF-Grammatik definiert die

98 Backus-Naur-Form - Definition Definition: Eine Grammatik in Backus-Naur-Form, kurz BNF- Grammatik, ist ein Viertupel G=(N,T,P,S) mit a) T ist die Menge der Terminalsymbole, N die Menge der Nichterminalsymbole und T N= ; b) S N ist das Startsymbol; c) P ist die Menge der Produktionen. Eine Produktion p P ist eine Zeichenfolge der Form X ::= w1 w2... wn wobei X N, n 1 und wi (N T)* für i=1,2,...,n sind.

99 Backus-Naur-Form - Erzeugungsprozeß <ZifferohneNull>::= <Ziffer>::= 0 <ZifferohneNull> <Ziffernfolge>::= ε <Ziffer><Ziffernfolge> <Ganzzahl>::= <ZifferohneNull><Ziffernfolge> + <ZifferohneNull><Ziffernfolge> - <ZifferohneNull><Ziffernfolge> <Ganzzahl>

102 Backus-Naur-Form - Erzeugungsprozeß <ZifferohneNull>::= <Ziffer>::= 0 <ZifferohneNull> <Ziffernfolge>::= ε <Ziffer><Ziffernfolge> <Ganzzahl>::= <ZifferohneNull><Ziffernfolge> + <ZifferohneNull><Ziffernfolge> - <ZifferohneNull><Ziffernfolge> <Ganzzahl> <ZifferohneNull> <Ziffernfolge>

105 Backus-Naur-Form - Erzeugungsprozeß <ZifferohneNull>::= <Ziffer>::= 0 <ZifferohneNull> <Ziffernfolge>::= ε <Ziffer><Ziffernfolge> <Ganzzahl>::= <ZifferohneNull><Ziffernfolge> + <ZifferohneNull><Ziffernfolge> - <ZifferohneNull><Ziffernfolge> <Ganzzahl> <ZifferohneNull> <Ziffernfolge> <ZifferohneNull> <Ziffer> <Ziffernfolge>

108 Backus-Naur-Form - Erzeugungsprozeß <ZifferohneNull>::= <Ziffer>::= 0 <ZifferohneNull> <Ziffernfolge>::= ε <Ziffer><Ziffernfolge> <Ganzzahl>::= <ZifferohneNull><Ziffernfolge> + <ZifferohneNull><Ziffernfolge> - <ZifferohneNull><Ziffernfolge> <Ganzzahl> <ZifferohneNull> <Ziffernfolge> <ZifferohneNull> <Ziffer> <Ziffernfolge> 7 <Ziffer><Ziffernfolge>

111 Backus-Naur-Form - Erzeugungsprozeß <ZifferohneNull>::= <Ziffer>::= 0 <ZifferohneNull> <Ziffernfolge>::= ε <Ziffer><Ziffernfolge> <Ganzzahl>::= <ZifferohneNull><Ziffernfolge> + <ZifferohneNull><Ziffernfolge> - <ZifferohneNull><Ziffernfolge> <Ganzzahl> <ZifferohneNull> <Ziffernfolge> <ZifferohneNull> <Ziffer> <Ziffernfolge> 7 <Ziffer><Ziffernfolge> 7 <Ziffer> <Ziffer> <Ziffernfolge>

112 Backus-Naur-Form - Erzeugungsprozeß <ZifferohneNull>::= <Ziffer>::= 0 <ZifferohneNull> <Ziffernfolge>::= ε <Ziffer><Ziffernfolge> <Ganzzahl>::= <ZifferohneNull><Ziffernfolge> + <ZifferohneNull><Ziffernfolge> - <ZifferohneNull><Ziffernfolge> <Ganzzahl> <ZifferohneNull> <Ziffernfolge> <ZifferohneNull> <Ziffer> <Ziffernfolge> 7 <Ziffer><Ziffernfolge> 7 <Ziffer> <Ziffer> <Ziffernfolge> 7 <ZifferohneNull> <Ziffer> <Ziffernfolge>

113 Backus-Naur-Form - Erzeugungsprozeß <ZifferohneNull>::= <Ziffer>::= 0 <ZifferohneNull> <Ziffernfolge>::= ε <Ziffer><Ziffernfolge> <Ganzzahl>::= <ZifferohneNull><Ziffernfolge> + <ZifferohneNull><Ziffernfolge> - <ZifferohneNull><Ziffernfolge> <Ganzzahl> <ZifferohneNull> <Ziffernfolge> <ZifferohneNull> <Ziffer> <Ziffernfolge> 7 <Ziffer><Ziffernfolge> 7 <Ziffer> <Ziffer> <Ziffernfolge> 7 <ZifferohneNull> <Ziffer> <Ziffernfolge> 7 <ZifferohneNull> <Ziffer>

114 Backus-Naur-Form - Erzeugungsprozeß <ZifferohneNull>::= <Ziffer>::= 0 <ZifferohneNull> <Ziffernfolge>::= ε <Ziffer><Ziffernfolge> <Ganzzahl>::= <ZifferohneNull><Ziffernfolge> + <ZifferohneNull><Ziffernfolge> - <ZifferohneNull><Ziffernfolge> <Ganzzahl> <ZifferohneNull> <Ziffernfolge> <ZifferohneNull> <Ziffer> <Ziffernfolge> 7 <Ziffer><Ziffernfolge> 7 <Ziffer> <Ziffer> <Ziffernfolge> 7 <ZifferohneNull> <Ziffer> <Ziffernfolge> 7 <ZifferohneNull> <Ziffer> 73 <Ziffer> 73 <ZifferohneNull> 732

115 Backus-Naur-Form - Ableitung Definition: Sei G=(N,T,P,S) eine BNF-Grammatik. a) Ein Wort v (N T)* heißt in einem Schritt aus einem Wort u (N T)* ableitbar, wenn es Wörter u1,u2 (N T)*, ein X N und eine Produktion der Form X::=w1 w2... wn in P gibt, so daß für ein i {1,...,n} gilt: u=u1xu2 und v=u1wu2. Man schreibt dann kurz u v.

