Grundlagen der Mathematik

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1 Universität Hamburg Winter 016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 6 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P9) Die Ordnung der natürlichen Zahlen I Wir hatten in der Vorlesung die Ordnung der natürlichen Zahlen folgendermassen definiert: n < m : k N : m = n + k. In dieser Aufgabe sollen Sie mit Hilfe dieser Definition und der Exklusivität der Alternativen n < m, n = m oder n > m die folgende Behauptung aus der Vorlesung beweisen: Zu keiner natürlichen Zahl n gibt es eine natürliche Zahl m mit n < m < n + 1. a) Formulieren Sie diese Aussage als logische Formel. Vielleicht müssen Sie den Satz zuerst sprachlich anders formulieren (natürlich ohne den Wahrheitsgehalt zu ändern). Bemerkung: Hier könnte die Tautologie ( (A B)) (A = ( B)) hilfreich sein. Können Sie diese beweisen? Hier sind zwei mögliche Umformulierungen: Es stimmt nicht, dass es natürliche Zahlen n und m gibt, so dass n < m < n+1. Für alle natürlichen Zahlen n und m gelten nicht gleichzeitig die beiden Ungleichungen n < m und m < n + 1. Die entsprechenden logischen Formeln lauten und ( n N m N : n < m < n + 1) n N m N : (n < m und m < n + 1). Mit der Bemerkung kann man dies umformen zu n N m N : (n < m) = (m n + 1). Bitte wenden!

2 b) Beweisen Sie die Aussage mit Hilfe der Definition und der aus der Vorlesung bekannten Eigenschaften der Addition. Seien n und m natürliche Zahlen mit n < m. nach Definition gibt es dann eine natürliche Zahl k mit m = n+k. Ist k = 1, so gilt m = n+1. Ist k 1, so gibt es ein l N mit k = l+1, und somit gilt m = n+(l+1) = n+(1+l) = (n+1)+l. Also ist in diesem Fall m > n + 1. Wir haben also gezeigt: aus n < m folgt m n + 1. (P10) Die Ordnung der natürlichen Zahlen II Beweisen Sie mit Hilfe der in der Vorlesung formulierten Definitionen und Aussagen folgende Implikationen für alle natürlichen Zahlen a, b, c N: a) Aus a < b und b < c folgt a < c. Da a < b gibt es ein k N mit b = a + k. Da b < c gibt es ein l N mit c = b + l. also folgt c = (a + k) + l = a + (k + l), d.h. a < c wie behauptet. b) Aus a < b folgt a + c < b + c. Da a < b gibt es ein k N mit b = a + k. Dann folgt aber b + c = (a + k) + c = (a + c) + k, also a + c < b + c. c) Aus a < b folgt ac < bc. Da a < b gibt es ein k N mit b = a + k. Dann folgt aber bc = (a + k)c = ac + kc, also ac < bc. d) Aus a + c = b + c folgt a = b. Hier benutzen wir Induktion nach c. Für c = 1 ist die Behauptung gerade die Aussage, dass die Nachfolgerabbildung x x + 1 injektiv ist, was laut Axiom (P1) wahr ist. Die Induktionsvoraussetzung ist nun, dass aus a + c = b + c auch a = b folgt. Im Induktionsbeweis nehmen wir an, dass a + (c + 1) = b + (c + 1), und folgern daraus zunächst mit Hilfe der Assoziativität der Addition (a + c) + 1 = (b + c) + 1. Mit der Injektivität der Nachfolgerabbildung erhalten wir dann auch a + c = b + c. Hieraus folgt mit der Induktionsvoraussetzung auch a = b. Dies beweist den Induktionsschritt. e) Aus ac = bc folgt a = b. Wir beweisen diese Aussage durch Kontraposition, d.h. wir zeigen: gilt a b, so folgt ac bc. O.B.d.A können wir dabei annehmen, dass a < b, und erhalten aus Aussage c) dann auch ac < bc, also ac bc wie gewünscht. Siehe nächstes Blatt!

