Das Universum als RaumZeit

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1 Das Universum als RaumZeit Max Camenzind Würzburg

2 Das ist eine der ältesten Aufnahmen von Andromeda "nebula, photographiert am Yerkes Observatorium um Für unsere modernen Augen ist dies wirklich eine Galaxie. Damals wurde das Objekt als a mass of glowing gas bezeichnet.

3 1925 bestimmte Hubble zum ersten Mal die Distanz d = 1 Mio. LJ

4 Spektren von Galaxien rot verschoben l emitted

5 Galaxien haben verschiedene Rotverschiebung. Jeder Punkt in diesem Slice am Himmel ist eine Galaxie. Galaxien füllen den Raum aus sie sind die Bausteine des Universums. [Credit:Michael Blanton and SDSS collaboration ]

6 In der Folge wuchs und wuchs das Universum heute bis 13,8 Mrd. LJ 1925 Teleskope erforschen das Universum Zeit nach heute Mrd. Mrd. Mio. Mio. Mio. Big Bang Jahre Jahre Jahre Jahre Jahre

7 Wie also das Universum mathematisch erfassen?

8 Übersicht: Universum als RaumZeit Das Universum muss ein metrischer Raum sein. Hermann Minkowski interpretiert 1908 Einsteins Relativität als 4D RaumZeit = 4D metrischer Raum. Raum und Zeit verlieren ihre Eigenständigkeit. Wie beschreibe ich das Universum als RaumZeit? RaumZeit als Blätterung von 3-Räumen. Ich muss im Universum messen können! Also ist das Universum ein 4D metrischer Raum Welche Räume sind möglich? Jede Expansion des Universums Rotverschiebung z und Hubble-Gesetz.

9 Universum metrischer Raum Das Universum ist um uns herum sphärisch symmetrisch. Um Distanzen messen zu können, muss das Universum ein metrischer Raum sein. Damit existiert ein Maß d(g1,g2) > 0 für zwei Galaxien G1 und G2.

10 Universum Schachtelung von S² Das Universum ist eine Schachtelung von 2-Sphären. Die kosmische Photosphäre stellt einen Beobachtungsrand im Universum dar. Photonen dahinter können nicht bis zu uns propagieren Die Photosphäre ist ganze 13,8 Mrd. LJ von uns entfernt.

11 Ein metrischer Raum Unter einem metrischen Raum versteht man in der Mathematik eine Menge, auf der eine Metrik definiert ist. Eine Metrik (auch Abstandsfunktion) ist eine Funktion, die je zwei Elementen des Raums einen nicht negativen reellen Wert zuordnet, der als Abstand der beiden Elemente voneinander aufgefasst werden kann.

12 Euklidischer Raum metrischer Raum Newton wählte Universum als Euklidischen Raum Es gab damals mathematisch keine andere Möglichkeit! z Dreiecksungleichung x y

13 Der Abstand zwischen 2 Punkten Der Euklidische Raum ist ein Vektorraum, in dem Distanzen auf alt bekannte Art ermittelt werden können. Es gilt die Geometrie des Euklid. Das Universum ist kein Vektorraum, Distanzen müssen auf andere Art berechnet werden.

14 Das Universum nach Isaac Newton Wir leben in einer dreidimensionalen Welt, gedacht als feste Bühne. Der Raum hat Höhe, Breite und Tiefe. In der Physik wird der Raum mathematisch durch Koordinatensysteme beschrieben. Diese Methode geht auf René Descartes (lateinisch Cartesius, ) zurück. Ihm zu ehren nennt man die gebräuchlichste Form eines Koordinatensystems kartesisches Koordinatensystem. Im kartesischen Koordinatensystem wird der Ort eines Punktes durch drei Koordinaten angegeben. Meist nennt man diese x, y und z. Sie sind voneinander unabhängig, die Richtungen der x-, y- und z-achse stehen in rechten Winkeln aufeinander. Es gibt aber auch andere Koordinatensysteme: So kann man die Position eines Punktes auch durch einen Abstand von einem beliebig gewählten Mittelpunkt und zwei Winkeln angeben. Damit erhält man Kugelkoordinaten. Im Grunde können Koordinaten durch ein beliebig kompliziert verzerrtes Netz von Gitterlinien erzeugt werden. Es müssen nur jedem Punkt eindeutig drei Werte als Koordinaten zugeordnet werden. Diese dürfen sogar Zeitabhängig sein. So kann man rotierende Koordinatensysteme definieren, die sich zum Beispiel mit der Erde mitdrehen.