116 Backus-Naur-Form - Ableitung Definition (Forts.): b) Ein Wort v (N T)* heißt ableitbar aus einem Wort u (N T)*, wenn u=v ist oder wenn es Wörter u=u0,u1,u2,...,ur=v (N T)* gibt, so daß ui-1 ui für i {1,..., r} gilt. Man schreibt dann kurz u *v. u0 u1 u2... ur heißt Ableitung der Länge r von u0 nach ur.

117 Backus-Naur-Form - Ableitung Definition (Forts.): c) Die von einer BNF-Grammatik G erzeugte Sprache ist definiert durch L(G)={w T* S *w}. L(G) ist also die Menge aller aus dem Startsymbol ableitbaren Wörter, die nur aus Terminalsymbolen bestehen.

118 Backus-Naur-Form - Beispiel 1 Sei G=(N,T,P,<start>) eine BNF-Grammatik mit N={<start>}, T={a,b}, P={ <start>::= ε a<start> b<start>}. Mit G kann man jede beliebige Folge von a und b erzeugen, d.h. L(G)=T*.

119 Backus-Naur-Form - Beispiel 2 Sei G=(N,T,P,S) eine BNF-Grammatik mit N={<s>}, T={(,)}, P={<s>::=(<s>)<s> ε}. G erzeugt alle korrekten Klammerungen: z.b. Beispiel: ((()())())

120 Backus-Naur-Form - Beispiel 2 Sei G=(N,T,P,S) eine BNF-Grammatik mit N={<s>}, T={(,)}, P={<s>::=(<s>)<s> ε}. G erzeugt alle korrekten Klammerungen: z.b. Beispiel: <s> ((()())())

121 Backus-Naur-Form - Beispiel 2 Sei G=(N,T,P,S) eine BNF-Grammatik mit N={<s>}, T={(,)}, P={<s>::=(<s>)<s> ε}. G erzeugt alle korrekten Klammerungen: z.b. Beispiel: <s> (<s>) <s> ((()())())

122 Backus-Naur-Form - Beispiel 2 Sei G=(N,T,P,S) eine BNF-Grammatik mit N={<s>}, T={(,)}, P={<s>::=(<s>)<s> ε}. G erzeugt alle korrekten Klammerungen: z.b. ((()())()) Beispiel: <s> (<s>) <s> ((<s>)<s>)<s>

123 Backus-Naur-Form - Beispiel 2 Sei G=(N,T,P,S) eine BNF-Grammatik mit N={<s>}, T={(,)}, P={<s>::=(<s>)<s> ε}. G erzeugt alle korrekten Klammerungen: z.b. ((()())()) Beispiel: <s> (<s>) <s> ((<s>)<s>)<s> ((<s>)<s>)(<s>)<s>

124 Backus-Naur-Form - Beispiel 2 Sei G=(N,T,P,S) eine BNF-Grammatik mit N={<s>}, T={(,)}, P={<s>::=(<s>)<s> ε}. G erzeugt alle korrekten Klammerungen: z.b. ((()())()) Beispiel: <s> (<s>) <s> ((<s>)<s>)<s> ((<s>)<s>)(<s>)<s> (() <s>)(<s>)<s>

125 Backus-Naur-Form - Beispiel 2 Sei G=(N,T,P,S) eine BNF-Grammatik mit N={<s>}, T={(,)}, P={<s>::=(<s>)<s> ε}. G erzeugt alle korrekten Klammerungen: z.b. ((()())()) Beispiel: <s> (<s>) <s> ((<s>)<s>)<s> ((<s>)<s>)(<s>)<s> (() <s>)(<s>)<s> (())(<s>)<s>

126 Backus-Naur-Form - Beispiel 2 Sei G=(N,T,P,S) eine BNF-Grammatik mit N={<s>}, T={(,)}, P={<s>::=(<s>)<s> ε}. G erzeugt alle korrekten Klammerungen: z.b. ((()())()) Beispiel: <s> (<s>) <s> ((<s>)<s>)<s> ((<s>)<s>)(<s>)<s> (() <s>)(<s>)<s> (())(<s>)<s> (())()<s>

127 Backus-Naur-Form - Beispiel 2 Sei G=(N,T,P,S) eine BNF-Grammatik mit N={<s>}, T={(,)}, P={<s>::=(<s>)<s> ε}. G erzeugt alle korrekten Klammerungen: z.b. ((()())()) Beispiel: <s> (<s>) <s> ((<s>)<s>)<s> ((<s>)<s>)(<s>)<s> (() <s>)(<s>)<s> (())(<s>)<s> (())()<s> (())()

140 Backus-Naur-Form - Beispiel 3 Die Grammatik G=(N,T,P,<Bez>) mit N={<Bez>,<Buchstabe>,<Zeichenkette>,<Ziffer>}, T={a,b,...,z,0,1,...,9}, P={<Bez>::= <Buchstabe> <Buchstabe><Zeichenkette>, <Zeichenkette>::= <Buchstabe> <Ziffer> <Buchstabe><Zeichenkette> <Ziffer><Zeichenkette>, <Ziffer>::= , <Buchstabe>::= a b... z} definiert die Sprache der Wörter über T, die als Bezeichner verwendet werden dürfen.

