Technische Mathematik Ausgabe für gewerblich-technische Berufe

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Herbert Amsel
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1 Bildungswerk der Bayerischen Wirtschaft ggmbh Seminar Technische Mathematik Ausgabe für gewerblich-technische Berufe Kursbegleitende Unterlagen Auflage Nr. 1 Technische Fachkurse Köck

2 Copyright Technische Fachkurse Köck Autoren: Mona Off, LMU München, Mathematik und Wirtschaftspädagogik Manfred Köck, Dipl.-Ing. Alle Rechte liegen bei den Technischen Fachkursen Köck. Jede Verbreitung und Vervielfältigung dieses Werks durch welches Medium auch immer ist untersagt. Wir bitten Sie auch um das Einhalten der Urheberrechte, damit auch weitere Auszubildende in der Zukunft von unserer Arbeit profitieren können. TFK 2015

3 Seminar Technische Mathematik Prüfungsorientiert für IHK-Prüfung Teil 1, Fachrichtung Metalltechnik Kurskonzept Das hier vorliegende Konzept ist bis jetzt einmalig in Aufbau und Struktur. Sie erarbeiten sich mit dem Dozenten von dem Bereich Grundlagen der Mathematik bis hin zu den fachspezifischen Aufgaben optimale Lösungsstrategien. Sie stabilisieren Ihr Wissen mittels themenbezogenen Übungsaufgaben für jedes Lernfeld, d.h. im Einzelnen: Zu allen wesentlichen Inhalten der Aufgabenthemen wird mit dem Dozenten jeweils mindestens eine Aufgabe ausführlich besprochen und erläutert in Bezug auf die optimale Lösungsstrategie (Lösungsweg, Erläuterungen, Regeln, beachte! merke!) anschließend wird vom Teilnehmer mindestens eine Aufgabe selbstständig bearbeitet mit anschließender ausführlicher Besprechung des Lösungsweges und der Ergebnisse Zusätzlich haben Sie Aufgaben zum selbstständigen Bearbeiten Am Ende der ersten drei Kapitel befinden sich Wiederholungsaufgaben. Diese beinhalten die verschiedenen Themenbereiche des vorherigen Kapitels. Lösungsstrategie mittels methodischer Analyse. Die folgende Vorgehensweise bei Lösungen von mathematischen Aufgaben ist bei allen Aufgabentypen empfehlungswert. 1 Aufgabentext lesen langsam, gründlich 2 Zweites Mal Aufgabentext lesen und analysieren welche Größen sind gegeben? welche gesucht? 3 Erkenntnisse der Analyse aufschreiben gegebene Größen:. Lösung:. gesuchte Größen 4 Berechnung mittels Tabellenbuch, eventuell mit gegebenen Kennlinien, Diagrammen als "Ganzes", den Lösungsweg erkennen, Strategie festlegen 5 Ergebnis beurteilen Ergebnis beurteilen im Kontext zur Aufgabenstellung und den gegebene Werten Ist das Ergebnis realistisch und sinnvoll?

4 Inhalt 1. Mathematische Grundlagen Elektronische Taschenrechner Grundrechenarten Rechengesetze Vorzeichenregeln Rechnen mit Brüchen Erweitern/Kürzen Addition/Subtraktion Multiplikation/Division Vorzeichen und Schreibweisen Potenzen und Wurzeln Potenzgesetze Wurzelrechnung Formeln und Gleichungen Äquivalenzumformung Umstellen und Auflösen von Formeln Der einfache Dreisatz Der umgekehrte Dreisatz Prozentrechnung Funktionen Rechnen am Dreieck Satz des Pythagoras Trigonometrie Wiederholungsaufgaben Physikalische Grundlagen Kreis Flächen Volumen und Masse Volumen Masse Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit gleichförmige Bewegung kreisförmige Bewegung Kräfte... 45

5 2.6. Moment und Hebel Mechanische Arbeit Mechanische Leistung Wiederholungsaufgaben Elektrotechnische Grundlagen Umrechnen von Einheiten Stromstärke, Ladung und elektrische Spannung Elektrischer Widerstand Das Ohmsche Gesetz Schalten von Widerständen Reihenschaltung Parallelschaltung komplizierte Schaltungen Elektrische Arbeit und Leistung Wärmeenergie Wiederholungsaufgaben Prüfungsorientierte Aufgaben Masse, Volumen, Dichte und Fläche Fräsen, Bohren, Drehen und Reiben... 80

6 1. Mathematische Grundlagen 1.1. Elektronische Taschenrechner 1

1.2. Grundrechenarten 1.2.1. Rechengesetze Kommutativgesetz: (Vertauschungsgesetz) Assoziativgesetz: (Verbindungsgesetz) Distributivgesetz: (Verteilungsgesetz) Sowohl bei der Addition als auch bei

