Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra

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1 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra Institut für Reine Mathematik WS 2009/10 & SS 2010 Kapitel 1. Vektorräume Was ist ein Vektorraum? Sei X und K ein Körper. Wie macht man Abb (X, K) zu einem K -Vektorraum? Was ist S für eine Teilmenge S V eines Vektorraums V? Wann heißt ein System von Vektoren linear unabhängig? Was ist ein Erzeugendensystem eines Vektorraums? Was ist eine Basis? Was ist ein minimales Erzeugendensystem eines Vektorraums? Wann ist ein System eine maximal linear unabhängige Teilmenge in einem Vektorraum? Was besagt der Basisaustauschsatz? Was besagt der Basisergänzungssatz? Was besagt der Basisauswahlsatz? Was ist die Dimension eines Vektorraums? Warum ist sie wohldefiniert? Was besagt die Dimensionsformel für die Summe von Unterräumen? Was ist die direkte Summe von Unterräumen? Welche Dimension hat der Vektorraum der Polynome vom Grad n? Kapitel 2. Lineare Abbildungen Was ist eine lineare Abbildung? Was ist Ker(φ) und Bi (φ)? Wie kennzeichnet man damit Injektivität bzw. Surjektivität von φ? Wie lautet die Rangformel für lineare Abbildungen? Begründen Sie: Ein Endomorphismus eines endlich dimensionalen Vektorraums ist genau dann injektiv, wenn er surjektiv ist. Es sei dim V = n und dim W = m. Erklären Sie die Beziehung zwischen linearen Abbildungen von V nach W und (m n) -Matrizen. Wie stellt man die darstellende Matrix einer linearen Abbildung auf? Wie lautet die Transformationsformel für darstellende Matrizen? Kapitel 3. Matrizen 1

2 Wie ist das Matrizenprodukt definiert? Welche Beziehung besteht zwischen dem Matrizenprodukt und der Komposition linearer Abbildungen? Was ist der Rang einer Matrix? Welche Beziehung besteht zwischen dem Zeilen- und Spaltenrang? Wie kann man Zeilenumformungen als Matrizenmultiplikation beschreiben? Wie kann man Spaltenumformungen als Matrizenmultiplikation beschreiben? Wann ist eine Matrix invertierbar? Wie invertiert man eine Matrix? Wie berechnet man den Rang einer Matrix? Kapitel 4. Lineare Gleichungssysteme Was ist ein homogenes bzw. inhomogenes lineares Gleichungssystem? Was wissen Sie über den Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems? Wie lautet das Kriterium für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems? Wann ist ein lineares Gleichungssystem eindeutig bzw. universell lösbar? Wie sieht das Rechenverfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen aus? Kapitel 5. Determinanten Was ist eine Determinante? Formulieren Sie den Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Determinanten. Wie verändern sich Determinanten unter Zeilen- bzw. Spaltenumformungen? Kennzeichnen Sie invertierbare Matrizen durch Determinanten. Was sagt die Determinante über die Lösbarkeit eines Gleichungssystems aus? Was besagt die Cramersche Regel? Determinante durch Entwicklung nach der j -ten Spalte bzw. i -ten Zeile. Was ist die Permutationsgruppe zu n Elementen? Wie viele Elemente hat sie? Was ist das Signum einer Permutation? Wie lautet die Determinantenformel nach Leibniz mittels Permutationen? Wie lautet der Determinantenmultiplikationssatz? Wie berechnet man die Determinante einer Blockmatrix? Wie lautet die Determinante der transponierten Matrix? 2

3 Wie definiert man die Determinante eines Endomorphismus? Was ist die komplementäre Matrix? Kapitel 6. Diagonalisierbarkeit Definieren Sie Eigenwert bzw. Eigenvektor eines Endomorphismus. Was ist ein charakteristisches Polynom? Wie berechnet man Eigenwerte? Was ist die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes? Was ist die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes? Welche Beziehung besteht zwischen beiden? Formulieren Sie das Diagonalisierbarkeitskriterium. Wie diagonalisiert man eine Matrix? Was besagt der Satz von Cayley-Hamilton? Was ist das Minimalpolynom? Wie wird Diagonalisierbarkeit über das Minimalpolynom charakterisiert? Welche Teilbarkeitsbeziehungen bestehen zwischen dem Minimalpolynom und dem charakteristischen Polynom? Wie bestimmt man das Format der Jordanschen Normalform zu einem Endomorphismus? 3