141 Backus-Naur-Form - Abkürzungen 1. Symbole oder Symbolfolgen, die auch weggelassen werden können, werden in eckige Klammern eingeschlossen: Statt A ::= B C B schreibe A ::= B [C]. Statt <Bez>::= <Buchstabe> <Buchstabe><Zeichenkette> schreibe <Bez> ::= <Buchstabe> [<Zeichenkette>]

142 Backus-Naur-Form - Abkürzungen 2. Symbole oder Symbolfolgen, die beliebig oft wiederholt oder weggelassen werden können, werden in geschweifte Klammern eingeschlossen. Statt <Bez>::= <Buchstabe> <Buchstabe><Zeichenkette> <Zeichenkette>::= <Buchstabe> <Ziffer> <Buchstabe><Zeichenkette> <Ziffer><Zeichenkette> schreibe <Bezeichner>::= <Buchstabe> {<Buchstabe> <Ziffer>}

143 Syntaxdiagramm - Mächtigkeit Mächtigkeit von BNF-Grammatiken? Ohne Beweis (Näheres s. Theoretische Informatik): BNF-Grammatiken beschreiben ebenfalls kontextfreie Sprachen kontextfrei: Nichtterminalzeichen <X> dürfen immer ersetzt werden, unabhängig davon, in welchem Kontext sie auftreten Zu jeder BNF-Grammatik kann man ein gleichwertiges Syntaxdiagramm konstruieren und umgekehrt.

144 Backus-Naur-Form - Mächtigkeit Programmiersprachen sind im wesentlichen kontextfreie Sprachen Gewisse Elemente lassen sich nicht kontextfrei beschreiben, z.b.: Deklarationspflicht von Bezeichnern diese Regel kann nicht durch ein Syntaxdiagramm oder eine BNF-Grammatik erzwungen werden Solche Regeln fügt man umgangssprachlich hinzu

145 Semantik - Erinnerung Programmiersprache P=(L,F) mit formaler Sprache L A* (Syntax) und Abbildung F, die jedem Programm w L seine Semantik zuordnet Wie definiert man F? Erinnerung: denotationale Semantik: Bedeutung von Programm w ist die berechnete Funktion fw: I O von der Menge I der Eingabedaten in die Menge O der Ausgabedaten

146 Semantik - semantische Funktion F ist also eine Funktion F: A* (I O) mit fw, falls w L F[w]= {, sonst. F heißt semantische Funktion. F liefert also zu jedem syntaktisch korrekten Programm(-text) die zugehörige berechnete Funktion.

147 semantische Funktion - Beispiel Beispiel: Gegeben w funktion f x:int int wenn x=1 dann 2 sonst 2*(f(x-1)). Offenbar w syntaktisch korrekt. Semantik von w: F[w]=exp2 mit exp2(x)= { 2 x, falls x 1, sonst. w berechnet also Zweierpotenz für x 1.

148 Semantik - Aufgabe Definiere F für alle Programme w einer Sprache P=(L,F) unendlich viele w?? Nutze speziellen syntaktischen Aufbau von w und definiere F induktiv über diesen Aufbau präzisiere Semantik aller Sprachelemente isoliert voneinander, zunächst elementare Sprachelemente, dann Konstruktoren usw. setze Semantik des Gesamtprogramms aus Teilsemantiken der Bestandteile zusammen

149 Semantik - Syntax von µml Hier Beschränkung auf eine Teilmenge von ML, genannt µml Datentyp int Ausdrücke über bool und int Wertdeklarationen val x=e Funktionsdefinitionen fun f x=... (nur 1 Parameter) Eingabe read

150 Semantik - Syntax in BNF <prog> ::= <decls> ; <call> <decls> ::= <decl> ; <decls> ε <decl> ::= <valuedecl> <fundecl> <valuedecl> ::= val <id> = <arithexp> <fundecl> ::= fun <id> <id> = <exp> <exp> ::= <arithexp> <condexp> <arithexp> ::= (<arithexp> <op> <arithexp>) <const> <id> <id> (<arithexp>) <op> ::= + - * / <condexp> ::= if <boolexp> then <exp> else <exp> <boolexp> ::= <arithexp>=<arithexp> <arithexp> <arithexp> true false <id> ::= "Bezeichner nach üblichen Konventionen" <const> ::= "ganzzahlige Konstante" <call> ::= (read(<id>); <arithexp>).

173 Semantik - µml-programmbeispiel val c=1; fun f x = if x=0 then c else f(x-1); (read(x);f(x)).

174 Semantik - Umgebungen Motivation: Semantik ist nicht absolut, sondern relativ Semantik von 2+x hängt vom Wert von x ab Wert von x hängt von der aktuellen Umgebung ab, in der der Ausdruck auftaucht Werte können sich je nach Bindung der Variablen ändern Merke in Symboltabelle, was ein Bezeichner aktuell repräsentiert

175 Semantik - Umgebungen Umgebungen u sind Abbildungen von Menge der Bezeichner in Menge der möglichen Werte in µml: elementare Werte und Funktionsrümpfe (=Ausdrücke). Definiere also: u: {Bezeichner} int ({Bezeichner} [int int] {Umgebungen}). Zu Bezeichner x liefert u aktuellen Wert u(x), sofern x gebunden, anderenfalls undefiniert.