15 Der Raum ist eine leere Bühne Newton stellte sich den Raum als leere Bühne vor: Newton sah im Raum den Rahmen für alles, was im Kosmos vorgeht. Er war das Theater für das Drama des Universums. Newtons Bühne war passiv, absolut, ewig und unveränderlich. Das Schauspiel hatte keinen Einfluss auf die Bühne, und umgekehrt.

16 Newton alles in dieser Bühne beschreiben

17 Gauß: es gibt allgemeinere Räume

18 Kugeloberfläche S² metrischer Raum Ameise stellt fest: Die Welt ist 2D, jedoch gekrümmt Wie kann sie feststellen, dass S² nicht-euklidisch ist?

19 durch Vermessen der Winkelsumme! a + b + g = 180 a + b + g > 180 Grafik: Wikipedia

20 Wie bestimmt man Abstand zwischen zwei Punkten auf dem Globus? Geodäten sind die Kurven minimaler Länge auf gekrümmten Flächen. Im euklidischen Raum sind Geodäten Geraden. Großkreise sind die Geodäten der Kugeloberfläche.

21 Kugeloberfläche metrischer Raum

22 Wie kann ich die Krümmung feststellen? Sphäre Pos. Krümmung Hyperboloid Neg. Krümmung

23 Flächen konstanter Krümmung positive Krümmung Krümmung null negative Krümmung

24 Hypersphäre S³ ist metrischer Raum Die Hypersphäre S³ kann als Fläche im 4D Euklidischen Raum aller Punkte {x 1,x 2,x 3,x 4 } generiert werden mit der Bedingung: S³: Jeder Punkt auf dem Kreis besteht aus Sphäre S²

25 Längenelement auf der Hypersphäre I

26 Längenelement auf der Hypersphäre II

27 Oberflächen von Hypersphären S 1 S² S³ S 4

28 Distanzmessung auf gekrümmten 3-Flächen Euklidischer 3-Raum kartesisch: ds² = dx² + dy² + dz² Euklidischer Raum als 2-Sphären S²: 2 Winkel ds² = dr² + r² (dq² + sin²q df²) Hypersphäre S³: 3 Winkel ds² = R 0 ²[dc² + sin²c (dq² + sin²q df²)] 3-Hyperboloid H³: 3 Winkel ds² = R 0 ²[dc² + sinh²c (dq² + sin²q df²)]

29 S², S³ & H 3 sind Mannigfaltigkeiten M Wesentlich Der Raum ist lokal flach Jede Mannigfaltigkeit kannn durch abzählbar viele Karten eines Atlas überdeckt werden.

30 Kugeloberfläche S² lokal Euklidisch! Der Atlas ist in der Kartografie eine Sammlung thematisch, inhaltlich oder regional zusammenhängender flacher Landkarten der ganzen Erdoberfläche.

31 In jedem Punkt ein Tangentenraum, der Euklidisch (Minkowski) ist

32 Tangentenräume längs einer Kurve

33 Der Tangentenraum der Sphäre

34 Die Tangentenräume der Sphäre sind zunächst unkorreliert

35 Wie Vektoren entlang Kurve transportieren?

36 Krümmung einer Fläche nach Gauß Gauß Krümmung: K = k 1 k 2 Theorema Egregium: Die Gaußsche Krümmung K einer Fläche S R³ ist nur eine Größe der inneren Geometrie von S.

37 Die Krümmung Mannigfaltigkeiten Dieser intrinsische Krümmungsbegriff von Gauß lässt sich verallgemeinern auf Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension mit einer Metrik ds². Auf solchen Mannigfaltigkeiten ist der Paralleltransport längs Kurven erklärt und die Krümmungsgrößen (Riemann-Tensor) geben an, wie groß die Richtungsänderung von Vektoren beim Paralleltransport längs geschlossener Kurven nach einem Umlauf ist.

