72 Orthonormalbasen und Konvergenz im quadratischen Mittel

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1 72 Orthonormalbasen und Konvergenz im quadratischen Mittel Orthonormalbasen und Konvergenz im quadratischen Mittel Wir untersuchen nun die Konvergenz von Fourier-Reihen im quadratischen Mittel in Verbindung mit den zugrunde liegenden elementaren Resultaten über Hilberträume. Letztere sind auch für die mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik wichtig (vgl. HM 4). Endlichdimensionale Hilberträume wurden bereits in Abschnitt 5 untersucht, lineare Operatoren auf solchen Räumen in Abschnitt Räume quadratintegrierbarer Funktionen. a) Für eine meßbare Menge A M(R n ) sei L 2 (A) := {f M(A,C) A f(x) 2 dx < } () der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen auf A. b) Wegen 2 fg(x) f(x) 2 + g(x) 2 wird durch f,g := Af(x)g(x)dx (2) ein Halbskalarprodukt auf L 2 (A) definiert mit f,f = 0 f(x) = 0 fast überall. (3) c) Analog zu 56.5 erhält man durch Identifikation fast überall gleicher Funktionen den Raum L 2 (A) := L 2(A) / N(A), (4) auf dem (2) ein Skalarprodukt definiert. d) Im Zusammenhang mit Fourier-Reihen verwendet man auf L 2 [ π,π] an Stelle von (2) meist das Skalarprodukt f,g := π f(x)g(x)dx. (5) 72.2 Hilberträume. a) Es sei, ein Skalarprodukt auf einem Vektorraum E. Für x,y E gilt dann die binomische Formel x+y,x+y = x,x +2Re x,y + y,y. (6) b) Weiter hat man die Schwarzsche Ungleichung x,y 2 x,x y,y, x,y E. (7) c) Durch x := x,x (8) wird eine Norm auf E definiert. Ist E unter dieser Norm vollständig, so heißt E ein Hilbertraum. d) Die Räume L 2 (A) und L 2 (A) sind vollständig; L 2 (A) ist ein Hilbertraum.

2 302 XI. Fourier - Analysis 72.3 Orthonormalsysteme. Es sei E ein Hilbertraum und Z eine Indexmenge. a) Eine Menge von Vektoren {v k } E heißt Orthonormalsystem (ONS), falls v k,v l = δ kl für k,l Z gilt. b) Nach (7.5) sind die Funktionen {e ikx } ein ONS in L 2 [ π,π]. Die Skalarprodukte f,e ikx = f(k) = π f(x)e ikx dx (9) sind gerade die Fourier-Koeffizienten von f L 2 [ π,π]; daher werden auch für ein allgemeines ONS {v k } in E die Zahlen x(k) := x,v k Fourier-Koeffizienten von x E bezüglich {v k } genannt. c) Für ein endliches ONS {v k } in E und ξ k K gilt der Satz des Pythagoras ξ k v k 2 = ξ k 2. (0) Insbesondere ist ein ONS {v k } linear unabhängig. d) Für Vektoren x E ergibt sich aus (6) und (0) x x(k)v k 2 = x 2 Aus () ergibt sich sofort die x(k) 2. () 72.4 Satz (Besselsche Ungleichung). Es seien Z eine Indexmenge und {v k } ein ONS in E. Für jede endliche Teilmenge Z Z gilt dann x(k) 2 x 2, x E. (2) Wir untersuchen nun, motiviert durch konkrete Fourier-Reihen, durch Z indizierte abzählbare ONSe; statt dessen kann man auch andere abzählbare Indexmengen, insbesondere N oder N 0 betrachten Orthogonale Summen. Es sei {v k } ein ONS in einem Hilbertraum E. Für Zahlen ξ k K mit ξ k 2 < ist dann die aus paarweise orthogonalen Summanden bestehende Reihe ξ k v k in E konvergent; in der Tat bilden die Partialsummen eine Cauchy-Folge wegen n k m ξ k v k 2 = n k m ξ k 2. Wie bei absolut konvergenten skalaren Reihen (vgl. Theorem 28.7) ist hier die Konvergenz unbedingt, d. h. alle Umordnungen der Reihe konvergieren gegen die gleiche Summe. Eine solche orthogonale Summe ist daher über beliebige abzählbare Indexmengen definiert Theorem. Für ein ONS {v k } in einem Hilbertraum E sind äquivalent: (a) Für alle x E gilt die Fourier-Entwicklung x = x(k)v k = x,v k v k. (3)