176 Umgebungen - Varianten Zwei Varianten möglich: 1. x an elementaren Wert gebunden, so ist u(x) dieser Wert 2. x an Funktion gebunden, so ist u(x) ein Tripel (p,r,u'). Hierbei: p Bezeichner des formalen Parameters von x r Funktionsrumpf von x (also Ausdruck, der Funktion in [int int] beschreibt) u' Umgebung, in der x deklariert wurde (wg. Konzept der statischen Bindung von ML).

177 Umgebungen - statische Bindung (p,r,u') Konzept der statischen Bindung: Wird x aufgerufen, so gelten für die Objekte im Rumpf von x die Bindungen u' zum Zeitpunkt der Deklaration von x und nicht die Bindungen u zum Zeitpunkt des Aufrufs. Umgebung u' muß daher in dem Augenblick wiederhergestellt werden, wenn x aufgerufen wird.

178 Umgebungen - Bezeichnungen Bezeichnungen: Zu x, das in der Umgebung u eine Funktion bezeichne, also u(x)=(p,r,u'), sei π(u(x))=p (liefert formalen Parameter) ρ(u(x))=r (liefert Rumpf der Funktion) υ(u(x))=u' (liefert Umgebung, in der x deklariert wurde).

179 Umgebungen - Beispiel Beispiel: Umgebung u fun f a = if B then E1 else E2, Umgebung u' mit u'(f)=(a, if B then E1 else E2, u) π(u'(x))=a ρ(u'(x))=if B then E1 else E2 υ(u'(x))=u

180 Umgebungen - Darstellung Darstellung von Umgebungen als Menge von Gleichungen u={x1=w1,...,xn=wn} Bedeutung: xi=wi: Bezeichner xi hat in Umgebung u Wert wi. Für y xi, i=1,...,n gilt u(y)= (y in u nicht definiert).

181 Umgebungsänderungen Veränderung von Umgebungen im Laufe der Programmausführung: Operation + auf Umgebungen: Sei u={x1=w1,...,xn=wn} und u'={y1=v1,...,ym=vm}. Dann: u"=u+u' mit u(x), falls u'(x)=, u"(x)= { u'(x), sonst. In u" werden also Bindungen der Bezeichner in u durch Bindungen in u' überschrieben. Beachte: + nicht kommutativ.

182 Umgebungen - Beispiel Beispiel: u={x=2, y=3} u'={x=(a,if a=0 then 0 else 1,{y=4,z=0}), z=5}. Dann: u"=u+u'={x=(a,if a=0 then 0 else 1, {y=4,z=0}), y=3, z=5}.

183 Semantik von µml - Aufbau Semantische Funktionen für Programme B: µml [int int] stützen sich ab auf Deklarationen D: {Deklarationen} [{Umgebungen} {Umgebungen}] Ausdrücke E: {Ausdrücke} [{Umgebungen} int bool]

184 Semantik von µml - Programme B B: µml [int int] mit B[<decls>;(read(<id>);<arithexp>)](α)= E[<arithexp>]((D[<decls>] )+{<id>=α}).

185 Semantik von µml - Programme B Menge aller Programme B: µml [int int] mit B[<decls>;(read(<id>);<arithexp>)](α)= E[<arithexp>]((D[<decls>] )+{<id>=α}).

187 Semantik von µml - Programme B B: µml [int int] mit Menge aller Funktionen B[<decls>;(read(<id>);<arithexp>)](α)= E[<arithexp>]((D[<decls>] )+{<id>=α}).

199 Semantik von µml - Deklarationen D D: {Deklarationen} [{Umgebungen} {Umgebungen}] mit D[ ]u=u D[<decl>;<decls>]=D[<decls>] D[<decl>] D[val <id>=<arithexp>]u=u+{<id>=e[<arithexp>]u} D[fun <id1><id2>=<exp>]u=u+{<id1>=(<id2>,<exp>,u)}

200 Semantik von µml - Deklarationen D D: {Deklarationen} [{Umgebungen} {Umgebungen}] mit D[ ]u=u Menge aller Deklarationen D[<decl>;<decls>]=D[<decls>] D[<decl>] D[val <id>=<arithexp>]u=u+{<id>=e[<arithexp>]u} D[fun <id1><id2>=<exp>]u=u+{<id1>=(<id2>,<exp>,u)}

201 Semantik von µml - Deklarationen D Menge aller Deklarationen Menge aller Umgebungsänderungen D: {Deklarationen} [{Umgebungen} {Umgebungen}] mit D[ ]u=u D[<decl>;<decls>]=D[<decls>] D[<decl>] D[val <id>=<arithexp>]u=u+{<id>=e[<arithexp>]u} D[fun <id1><id2>=<exp>]u=u+{<id1>=(<id2>,<exp>,u)}

202 Semantik von µml - Deklarationen D D: {Deklarationen} [{Umgebungen} {Umgebungen}] mit D[ ]u=u D[<decl>;<decls>]=D[<decls>] D[<decl>] Menge aller Umgebungsänderungen D[val <id>=<arithexp>]u=u+{<id>=e[<arithexp>]u} D[fun <id1><id2>=<exp>]u=u+{<id1>=(<id2>,<exp>,u)}