38 Zeit als vierte Dimension Zusätzlich zu den drei Raumdimensionen braucht man im Universum eine Angabe der Zeit. In der Newtonschen Physik, die seit der Renaissance bis 1905 für uneingeschränkt gültig gehalten wurde, stellte man sich die Zeit von allen physikalischen Prozessen unabhängig vor. Die Zeit sollte sozusagen den Takt vorgeben, nach dem sich alle physikalischen Prozesse richten, ohne selbst auf die Zeit zurückzuwirken. Schon vor der Relativitätstheorie war es nicht unüblich, sich die Zeit als eine vierte Dimension vorzustellen. Fasst man die Zeit als eine vierte Dimension auf, so wird jedes Objekt nicht nur durch sein Volumen im Raum, also Länge, Höhe und Breite, sondern zusätzlich durch seine Ausdehnung in der Zeit beschrieben. Das ist seine Dauer. Man kann sich also die ganze Entwicklung eines Menschen vom Säugling bis zum Greis als ein Objekt in einer vierdimensionalen Raumzeit aus Raum- und Zeitkoordinaten vorstellen. Ein bestimmter Zeitpunkt im Leben dieses Menschen ist dann ein Schnitt durch diese Raumzeit bei einer bestimmten Zeitkoordinate.

39 Die Universalität Lichtgeschwindigkeit Albert Einstein 1905: c hängt nicht von Bewegung ab Aus der Universalität der Lichtgeschwindigkeit folgt direkt, dass die Lichtgeschwindigkeit die maximal erreichbare Geschwindigkeit ist. Es ist nicht möglich einen Körper auf Lichtgeschwindigkeit oder darüber hinaus zu beschleunigen. Anschaulich kann man das damit begründen, dass sich Licht aus der Sicht jedes Objektes mit der konstanten Geschwindigkeit von über einer Milliarde Kilometern in der Stunde bewegt. Jedes Objekt ist also stets gleich weit von der Lichtgeschwindigkeit entfernt. Für den äußeren Beobachter macht sich diese Tatsache dadurch bemerkbar, dass man immer mehr Energie braucht um einen Körper zu beschleunigen je näher er der Lichtgeschwindigkeit kommt. Es hat den Anschein, als würde der Körper immer träger werden, als würde seine Masse zunehmen. Wenn es eine maximale Geschwindigkeit gibt, die für jede Form von Bewegung gilt, dann hat das Konsequenzen auf den Begriff der Gleichzeitigkeit: Ereignisse, die nacheinander geschehen aber räumlich weit voneinander getrennt sind, können einander ebenso wenig beeinflussen wie gleichzeitige Ereignisse.

40 Raum und Zeit müssen zusammenarbeiten

41 Hermann Minkowski interpretiert 1908 Einstein RaumZeit Weltpunkt oder Ereignis: (ct,x,y,z) Abstand zwischen 2 Ereignissen: ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz² Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken, und nur noch eine Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren. Minkowski generiert den Begriff der RaumZeit = {(ct,x,y,z)}.

42 Hermann Minkowski interpretiert Einsteins Relativität als 4D RaumZeit = {Ereignisse} = {ct,x,y,z}

43 Teilchen beschreibt Weltlinie RaumZeit

44 History der Objekte im Universum

45 Minkowski RaumZeit = Vektorraum V µ = (V 0,V 1,V 2,V 3 ) V² = h µn V µ V n Grafik: Camenzind

46 Die kausale Struktur der RaumZeit Jedes Ereignis innerhalb des oberen Teils des Lichtkegels von B kann Informationen bzw. Nachrichten von B erhalten. Ereignis innerhalb des oberen Teils des Lichtkegels von B kann von B kausal beeinflusst werden. Das Innere des unteren Teils des Lichtkegels vom Beobachter hat eine ähnliche Bedeutung wie der obere. In ihm sind alle Ereignisse enthalten, die B kausal beeinflussen können. Alle Ereignisse außerhalb des unteren Teils des Lichtkegels von B können B nicht kausal beeinflussen.

47 1915: Wie Gravitation einbauen? Verallgemeinerung von Minkowski: Die RaumZeit ist nur noch lokal Minkowski: RaumZeit ist eine Mannigfaltigkeit mit Metrik ds² = g µn dx µ dx n. Mit Materie ist die RaumZeit nicht mehr flach. Das Universum ist eine RaumZeit

48 Das Geheimnis der Gravitation ist die RaumZeit selbst Raum ist krümm- und dehnbar!

49 Materie & Energie krümmt den Raum Gravitation ist die Form der RaumZeit

50 Raum ist real, denn er verdreht Kreisel im Gravity Probe B Experiment

51 Postulate der Einsteinschen Gravitation

52 Vakuum: Der Raum ist aber nicht leer!

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