3 72 Orthonormalbasen und Konvergenz im quadratischen Mittel 303 (b) Für alle x E gilt die Parsevalsche Gleichung x 2 = (c) Der Raum [v k ] ist dicht in E. x(k) 2. (4) (d) Das ONS {v k } ist maximal, d.h. es gilt {v k } = {0}. Beweis. (a) (b) folgt sofort aus (), (a) (c) ist klar. (c) (d) : Für x {v k} gilt x,v = 0 für alle v [v k] und somit x = 0. (d) (a) :Fürx E setzenwirx := x(k)v k E. Dannist x x,v k = 0 für alle k Z und somit x x = Orthonormalbasen. Ein ONS {v k } in einem Hilbertraum E heißt Orthonormalbasis (ONB) von E, falls die Aussagen (a)-(d) aus Theorem 72.6 gelten Separable Räume. Essei E einnormierter Raum.EineMengeM E heißt separabel, wenn es eine in M dichte abzählbare Menge {x,x 2,x 3,...} gibt. TeilmengenseparablerRäumesindwiederseparabel(vgl.[K2],Satz4.0).DieRäumeL (A) und L 2 (A) sind für alle meßbaren Mengen A M(R n ) separabel (vgl. [K3], Satz 0.5) Satz. Ein Hilbertraum E ist genau dann separabel, wenn er eine abzählbare ONB besitzt. Beweis. : Es sei {x,x 2,x 3,...} eine in E dichte abzählbare Menge. Durch Weglassen geeigneter Vektoren erhält man eine Folge linear unabhängiger Vektoren, deren lineare Hülle in E dicht ist und daraus durch Gram-Schmidt-Orthonormalisierung (vgl. 5.0) eine ONB von E. : Für eine ONB {v k} von E ist die Menge { n ξ k v k n N, ξ k Q+iQ} k= n abzählbar und dicht in E. Nicht separable Hilberträume besitzen überabzählbare Orthonormalbasen. Allerdings sind alle in der Quantenmechanik auftretenden Hilberträume separabel, und dies gilt auch für die allermeisten in der Analysis vorkommenden Hilberträume. Nun können wir ähnlich wie in 5.9 orthogonale Projektionen auf beliebige abgeschlossene Unterräume konstruieren: 72.0 Theorem. Es seien E ein separabler Hilbertraum und F E ein abgeschlossener Unterraum. a) Zu x E gibt es genau einen Vektor Px F mit der Eigenschaft x Px F. Mit einer ONB {v k } von F ist diese gegeben durch Px := P F x := x(k)v k = x,v k v k, x E. (5)

4 304 XI. Fourier - Analysis b) Unter allen Vektoren y F wird der Abstand x y genau für y = Px minimal. Insbesondere gilt x Px = d F (x) x y für alle y F. (6) c) Die orthogonale Projektion P : E F, P(x) := Px, ist linear mit P = und P(x) = x für x F. Für x,y E gilt Px,y = Px,Py = x,py. (7) Man hat R(P) = F und N(P) = F sowie die direkte Zerlegung E = F F. (8) Beweis. a)nachsatz72.9besitzt F eineonb,undnach72.5istdiesummein(5) erklärt. Nun rechnet man x P F x,v l = 0 für l Z einfach nach. Ist auch y F mit x y F, so folgt P F x y F und auch P F x y = (P F x x)+(x y) F, also P F x y = 0. b) Für x E und y F gilt auch z := y P F x F. Mit dem Satz des Pythagoras folgt x y 2 = x P F x z 2 = x P F x 2 + z 2, (9) und dies ist genau für z 2 = 0 minimal. c) Offenbar ist P F : E F linear. Mit y = 0 in (9) ist z = P F x, und man erhält P F x x für alle x E. Wegen (5) gilt P F (x) = x für x F und P F x = 0 für x F. Formel (7) folgt aus Px,y Py = x Px,Py = 0, und (8) ergibt sich aus x = Px+(I P)x. Nun kommen wir auf konkrete Fourier-Reihen zurück: 72. Theorem. Die Funktionen {e ikx } bilden eine Orthonormalbasis des Hilbertraums L 2 [ π,π]. Für f L 2 [ π,π] konvergiert also die Fourier-Reihe im quadratischen Mittel gegen f, d.h. es gilt f n k= n f(k)e ikx 2 0 für n. (20) Man hat die Parsevalsche Gleichung f(k) 2 = f 2 2 = und für f,g L 2 [ π,π] gilt π f(x) 2 dx, (2) f(k)ĝ(k) = f,g = π f(x)g(x)dx. (22) Beweis. Die Dichtheit von [e ikx ] folgt aus dem Satz von Fejér 7.7a) und der Dichtheit von C (R) in L 2 [ π,π]. Formel (22) ergibt sich aus (2) mittels der Polarformel 4 f,g = f +g 2 f g 2 +i f +ig 2 i f ig 2. (23)