204 Semantik von µml - Deklarationen D keine Deklaration - D: {Deklarationen} [{Umgebungen} {Umgebungen}] bleibt mit D[ ]u=u D[<decl>;<decls>]=D[<decls>] D[<decl>] D[val <id>=<arithexp>]u=u+{<id>=e[<arithexp>]u} D[fun <id1><id2>=<exp>]u=u+{<id1>=(<id2>,<exp>,u)}

206 Semantik von µml - Deklarationen D D: {Deklarationen} [{Umgebungen} {Umgebungen}] mit nacheinander D[ ]u=u berücksichtigen D[<decl>;<decls>]=D[<decls>] D[<decl>] D[val <id>=<arithexp>]u=u+{<id>=e[<arithexp>]u} D[fun <id1><id2>=<exp>]u=u+{<id1>=(<id2>,<exp>,u)}

226 Semantik von µml - Ausdrücke E E: {Ausdrücke} [{Umgebungen} int bool] mit E[(<arithexp1> + <arithexp2>)]u= (E[<arithexp1>]u + E[<arithexp2>]u, dto. f. -,*,/ E[<arithexp1> = <arithexp2>]u= E[<arithexp1>]u = E[<arithexp2>]u, E[<arithexp1> <arithexp2>]u= E[<arithexp1>]u E[<arithexp2>]u, E[true]u=wahr, E[false]u=falsch.

227 Semantik von µml - Ausdrücke E Menge aller Ausdrücke... E: {Ausdrücke} [{Umgebungen} int bool] mit E[(<arithexp1> + <arithexp2>)]u= (E[<arithexp1>]u + E[<arithexp2>]u, dto. f. -,*,/ E[<arithexp1> = <arithexp2>]u= E[<arithexp1>]u = E[<arithexp2>]u, E[<arithexp1> <arithexp2>]u= E[<arithexp1>]u E[<arithexp2>]u, E[true]u=wahr, E[false]u=falsch.

229 Semantik von µml - Ausdrücke E... die je nach Umgebung... E: {Ausdrücke} [{Umgebungen} int bool] mit E[(<arithexp1> + <arithexp2>)]u= (E[<arithexp1>]u + E[<arithexp2>]u, dto. f. -,*,/ E[<arithexp1> = <arithexp2>]u= E[<arithexp1>]u = E[<arithexp2>]u, E[<arithexp1> <arithexp2>]u= E[<arithexp1>]u E[<arithexp2>]u, E[true]u=wahr, E[false]u=falsch.

231 Semantik von µml - Ausdrücke E E: {Ausdrücke} [{Umgebungen} int bool] mit... Werte liefern E[(<arithexp1> + <arithexp2>)]u= (E[<arithexp1>]u + E[<arithexp2>]u, dto. f. -,*,/ E[<arithexp1> = <arithexp2>]u= E[<arithexp1>]u = E[<arithexp2>]u, E[<arithexp1> <arithexp2>]u= E[<arithexp1>]u E[<arithexp2>]u, E[true]u=wahr, E[false]u=falsch.

233 Semantik von µml - Ausdrücke E Operations -zeichen E: {Ausdrücke} [{Umgebungen} int bool] mit E[(<arithexp1> + <arithexp2>)]u= (E[<arithexp1>]u + E[<arithexp2>]u, dto. f. -,*,/ E[<arithexp1> = <arithexp2>]u= E[<arithexp1>]u = E[<arithexp2>]u, E[<arithexp1> <arithexp2>]u= E[<arithexp1>]u E[<arithexp2>]u, E[true]u=wahr, E[false]u=falsch.

235 Semantik von µml - Ausdrücke E E: {Ausdrücke} [{Umgebungen} int bool] mit E[(<arithexp1> + <arithexp2>)]u= Operation (E[<arithexp1>]u + E[<arithexp2>]u, dto. f. -,*,/ E[<arithexp1> = <arithexp2>]u= E[<arithexp1>]u = E[<arithexp2>]u, E[<arithexp1> <arithexp2>]u= E[<arithexp1>]u E[<arithexp2>]u, E[true]u=wahr, E[false]u=falsch.

237 Semantik von µml - Ausdrücke E E[if <boolexp> then <exp1> else <exp2>]u= { E[<exp1>]u, falls E[<boolexp>]u=wahr, E[<exp2>]u, falls E[<boolexp>]u=falsch. E[<const>]u=<const>. E[<id>]u=u(<id>)

238 Semantik von µml - Ausdrücke E Semantik eines Funktionsaufrufs E[<id>(<arithexp>)]u= E[ρ(u(<id>))](D[fun <id> (π(u(<id>)))=ρ(u(<id>)); val π(u(<id>))=e[<arithexp>]u]υ(u(<id>)))

239 Semantik von µml - Ausdrücke E werte den Rumpf ρ aus Semantik eines Funktionsaufrufs E[<id>(<arithexp>)]u= E[ρ(u(<id>))](D[fun <id> (π(u(<id>)))=ρ(u(<id>)); val π(u(<id>))=e[<arithexp>]u]υ(u(<id>)))

240 Semantik von µml - Ausdrücke E werte den Rumpf ρ aus Semantik eines Funktionsaufrufs in dieser Umgebung E[<id>(<arithexp>)]u= E[ρ(u(<id>))](D[fun <id> (π(u(<id>)))=ρ(u(<id>)); val π(u(<id>))=e[<arithexp>]u]υ(u(<id>)))

242 Semantik von µml - Ausdrücke E werte den Rumpf ρ aus Semantik eines Funktionsaufrufs E[<id>(<arithexp>)]u= nimm Umgebg., in der <id> dekl. wurde E[ρ(u(<id>))](D[fun <id> (π(u(<id>)))=ρ(u(<id>)); val π(u(<id>))=e[<arithexp>]u]υ(u(<id>)))