7 1.2. Grundrechenarten Rechengesetze Kommutativgesetz: (Vertauschungsgesetz) Assoziativgesetz: (Verbindungsgesetz) Distributivgesetz: (Verteilungsgesetz) Sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation können die Glieder eines Rechenterms vertauscht werden. Für alle Zahlen gilt: ++ oder Bei der Addition und Multiplikation können die Glieder eines Rechenterms beliebig durch Klammern zusammengefasst werden. Für alle Zahlen gilt: oder Jede Zahl innerhalb der Klammer wird mit dem Faktor multipliziert. Dies gilt auch für die Division. Der Term in der Klammer kann eine Summe oder eine Differenz sein. Durch die Zahl 0 darf nicht geteilt werden! Die Umkehrung des Distributivgesetzes nennt man Ausklammern. Für alle Zahlen gilt: + + oder + + Durch die Rechengesetze können Terme leichter berechnet werden. Bei komplexeren Termen gilt die Regel: Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich. Die Zahl 0 ändert bei der Addition den Wert der Summe nicht. Bei der Multiplikation mit der Zahl 1 ändert sich der Wert des Produkts nicht. Ein Produkt mit der Zahl 0 hat den Wert 0. Aufgabenbeispiel: Berechnen Sie geschickt, indem Sie die Rechengesetze verwenden: Lösung: 1. Kommutativgesetz: Ausklammern: Differenz berechnen und multiplizieren: Aufgaben: 1) Wenden Sie das Kommutativgesetz an und berechnen Sie die Terme b) c)

8 2) Wenden Sie das Assoziativgesetz an und berechnen Sie die Terme b) c) ) Wenden Sie das Distributivgesetz an und berechnen Sie die Terme b) c) ) Berechnen Sie geschickt und geben Sie an welche Rechengesetze Sie verwendet haben: b) c) d) e) f)

9 Vorzeichenregeln Addition und Subtraktion: Bei gleichen Vorzeichen addiere die Beträge und gib der Summe das gemeinsame Vorzeichen. Ziehe bei verschiedenen Vorzeichen den kleineren Betrag von dem Größeren ab und gib anschließend der Differenz das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag. Multiplikation und Division: Ist das Vorzeichen gleich, ist das Produkt positiv. Bei unterschiedlichen Vorzeichen ist das Produkt negativ. Das Gleiche gilt für die Division. Vorzeichen vor Klammern: Steht ein + vor der Klammer, ändern sich die Vorzeichen nicht. Bei einem vor der Klammer, müssen alle Vorzeichen in der Klammer umgekehrt werden. Aufgabenbeispiel: Berechnen Sie: Lösung: 1. Kommutativgesetz: Vorzeichen beachten: Addition bei zwei negativen Zahlen: Multiplikation bei unterschiedlichen Vorzeichen: Addition bei zwei negativen Zahlen: 172 Aufgaben: 1) Berechnen Sie. 3+7 b) c) d) e) f) g)

10 2) Fassen Sie soweit wie möglich zusammen. 8 5 b) c) d) +4 2 e) f) y 9 x+5 g) Rechnen mit Brüchen Erweitern/Kürzen Durch das Erweitern und Kürzen von Brüchen ändert sich der Wert des Bruches nicht. Erweitern: Zähler und Nenner werden mit Kürzen: Zähler und Nenner werden durch derselben Zahl multipliziert, kurz: dieselbe Zahl geteilt, kurz: Aufgabenbeispiel: Erweitern Sie auf den gegebenen Nenner:! "" Lösung: 1. Kürze zuerst mit 12: 2. Erweitere anschließend: Aufgaben:! # # # "" 1) Erweitern Sie auf einen (möglichst kleinen) gemeinsamen Nenner der beiden Brüche. Welcher der beiden Brüche ist größer? # $ und)! b) # $ und! * c) # und + # 5

11 2) Kürzen Sie vollständig. Geben Sie dabei alle Zwischenschritte an. d) #$ ) * )"!" b) e)! )! #!! ))" )* c) f) *# "+ *# +* )*$ $! Addition/Subtraktion Für die Addition und Subtraktion von Brüchen benötigt man den gleichen Nenner der einzelnen Brüche. Den kleinsten gemeinsamen Nenner nennt man Hauptnenner. Den Hauptnenner erhält man durch Erweitern und Kürzen der Brüche. Addition: Haben die Brüche den gleichen Hauptnenner, dann addiert man beide Zähler, kurz:,-. /0 Aufgabenbeispiel: Berechnen Sie den folgenden Term: 7 * " ) Lösung: 1. Wandle die ganze Zahl in einen Bruch um: Subtraktion: Haben die Brüche den gleichen Hauptnenner, dann subtrahiert man beide Zähler, kurz:,1. /0 7 * " ) + * " ) 2. Erweitere auf den Hauptnenner 20: + " " * " ) # # 3. Fasse zusammen: "1*1# " $ * " # Aufgaben: 1) Berechnen Sie die folgenden Terme. ) b) # + $ c) 8+ + $ 6

12 2) Fassen Sie soweit wie möglich zusammen b) $4 5 4 c) ) + # Multiplikation/Division Bei der Multiplikation werden die Zähler und Nenner multipliziert, kurz: 9 9 Bei der Division wird der Bruch hinter dem : - Zeichen umgedreht und dann werden beide Brüche multipliziert, kurz: 9 9 Man nennt dieses Verfahren Multiplikation mit dem Kehrwert. Aufgabenbeispiel: Berechnen Sie den folgenden Term: Lösung: 1. Wandle die ganze Zahl in einen Bruch um: Multipliziere mit dem Kehrwert. Beachte vielleicht kann man kürzen: 3. Der Doppelbruch ist ein Bruch geteilt durch einen Bruch, d.h.: Multipliziere mit dem Kehrwert! Aufgaben: 1) Berechnen Sie die folgenden Terme. # ) b) # ) c) 18 )# 7

13 2) Fassen Sie soweit wie möglich zusammen. $,. #+ )!:2!, b) )$.,. :2 *2 c),. ;, +. < 3) Berechnen Sie die Doppelbrüche. >? ; >A -> B < ;? 1A A? < > c) ; A C -> D < 8

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