5 72 Orthonormalbasen und Konvergenz im quadratischen Mittel Beispiele und Bemerkungen. a) Mit den Koeffizienten a k, b k der reellen Fourier-Entwicklung von f L 2 [ π,π] (vgl. (7.) (7.4)) gilt die Parsevalsche Gleichung in der Form a a k 2 + b k 2 = π π f(x) 2 dx. (24) b) Aus der Entwicklung π x = 2 die Eulersche Formel k 2 = π 0 sinkx k 72.3 Satz. Für f C (R) Cst (R) gilt für 0 < x < (vgl. (7.25)) ergibt sich ( ) π x 2 dx = 2 6. (25) f(k) < ; (26) insbesondere konvergiert die Fourier-Reihe von f gleichmäßig gegen f. Beweis. Partielle Integration liefert f(k) = ik f (k), (27) da sich die ausintegrierten Terme wegen der Periodizität wegheben. Aus der Schwarzschen Ungleichung im R 2n und der Besselschen Ungleichung folgt weiter n k = f(k) = n f n k (k) ( k = k = ) / 2 n ( k 2 k = f (k) 2 ) / 2 π 3 f Satz. Für f L 2 [ π,π] konvergiert die Fourier-Reihe auch in der L -Norm gegen f. Für π a < b π gilt b a f(x)dx = f(k) b a eikx dx. (28) Beweis. Für Funktionen h L 2 [ π,π] gilt nach der Schwarzschen Ungleichung b a h(x) dx π h(x) dx ( π h(x) 2 dx) / 2. (29) 72.5 Beispiel. a) Ersetzt man x durch x in (7.25)), so erhält man B (x) := x 2 = π Wegen Satz 72.4 ist f(x) := sin 2kπx k, 0 < x <. (30) cos 2kπx k 2 (0,), und es folgt f(x) = x 2 x+c. Wegen muß c = 6 0 f(x)dx = sein, und es folgt B 2 (x) := x 2 x+ 6 = k 2 0 cos2kπxdx = 0 eine Stammfunktion von 2x auf cos 2kπx k 2, 0 < x <. (3)

6 306 XI. Fourier - Analysis Da beide Seiten von (3) auf R stetige Funktionen definieren, gilt (3) sogar für x [0,]. Mit x = 0 erhält man wieder (25), und x = 2 liefert ( ) k+ k 2 = = π2 2. (32) b) Durchweitere Integrationvon (3)kannmanauch diesummen m N berechnen, vgl. dazu auch (74.9). k m fürgerade Eine Anwendung der Parsevalschen Gleichung und der Flächenformel (6.7) ist die Lösung des isoperimetrischen Problems nach A. Hurwitz: 72.6 Satz. Für Gebiete G G st (R 2 ) mitstückweiseglattem Rand in der Ebene ist λ(g) 4π L( G)2, (33) und Gleichheit gilt nur für Kreise. Beweis. Man kann annehmen, daß G nur aus einer Kurve besteht und daß L( G) = gilt; dann ist λ(g) π zu zeigen. Für die ausgezeichnete Parametrisierung γ = x+iy C st ([0,],C) von G gilt γ (0) = 0 sowie γ (s) = für s [0, ]. Aus der Flächenformel (6.7), der Parsevalschen Gleichung (22) und Formel (27) ergibt sich λ(g) = 2 0 (x(s)y (s) y(s)x (s))ds = Im 2 0 γ (s)γ(s)ds = π Im γ (k) γ(k) = π k γ(k) 2 π = π. k 2 γ(k) 2 = π γ (k) 2 = 2 0 γ (s) 2 ds Dabei hat man nur dann Gleichheit, wenn γ(k) = 0 für alle k Z\{0,} ist, und dann parametrisiert γ(s) = γ(0)+ γ()e is eine Kreislinie.