244 Semantik von µml - Ausdrücke E werte den Rumpf ρ aus Semantik eines Funktionsaufrufs E[<id>(<arithexp>)]u= reicher sie an um Dekl. von <id> E[ρ(u(<id>))](D[fun <id> (π(u(<id>)))=ρ(u(<id>)); val π(u(<id>))=e[<arithexp>]u]υ(u(<id>)))

246 Semantik von µml - Ausdrücke E werte den Rumpf ρ aus Semantik eines Funktionsaufrufs E[<id>(<arithexp>)]u= und um Dekl. des formalen Parameters E[ρ(u(<id>))](D[fun <id> (π(u(<id>)))=ρ(u(<id>)); val π(u(<id>))=e[<arithexp>]u]υ(u(<id>)))

248 Semantik von µml - Beispiel 1 Beispiel 1: Programm P: val x=1; val y=3; (read(z); (y*(z+x))) Semantik: α bel. B[P](α)=E[(y*(z+x))]((D[val x=1; val y=3] )+{z=α}).

249 Semantik von µml - Beispiel 1 Beispiel 1: Programm P: val x=1; val y=3; (read(z); (y*(z+x))) B[<decls>;(read(<id>);<arithexp>)](α)= Semantik: α bel. E[<arithexp>]((D[<decls>] )+{<id>=α}). B[P](α)=E[(y*(z+x))]((D[val x=1; val y=3] )+{z=α}).

256 Semantik von µml - Beispiel 1 Hierbei: D[val x=1; val y=3]=d[val y=3] D[val x=1] Im einzelnen: D[val x=1] = +{x=e[1] }={x=1}, D[val y=3]{x=1}={x=1}+{y=e[3]{x=1}}={x=1}+{y=3}= {x=1,y=3}. Folglich: B[P](α)=E[(y*(z+x))]((D[val x=1; val y=3] )+{z=α}) =E[(y*(z+x))] {x=1,y=3,z=α} Setze nun: u={x=1,y=3,z=α}

257 Semantik von µml - Beispiel 1 Dann mit u={x=1,y=3,z=α}: E[(y*(z+x))]u=(E[y]u*E[(z+x)]u) =(E[y]u*(E[z]u+E[x]u)) =(u(y)*(u(z)+u(x)))=(3*(α+1)). Damit Semantik von P bewiesen: B[P](α)=3*(α+1).

258 Semantik von µml - Beispiel 2 Beispiel 2: Programm P': val c=1; fun f x = if x=0 then c else f(x-1); (read(x);f(x)). Semantik: α bel. B[P'](α)=E[f(x)]((D[val c=1; fun f x=if x=0 then c else f(x-1)] )+{x=α}).

259 Semantik von µml - Beispiel 2 Hierbei: D[val c=1; fun f x=if x=0 then c else f(x-1)]= D[fun f x=if x=0 then c else f(x-1)] D[val c=1] Im einzelnen: D[val c=1] = +{c=e[1] }={c=1}, D[fun f x=if x=0 then c else f(x-1)]{c=1}= {c=1}+{f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})}= {c=1,f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})}. Folglich: B[P'](α)=E[f(x)] {c=1,f=(x, if x=0 then c else f(x-1), {c=1}),z=α}

260 Semantik von µml - Beispiel 2 Dann mit u={c=1,f=(x, if x=0 then c else f(x-1), {c=1}),x=α}: E[f(x)]u=E[if x=0 then c else f(x-1)] (D[fun f x=if x=0 then c else f(x-1); val x=e[x]u]υ(u(f)))= E[f(x)]u=E[if x=0 then c else f(x-1)] (D[fun f x=if x=0 then c else f(x-1); val x=e[x]u]{c=1})= (*) E[if x=0 then c else f(x-1)]{x=α, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})}= E[c]u=u(c)=1, falls E[x=0]u=wahr, d.h., u(x)=0, { E[f(x-1)]u, sonst

266 Semantik von µml - Beispiel 2 Hierbei ist wie oben: (**) E[f(x-1)]u=E[if x=0 then c else f(x-1)] (D[fun f x=if x=0 then c else f(x-1); val x=e[x-1]u]υ(u(f)))= E[f(x-1)]u=E[if x=0 then c else f(x-1)] (D[fun f x=if x=0 then c else f(x-1); val x=e[x-1]u]{c=1})= E[if x=0 then c else f(x-1)]{x=α-1, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})}

267 (***) { Semantik von µml - Beispiel 2 Betrachte nun (*) und (**): E[if x=0 then c else f(x-1)]u= 1, falls u(x)=0, E[if x=0 then c else f(x-1)]{x=α-1, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})}, sonst. Setzt man zur Abkürzung: F:=E[if x=0 then c else f(x-1)], G:=D[val x=x-1)] u:={x=α, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})} so geht (***) über in 1, falls u(x)=0 { F(u)= F(G(u)), sonst.