4 Kapitel 7. Euklidische Vektorräume Was ist ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum? Was ist ein Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum? Was besagt die Ungleichung von Cauchy-Schwarz? Wie kann man bei Vorgabe einer Basis eine Bilinearform durch eine Matrix darstellen? Beschreiben Sie die Abhängigkeit der Matrixdarstellung von der Auswahl der Basis. Was ist eine Orthonormalbasis eines euklidischen bzw. unitären Vektorraums? Wie konstruiert man eine Orthonormalbasis? Was ist das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum und wie konstruiert man es? Wie kann man anhand der Matrixdarstellung einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum testen, dass sie positiv definit ist? Was ist eine orthogonale Abbildung? Was wissen Sie über Normalformen orthogonaler Abbildungen? Was ist ein selbstadjungierter Endomorphismus eines euklidischen bzw. unitären Vektorraums? Was besagt der Spektralsatz? Was ist ein normaler bzw. positiver Endomorphismus? Was besagt der Diagonalisierungssatz für normale bzw. positive Endomorphismen? Was ist die Polarzerlegung eines Endomorphismus - Satz 7.8.3? Was besagt der Satz über die Hauptachsentransformation? Was besagt der Trägheitssatz von Sylvester? Was ist eine Singulärwertzerlegung und wie sind die Singulärwerte definiert? Was ist eine Moore-Penrose-Inverse und wie findet man diese? Was ist eine Norm auf einem Vektorraum? Welche Beziehung gibt es zwischen den Normen auf dem R n? Geben Sie Beispiele für Matrixnormen? Was ist eine induzierte Matrixnorm? Nennen Sie Eigenschaften! Wie ist exp(a) für eine quadratische Matrix A M(n, C) definiert? Nennen Sie für eine quadratische Matrix A M(n, C) ein hinreichendes und notwendiges Kriterium dafür, dass die Folge (A n ) für n N eine Nullfolge ist. 4

5 Kapitel 8. Duale Vektorräume Wie ist der duale Vektorraum definiert und was ist die kanonische duale Paarung? Was ist die duale Basis zu einer gegebenen Basis? Was ist die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung und wie kann man die Matrixdarstellung der dualen Abbildung berechnen? Wie läuft die kanonische Abbildung V V? In welcher Beziehung stehen Bi(φ), Bi(φ ), Ker(φ) und Ker(φ ) zueinander? In welcher Beziehung stehen rg(φ) und rg(φ )? Kapitel 9. Lineare Ungleichungen Was ist ein affiner Unterraum und was ist eine affine Abbildung? Wie ist die affine Hülle einer Menge definiert? Wie ist der Begriff Konvexität einer Menge definiert? Was ist die konvexe Hülle einer Menge und wir kann man sie darstellen? Wie sind Ecken einer konvexen Mengen definiert? Wie kann man sie charakterisieren? Was besagt der Trennungssatz? Was besagt der Satz von Minkowski? Was sind Polyeder bzw. Polytope? Welche Beziehung besteht zwischen diesen Begriffen? Was besagt der Satz von Carathéodory? Was ist ein konvexer Kegel? Wie ist die Dualitätsbeziehung? Was ist ein konvexer Kegel und was bedeutet endlich erzeugt? Was besagt der Darstellungssatz für Polyeder? Beschreiben Sie die Seitenflächen eines Polyeders! Was ist eine Kante eines Polyeders und wie kann man diese charakterisieren? Beschreiben Sie den theoretischen Ablauf des Simplexverfahrens? Beschreiben Sie den Simplexalgorithmus! Beschreiben Sie das lineare Optimierungsproblem und deren Lösung mit dem Simplexalgorithmus! 5