3 Übungsaufgaben mit Abgabetermin Mo, , zu Beginn der Vorlesung (A14) Endliche Mengen und die Addition (++++4 Punkte)+(3 Bonus) Kinder lernen die Addition vermutlich zunächst in einem sehr praktischen Kontext: Wenn man disjunkte endliche Mengen (Bonbons? Sammelkarten?) vereinigt, so ist die Kardinalität der Vereinigung die Summe der Kardinalitäten der einzelnen Mengen. Definition: Zwei Mengen M 1 und M heißen disjunkt, wenn M 1 M =, d.h. wenn sie kein Element gemeinsam haben. Allgemeiner sei für jedes n N eine Menge M n gegeben. Man nennt die Mengen M n paarweise disjunkt, falls i, j N : i j = M i M j =. a) Beweisen Sie: Sind M 1 und M zwei endliche Mengen, so gilt M 1 M = M 1 + M M 1 M. (*) Bemerkung: Insbesondere gilt also für disjunkte endliche Mengen M 1 und M M 1 M = M 1 + M. Die Kommutativität der Addition natürlicher Zahlen ist also eine Konsequenz der Kommutativität der Vereinigung von Mengen. Für den Beweis gibt es verschiedene Argumentationsmöglichkeiten: 1. Version: Wenn man das Abzählen der Elemente von M 1 M mit dem Ergebnis vergleicht, welches man erhält, indem man nacheinander die Elemente von M 1 und M zählt, so stellt man fest, dass man bei der zweiten Zählung genau die Elemente von M 1 M doppelt gezählt hat. Dies übersetzt sich gerade in die angegebene Formel.. Version: Wir beweisen die Formel zunächst für den Fall M 1 M =. Gilt M 1 = n und M = m, so können wir die Elemente jeweils nummerieren und erhalten M 1 = {x 1, x,..., x n } M = {y 1, y,..., y m }. Dann gilt aber M 1 M = {x 1, x,..., x n, y 1, y,..., y m }, d.h. M 1 M = n+m = M 1 + M wie behauptet. Im allgemeinen schreiben wir M 1 = (M 1 M ) (M 1 \ M ) M = (M 1 M ) (M \ M 1 ). Setzen wir a := M 1 M, b := M 1 \ M und c := M \ M 1, so folgt mit unserer ersten Überlegung M 1 = a + b und M = a + c. Andererseits wissen wir also M 1 M = M 1 (M \ M 1 ), M 1 M = (a + b) + c = (a + b) + (a + c) c = M 1 + M M 1 M. Bitte wenden!

4 b) Geben Sie je ein Beispiel für eine Folge (M n ) n N von Teilmengen M n N an, die paarweise disjunkt sind. Hier sind einige Beispiele: Für jedes n N setzen wir M n = {n}. Für jedes n N setzen wir M n := {n, n + 1}. Für jedes n N setzen wir M n := {3 n, 5 n, 7 n }. Für jedes n N setzen wir M n := {n,..., (n + 1) 1}, d.h. also M 1 = {1,, 3}, M = {4, 5, 6, 7, 8} usw. nicht paarweise disjunkt sind. Auch hier geben wir mehrere Beispiele: Für jedes n N setzen wir M n = {1,,..., n}. Dann gilt für alle n, m N die Beziehung M n M m. Für n = 1 setzen wir M 1 = N, für jedes n 1 setzen wir M n := {n}. Dann gilt für alle n N die Beziehung M n M 1. Für n = 1 setzen wir M 1 = {1, }, für jedes n 1 setzen wir M n := {n}. Dann gilt M 1 M = {} =, aber alle anderen Mengen sind paarweise disjunkt. Ein Gegenbeispiel genügt aber, damit die Bedingung für die gesamte Folge verletzt ist. c) Beweisen Sie: Ist n N und sind M 1,M,...,M n+1 beliebige Mengen, so gilt (M 1 M M n ) M n+1 = (M 1 M n+1 ) (M M n+1 ) (M n M n+1 ). Wir beweisen dies mit vollständiger Induktion über n, beginnend mit n =. Für n = ist die Aussage gerade das Distributivgesetz (M 1 M ) M 3 = (M 1 M 3 ) (M M 3 ) für die Mengenoperationen, welches wir in der Vorlesung erwähnt hatten. Gilt die Aussage für n N, und sind n + Mengen M 1,M,... M n+1,m n+ gegeben, so schreiben wir (M 1 M... M n+1 ) M n+ = ((M 1 M... M n ) M n+1 ) M n+ = ((M 1 M... M n ) M n+ ) (M n+1 M n+ ) IV = (M1 M n+1 ) (M M n+1 ) (M n M n+1 ) (M n+1 M n+ ), wobei wir im zweiten Schritt das Distributivgesetz (d.h. den Induktionsanfang) benutzt haben. Siehe nächstes Blatt!