274 (***) { Semantik von µml - Beispiel 2 Betrachte nun (*) und (**): E[if x=0 then c else f(x-1)]u= 1, falls u(x)=0, E[if x=0 then c else f(x-1)]{x=α-1, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})}, sonst. Setzt man zur Abkürzung: F:=E[if x=0 then c else f(x-1)], G:=D[val x=x-1)] u:={x=α, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})} so geht (***) über in 1, falls u(x)=0 { F(u)= F(G(u)), sonst. F gesucht! G, u bekannt

276 Semantik von µml - Beispiel 2 F ist implizit definiert, G, u bekannt: 1, falls u(x)=0 { Funktionalgleichung F(u)= F(G(u)), sonst. Analogien:

277 Semantik von F µml beschreibt - Beispiel Semantik 2 des Programms; F ist F ist implizit definiert, G, zu u ermitteln bekannt: 1, falls u(x)=0 { F(u)= F(G(u)), sonst. Analogien: Funktionalgleichung

278 Semantik von µml - Beispiel 2 F ist implizit definiert, G, u bekannt: 1, falls u(x)=0 { Funktionalgleichung F(u)= F(G(u)), sonst. Analogien:

279 Semantik von µml - Beispiel 2 F ist implizit definiert, G, u bekannt: 1, falls u(x)=0 { F(u)= F(G(u)), sonst. Analogien: x implizit x+3=2x-5 Lösung: x=8 Funktionalgleichung

280 Semantik von µml - Beispiel 2 F ist implizit definiert, G, u bekannt: 1, falls u(x)=0 { F(u)= F(G(u)), sonst. Analogien: x implizit x+3=2x-5 Lösung: x=8 f implizit f(2x)=2f(x) Lösungen: f(x)=0 f(x)=x... Funktionalgleichung

281 Semantik von µml - Beispiel 2 F ist implizit definiert, G, u bekannt: 1, falls u(x)=0 { F(u)= F(G(u)), sonst. Analogien: x implizit x+3=2x-5 Lösung: x=8 f implizit f(2x)=2f(x) Lösungen: f(x)=0 f(x)=x... Funktionalgleichung f implizit f(x+y)=f(x)f(y) Lösungen: f(x)=0 f(x)=e x...

282 Semantik von µml - Beispiel 2 F ist implizit definiert, G, u bekannt: 1, falls u(x)=0 F(u)= { F(G(u)), sonst. Probleme: Gibt es Funktionen F, die die Gleichung erfüllen? D.h. kann man dem Programm eine Bedeutung zuordnen? Das wäre schön. Gibt es evtl. mehrere Lösungen? D.h. kann das Programm mehrere Bedeutungen haben? Das wäre nicht schön.

283 Semantik von µml - Beispiel 2 Genauere Analyse und Schlüsselidee: Gleichung 1, falls u(x)=0 { F(u)= F(G(u)), sonst. ist eine Fixpunktgleichung der Form F=τ(F) mit 1, falls u(x)=0 τ(f)(u)= { F(G(u)), sonst. Problemabwandlung: Unter welchen Bedingungen besitzt τ Fixpunkte? Sind sie eindeutig bestimmt?

284 Einschub Fixpunkte - Beispiele

285 Einschub Fixpunkte - Beispiele vollkommene Zahlen: f(n)=summe der Teiler von n Fixpunkte: f(6)=1+2+3=6 f(28)= =28

286 Einschub Fixpunkte - Beispiele vollkommene Zahlen: Fixpunkte: f(n)=summe der Teiler von n Heron-Verfahren: x=f(x) mit 1. a Fixpunkt: f( a)= a f(6)=1+2+3=6 f(28)= =28 f(x)=(x+a/x)/2 2. Berechnung: f n (x0) a für n, x0 Startwert, z.b. x0=1

287 Fixpunktberechnung - Idee Übertragung des Heron-Verfahrens auf Fixpunktgleichungen der Form F=τ(F) mit 1, falls u(x)=0 τ(f)(u)= { F(G(u)), sonst. Explizite Berechnung des Fixpunktes F*: τ n (F0) F* für n, F0 Startwert (F0= )

288 Fixpunktberechnung - Beispiel vorweg

289 Fixpunktberechnung - Beispiel vorweg fun f x = if x=0 then c else f(x-1); kurz: f(x)=τ(f)(x)

290 Fixpunktberechnung - Beispiel vorweg fun f x = if x=0 then c else f(x-1); kurz: f(x)=τ(f)(x) Berechne: τ n ( ) für n

291 Fixpunktberechnung - Beispiel vorweg fun f x = if x=0 then c else f(x-1); kurz: f(x)=τ(f)(x) Berechne: τ n ( ) für n τ( )(x)=if x=0 then c else (x-1) =if x=0 then c else

292 Fixpunktberechnung - Beispiel vorweg fun f x = if x=0 then c else f(x-1); kurz: f(x)=τ(f)(x) Berechne: τ n ( ) für n τ( )(x)=if x=0 then c else (x-1) =if x=0 then c else τ 2 ( )(x)=τ(if x=0 then c else )(x) =if x=0 then c else (if x=0 then c else )(x-1) =if x=0 then c else (if x-1=0 then c else ) =if x=0 then c else if x=1 then c else

293 Fixpunktberechnung - Beispiel vorweg fun f x = if x=0 then c else f(x-1); kurz: f(x)=τ(f)(x) Berechne: τ n ( ) für n τ( )(x)=if x=0 then c else (x-1) =if x=0 then c else τ 2 ( )(x)=τ(if x=0 then c else )(x) =if x=0 then c else (if x=0 then c else )(x-1) =if x=0 then c else (if x-1=0 then c else ) =if x=0 then c else if x=1 then c else τ 3 ( )(x)=τ(if x=0 then c else )(x) =... =if x=0 then c else (if x-1=0 then c else ) =if x=0 then c else if x=1 then c else if x=2 then c else