5 d) Beweisen Sie: Satz (Additivität von Kardinalitäten): Ist für jedes n N eine endliche Menge M n gegeben und sind die Mengen M n paarweise disjunkt, so gilt für jedes n N M 1 M M n = M 1 + M + + M n. Bemerkung: Auch die Assoziativität der Addition natürlicher Zahlen kann also als Konsequenz der Assoziativität der Vereinigung von Mengen betrachtet werden. Auch diese Aussage beweisen wir mit Induktion nach n. Für n = 1 ist die Aussage trivial. Wir nehmen im Induktionsschritt an, dass die Aussage für n richtig ist, und bemerken zunächst, dass wegen Teil c) die Vereinigung M 1 M... M n disjunkt von der Menge M n+1 ist, da ja nach Voraussetzung alle einzelnen Mengen M k mit 1 k n disjunkt von M n+1 sind. Also gilt M 1 M M n+1 = (M 1 M M n ) M n+1 = M 1 M M n + M n+1 IV = M1 + M + + M n + M n+1, wobei wir im zweiten Schritt Teil a) verwendet haben. e) Von 3 Schülerinnen und Schülern einer Klasse spielen 11 Fußball, 6 Handball und 7 Basketball; 3 von ihnen spielen Fußball und Handball, Handball und Basketball, 3 nur Basketball und 1 Schülerin betreibt alle drei Sportarten. (i) Wieviele Schülerinnen und Schüler spielen Fußball und Basketball? (ii) Wieviele Schülerinnen und Schüler spielen nur Fußball? (iii) Wieviele Schülerinnen und Schüler spielen nur Handball? (iv) Wieviele Schülerinnen und Schüler betreiben keine der drei Sportarten? Wir benutzen die Formeln aus Teil a) und Teil d), wobei wir mit M 1 die Menge der Fußball spielenden, mit M die Menge der Handball spielenden, mit M 3 die Menge der Basketball spielenden sowie mit K die Menge aller Schülerinnen und Schüler der Klasse bezeichnen. Für die Berechnung wollen wir diese Mengen als disjunkte Vereinigungen schreiben wollen. Dazu führen wir folgende Bezeichnungen ein: A := M 1 M M 3, B := (M 1 M ) \ M 3, C := (M 1 M 3 ) \ M, D := (M M 3 ) \ M 1, E := M 1 \ (M M 3 ), F := M \ (M 1 M 3 ), G := M 3 \ (M 1 M ), H := K \ (M 1 M M 3 ). Bitte wenden!