294 Fixpunktberechnung - Beispiel vorweg fun f x = if x=0 then c else f(x-1); kurz: f(x)=τ(f)(x) Berechne: τ n ( ) für n τ( )(x)=if x=0 then c else (x-1) =if x=0 then c else τ 2 ( )(x)=τ(if x=0 then c else )(x) =if x=0 then c else (if x=0 then c else )(x-1) =if x=0 then c else (if x-1=0 then c else ) =if x=0 then c else if x=1 then c else τ 3 ( )(x)=τ(if x=0 then c else )(x) =... =if x=0 then c else (if x-1=0 then c else ) =if x=0 then c else if x=1 then c else if x=2 then c else τ n ( )(x)=if 0 x<n then c else

295 Fixpunktberechnung - Beispiel vorweg τ n ( )(x)=if 0 x then c else für n Ergebnis: Die von fun f x = if x=0 then c else f(x-1) berechnete Funktion, d.h. die Semantik von f lautet: f(x)= { c, falls x 0, sonst.

296 Fixpunktberechnung - Vorbereitung 1. Quell- und Zielbereich von F und τ untersuchen 2. Bereichen Struktur aufprägen; Abstände 3. Einschränkungen an F und τ formulieren 4. Existenz, Eindeutigkeit des Fixpunktes klären und Berechnungsverfahren analysieren Dana Scott: Outline of a mathematical theory of computation, 1970: vollständige Verbände; vollständige partielle Ordnungen (cpo)

297 Fixpunktberechnung - cpos Intuition Bereiche: Typen int, bool,... (vervollständigt!) τ operiert auf Funktionen über diesen Typen Ordne Funktionen nach Grad der Definiertheit: f g: g ist an mehr Stellen definiert als f und wo beide definiert, da sind sie gleich f für alle f

298 Fixpunktberechnung Fordere Abschlußeigenschaft: Ketten x1 x2 x3... besitzen ein Supremum (kleinste obere Schranke) Fordere Monotonie und Stetigkeit von τ: f g => τ(f) τ(g) Beweisbar: Ex. Fixpunkt der Gleichung F=τ(F) Der kleinste Fixpunkt F0 (bezgl. ) ist eindeutig. F0 läßt sich einfach berechnen als Grenzwert F0=limn τ n ( )

299 Fixpunktberechnung - Fixpunktsatz Satz: (Fixpunktsatz von Kleene) Sei (M, ) eine vollständige partielle Ordnung und τ: M M eine stetige Funktion. Dann besitzt τ einen bezgl. der Ordnung kleinsten Fixpunkt F0, und es gilt F0=limn τ n ( ). O. Beweis: In unseren Beispielen mit µml sind Voraussetzungen erfüllt und Fixpunktsatz anwendbar.

300 Fixpunktberechnung - prakt. Verfahren 1. Schritt: Setze x0:=. 2. Schritt: Wiederhole für n=0,1,2,... xn+1 τ(xn). Gilt irgendwann xr=xr+1, so ist xr=f0 gesuchter kleinster Fixpunkt. Tritt dieser Fall nicht ein, so approximiert der Zwischenwert xn den gesuchten kleinsten Fixpunkt beliebig genau. Grenzwertbetrachtungen nötig: F0=limn xn

301 Fixpunktberechnung - Anwendung Folglich besitzt die implizite Fixpunktgleichung E[if x=0 then c else f(x-1)]u= 1, falls u(x)=0, E[if x=0 then c else f(x-1)]{x=α-1, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})}, sonst. { nach dem Satz von Kleene einen eindeutig bestimmten kleinsten Fixpunkt, der die Bedeutung von E[if x=0 then c else f(x-1)] und damit des gesamten Programms definiert.

302 Fixpunktberechnung - Anwendung Setzt man zur Abkürzung: F:=E[if x=0 then c else f(x-1)], G:=D[val x=x-1)] u:={x=α, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})} dann ist folgende Gleichung zu lösen: 1, falls u(x)=0 { F(u)= = τ(f)(u) F(G(u)), sonst. {

303 Fixpunktberechnung - Anwendung Wende Satz von Kleene an und rechne: 1, falls u(x)=0 1, falls α=0 τ( )(u)= = { { (G(u)), sonst., sonst.

304 Fixpunktberechnung - Anwendung { { 1, falls u(x)=0 1, falls α=0 τ 2 ( )(u)= = 1, falls G(u)(x)=0 τ( )(G(u)), sonst. (G(G(u)), sonst. Hierbei ist G(u)=D[val x=x-1]u=u+{x=e[x-1]u}=u+{x=e[x-1]u-1} =u+{x=α-1} ={x=α-1, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})} und folglich G(u)(x)=α-1. Also gilt: 1, falls α=0 τ 2 ( )(u)= 1, falls α=1 {, sonst.

305 Fixpunktberechnung - Anwendung { { 1, falls u(x)=0 1, falls α=0 τ 2 ( )(u)= = 1, falls G(u)(x)=0 τ( )(G(u)), sonst. (G(G(u)), sonst. Hierbei ist G(u)=D[val x=x-1]u=u+{x=e[x-1]u}=u+{x=e[x-1]u-1} =u+{x=α-1} ={x=α-1, c=1, f=(x, if x=0 then τ c else war für f(x-1),{c=1})} einen und folglich G(u)(x)=α-1. Wert α=0 definiert, Also gilt: τ 2 schon für zwei 1, falls α=0 α=0 und α=1 τ 2 ( )(u)= 1, falls α=1 {, sonst.