6 Für die folgenden Überlegungen ist es sinnvoll, das entsprechende Mengen-Diagramm zu skizzieren. Wir wissen M 1 = A B C E, M = A B D F und M 3 = A C D G, wobei die Vereinigungen jeweils disjunkt sind. Wenn wir nun die Kardinalität jeder Menge mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnen, so wissen wir aus der Aufgabenstellung k = 3, m 1 = 11, m = 6, m 3 = 6, a + b = 3, a + d =, g = 3 und a = 1. Aus a = 1 und a + b = 3 folgt b =, und aus a = 1 und a + d = folgt d = 1. Da wir nun a, b und d kennen, erhalten wir aus m = 6 dass f =. Da wir auch a, d und g kennen, erhalten wir aus m 3 = 7 auch c =. Hieraus folgt mit m 1 = 11, dass e = 6. Wegen M 1 M M 3 = M 1 D F G erhalten wir also, dass insgesamt = 17 Schülerinnen und Schüler mindestens eine Sportart betreiben, so dass also h = k 17 = 6 gilt. Die Antworten auf die 4 Fragen lauten also: (i) Die Anzahl der Fußball und Basketball spielenden Schülerinnen und Schüler ist a + c, also 3. (ii) Die Anzahl der nur Fußball spielenden Schülerinnen und Schüler ist gleich e, also 6. (iii) Die Anzahl der nur Handball spielenden Schülerinnen und Schüler ist f, also. (iv) Die Anzahl der Schülerinnen und Schüler, die keine der drei Sportarten betreiben, ist h, also 6. f) (Bonus) Formulieren und beweisen Sie die zu (*) analoge allgemeine Formel für die Kardinalität der Vereinigung von drei endliche Mengen M 1, M und M 3. Wir benutzen die Formel (*) aus Teil a) und erhalten M 1 M M 3 = (M 1 M ) M 3 = M 1 M + M 3 (M 1 M ) M 3 = M 1 M + M 3 (M 1 M 3 ) (M M 3 ) = M 1 M + M 3 ( M 1 M 3 + M M 3 M 1 M M 3 ) = M 1 + M + M 3 M 1 M M 1 M 3 M M 3 + M 1 M M 3. Siehe nächstes Blatt!

7 (A15) Weitere Induktionsbeweise (+3+3 Punkte) a) Beweisen Sie für eine reelle Zahl h 1 und jede natürliche Zahl n N die Ungleichung (1 + h) n 1 + nh. Wir führen einen Induktionsbeweis über n. IA: Für n = 1 gilt die Ungleichung trivialerweise. Induktionsschritt: IV: (1 + h) n 1 + nh IBeh: (1 + h) n (n + 1)h IBew: Es gilt (1+h) n+1 = (1+h) n (1+h) IV +(P 10)c) (1+nh)(1+h) = 1+(n+1)h+h 1+(n+1)h. Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt nun die behauptete Aussage für alle n N. b) Beweisen Sie, dass die Summe der ersten n Kubikzahlen für jedes n N eine Quadratzahl ist. Wir überlegen uns zunächst, welche Quadratzahl wir als Summe der ersten n Kubikzahlen erwarten. Dazu berechnen wir 1 3 = 1, = 9 = 3, = 36 = 6, = 100 = 10. Dies führt uns auf die Vermutung n ( ) n(n + 1) k 3 =. Diese Aussage beweisen wir mit Induktion über n. IA: Für n = 1 gilt die Aussage offenbar, denn 1 = ( ) 1. Induktionsschritt: n ( ) n(n + 1) IV: k 3 =. n+1 ( ) (n + 1)(n + ) IBeh: k 3 =. IBew: Es gilt n+1 k 3 = n ( ) k 3 + (n + 1) 3 IV n(n + 1) = + (n + 1) 3 = n (n + 1) 4 = (n + ) (n + 1) 4 + (n + 1)(n + 1) = n (n + 1) + (4n + 4)(n + 1) 4 ( ) (n + 1)(n + ) =. Bitte wenden!

8 Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt nun die behauptete Aussage für alle n N. c) Bestimmen Sie die Menge aller natürlichen Zahlen n N, für die n 3n + 1 gilt (natürlich mit Beweis). Wieder betrachten wir zunächst kleine n N, um eine Vermutung aufzustellen. n n n Anhand dieser Beispiele vermuten wir folgende Aussage: Für alle n 4 gilt n 3n + 1. Auch diese Aussage beweisen wir mit vollständiger Induktion über n. IA: Den Induktionsanfang n = 4 entnehmen wir unserer Tabelle. Induktionsschritt: IV: n 3n + 1 für ein n N. IBeh: n+1 3(n + 1) + 1. IBew: Wir schätzen wie folgt ab: n+1 = n IV (3n + 1) = 3(n + n) + n>1 > 3(n + 1) + 1. Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt also die behauptete Ungleichung für alle n 4. Bemerkung: Man beachte: obwohl der Induktionsschritt für alle n N funktioniert, gilt die Aussage nur für n 4, denn n = 4 ist der kleinste Wert, der für den Induktionsanfang verwendbar ist.